introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-118

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328 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
8.8
8.60 Siguiente generación Nacidos entre 1980 y 
1990, la Generación Siguiente ha vivido en un mundo 
posterior a la Guerra Fría y un tiempo de relativa 
prosperidad económica en Estados Unidos, pero también 
han conocido el 11 de septiembre y el temor a otro ataque, 
dos Guerras del Golfo, la tragedia de la Secundaria de 
Columbine, el huracán Katrina y la creciente polarización 
de discursos públicos. Más que cualquiera que llegó 
antes, la Generación Siguiente está comprometida con la 
tecnología y la gran mayoría depende de ella.15 Suponga 
que de una encuesta de 500 estudiantes mujeres y 500 
hombres de la Generación Siguiente, 345 de las mujeres 
y 365 de los hombres dijeron que decidieron asistir a la 
universidad para ganar más dinero.
a. Construya un intervalo de confianza de 98% para la 
diferencia en las proporciones de estudiantes mujeres 
y hombres que decidieron asistir a la universidad para 
ganar más dinero.
b. ¿Qué significa decir que está “98% seguro”?
c. Con base en el intervalo de confianza del inciso a), 
¿se puede concluir que hay una diferencia en las 
proporciones de estudiantes mujeres y hombres que 
decidieron asistir a la universidad para ganar más 
dinero?
8.61 ¿Excedrina o Tylenol? En un estudio para 
comparar los efectos de dos analgésicos se encontró 
que, de n1 � 200 personas seleccionadas al azar y a 
las que se dieron instrucciones de usar el primer 
analgésico, 93% indicaron que alivió su dolor. De n2 � 
450 personas seleccionadas al azar para usar el segundo 
analgésico, 96% indicaron que les alivió el dolor.
a. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la 
diferencia en las proporciones que experimentan alivio 
por estos dos analgésicos.
b. Con base en el intervalo de confianza del inciso a), 
¿hay suficiente evidencia para indicar una diferencia 
en las proporciones que experimentan alivio para los 
dos analgésicos? Explique.
8.62 Accidentes automovilísticos Los registros 
del año pasado sobre accidentes automovilísticos, en 
una sección determinada de carreteras, se clasifi caron 
de acuerdo a si las pérdidas resultantes eran de $1000 o 
más y si una lesión física resultó del accidente. Los datos 
siguen:
 Menos de $1000 $1000 o más
Número de accidentes 32 41
Número donde hubo lesionados 10 23
a. Estime la verdadera proporción de accidentes donde 
hubo lesionados cuando el daño fue de $1000 o más, 
para secciones similares de carretera, y encuentre el 
margen de error.
b. Estime la verdadera diferencia en la proporción de 
accidentes donde hubo lesionados en accidentes con 
pérdidas menores a $1000 y aquellos con pérdidas de 
$1000 o más. Use un intervalo de confianza de 95%.
LÍMITES DE CONFIANZA A UNA COLA
Los intervalos de confianza estudiados en las secciones 8.5-8.7 a veces reciben el nom-
bre de intervalos de confianza a dos colas, porque producen límites superiores (UCL) 
e inferiores (LCL) para el parámetro de interés, pero a veces un experimentador está 
interesado en sólo uno de estos límites; esto es, necesita sólo un límite superior (o posi-
blemente un límite inferior) para el parámetro de interés. En este caso, se puede cons-
truir un límite de confianza de una cola para el parámetro de interés, por ejemplo m, 
p, m1 � m2 o p1 � p2.
Cuando la distribución muestral de un estimador puntual es aproximadamente nor-
mal, se puede usar un argumento similar al de la sección 8.5 para mostrar que los lími-
tes de confianza de una cola, construidos usando las siguientes ecuaciones cuando el 
tamaño muestral es grande, contendrán el verdadero valor del parámetro de interés 
(1 � a)100% del tiempo en muestreo repetido.
UN LÍMITE INFERIOR DE CONFIANZA (1 � a)100% (LCB)
(Estimador puntual) � za × (Error estándar del estimador)
UN LÍMITE SUPERIOR DE CONFIANZA (1 � a)100% (UCB)
(Estimador puntual) + za × (Error estándar del estimador)
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FIGURA 8.13
Valor z para un límite 
de confi anza de una cola
● f(z)
0 zzα
α
E J E M P L O 8.12
8.9
El valor z para un límite de confianza de una cola (1 � a)100%, za, localiza un área a en 
una sola cola de la distribución normal, como se muestra en la figura 8.13.
Una corporación planea emitir algunos documentos a corto plazo y espera que el interés 
que tendrá para pagar no rebasará el 11.5%. Para obtener alguna información acerca de 
este problema, la corporación vendió 40 documentos, uno a través de cada una de las 40 
empresas de corretaje de acciones. La media y desviación estándar para las 40 tasas de 
interés fueron 10.3% y .31%, respectivamente. Como la corporación está interesada en 
sólo un límite superior en las tasas de interés, encuentre un límite superior de confianza 
de 95% para la tasa media de interés que la corporación tendrá que pagar por los docu-
mentos.
Solución Como el parámetro de interés es m, el estimador puntual es 
_
 x con error 
estándar SE � s ___ 
 �
__
 n 
 . El coeficiente de confianza es .95, de modo que a � .05 y 
z.05 � 1.645. Por lo tanto, el límite superior de confianza de 95% es
UCB � 
_
 x � 1.645� s ___ �__ n � � 10.3 � 1.645� .31 ____ �___ 40 � � 10.3 � .0806 � 10.3806
Entonces, se puede estimar que la tasa media de interés que la corporación tendrá que 
pagar sobre sus documentos será menos al 10.3806%. La corporación no debe preocu-
parse por sus tasas de interés que rebasen del 11.5%. ¿Qué tan seguro está usted de esta 
conclusión? Bastante seguro, porque los intervalos construidos en esta forma contienen 
a m, el 95% del tiempo.
SELECCIÓN DEL TAMAÑO MUESTRAL
Diseñar un experimento es en esencia un plan para comprar cierta cantidad de informa-
ción. Así como el precio que se paga por un juego de video varía dependiendo de dónde 
y cuándo se compra, el precio de información estadística varía dependiendo de cómo y 
dónde se recolecta la información. Al igual que cuando se compra cualquier producto, 
se debe comprar tanta información estadística como sea posible por el mínimo costo 
posible.
La cantidad total de información relevante en una muestra es controlada por dos 
factores:
• El plan muestral o diseño experimental: el procedimiento para recolectar la 
información
• El tamaño muestral n: la cantidad de información recolectada
 8.9 SELECCIÓN DEL TAMAÑO MUESTRAL ❍ 329
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330 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
Se puede aumentar la cantidad de información recolectada al aumentar el tamaño mues-
tral o quizá al cambiar el tipo de plan muestral o diseño experimental que se utilice. 
Trataremos el plan muestral más sencillo, es decir, el muestreo aleatorio de una pobla-
ción relativamente grande y nos concentraremos en las formas para escoger el tamaño 
muestral n necesario para comprar una cantidad determinada de información.
Un investigador hace poco progreso al planear un experimento antes de encontrar el 
problema del tamaño muestral. ¿Cuántas mediciones deben incluirse en la muestra? 
¿Cuánta información desea comprar el investigador? La cantidad total de información 
de la muestra afectará la confiabilidad o bondad de las inferencias hechas por el inves-
tigador y es esta confiabilidad la que debe él especificar. En un problema de estimación 
estadística, la precisión de la estimación es medida por el margen de error o el ancho del 
intervalo de confianza. Como estas dos mediciones son una función del tamaño mues-
tral, especificar la precisión determina el tamaño muestral necesario.
Por ejemplo, suponga que se desea estimar el promedio de producción diaria m de 
un proceso químico y se necesita que el margen de error sea menor a 4 toneladas. Esto 
significa que, aproximadamente 95% del tiempo en muestreo repetido, la distancia entre 
la media muestral 
_
 x y lamedia poblacional m será menor a 1.96 SE. Se desea que esta 
cantidad sea menor a 4. Esto es,
1.96 SE � 4 o 1.96� s___ �__ n � � 4
Despejando n, resulta
n 	 �
1.4
96
�
2
s 2 o n 	 .24s 2
Si se conoce s, la desviación estándar poblacional, se puede sustituir su valor en la 
fórmula y despejar n. Si s es desconocida, que suele ser el caso, se puede usar la mejor 
aproximación disponible:
• Una estimación s se obtiene de una muestra previa
• Una estimación del rango basada en el conocimiento de las mediciones máximas 
y mínimas posibles: s � Rango/4
Para este ejemplo, suponga que un estudio previo del proceso químico produjo una des-
viación muestral estándar de s � 21 toneladas. Entonces
n 	 .24s 2 � .24(21)2 � 105.8
Usando una muestra de tamaño n � 106 o mayor, se puede estar razonablemente seguro 
(con probabilidad aproximadamente igual a .95) que su estimación del promedio de pro-
ducción estará a no más de � 4 toneladas del promedio real de producción.
La solución n � 106 es sólo aproximada porque tenía que usarse un valor aproximado 
de s para calcular el error estándar de la media. Aun cuando esto puede ser molesto, es 
el mejor método existente para seleccionar el tamaño muestral y es ciertamente mejor 
que adivinar.
A veces los investigadores requieren un nivel de confianza diferente al 95% de con-
fianza especificado por el margen de error. En este caso, la mitad del ancho del intervalo 
de confianza da la medida precisa para su estimación; esto es, el límite B en el error de 
su estimación es
za/2� s___ �__ n � � B
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	8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
	8.8 Límites de confianza a una cola
	8.9 Selección del tamaño muestral