introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-30

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64 ❍ CAPÍTULO 2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
Solución Las entradas en la tabla 2.2 son las mediciones individuales, xi, y sus cua-
drados, x2i, junto con sus sumas. Usando la fórmula computacional para s
2, tenemos
 Sx2i – 
 (8xi)
2
 ______ n s2 � 
 n � 1
 95 � 
(19)2
 _____ 
5
 
22.80 � � � 5.70
 4 4
y s � �
__
 s2 � �
____
 5.70 � 2.39, como antes.
Usted se puede preguntar por qué es necesario dividir entre (n � 1) en lugar de n 
cuando calcula la varianza muestral. Así como empleamos la media muestral 
_
 x para 
estimar la media poblacional m, se puede usar la varianza muestral s2 para estimar la 
varianza poblacional s2. Resulta que la varianza muestral s2 con (n � 1) en el deno-
minador da estimaciones mejores de s2 de lo que daría un estimador calculado con n 
en el denominador. Por esta razón, siempre dividimos entre (n � 1) al calcular la 
varianza muestral s2 y la desviación estándar de la muestra s.
No redondee resultados 
parciales al continuar.
CONSEJOMIMI
Se puede comparar la precisión de estimadores de la varianza poblacional s2 usando 
el applet Why Divide by n � 1? El applet selecciona muestras de una población con 
desviación estándar s � 29.2. A continuación calcula la desviación estándar s usando 
(n � 1) en el denominador así como una desviación estándar calculada usando n 
en el denominador. Se puede escoger para comparar los estimadores para una sola 
muestra nueva, para 10 muestras o para 100 muestras. Observe que cada una de las 
10 muestras que aparecen en la figura 2.9 tiene una desviación estándar diferente. 
No obstante, cuando las 10 desviaciones estándar se promedian en la parte inferior 
del applet, uno de los dos estimadores es más cercano a la desviación estándar de la 
población s � 29.2. ¿Cuál es? Usaremos este applet otra vez para los ejercicios Mi 
Applet al final del capítulo.
APPLETMIMI
FIGURA 2.9
Applet Why Divide by 
n � 1? (¿Por qué dividir 
entre n � 1?)
●
Probabilidad_Mendenhall_02.indd 64Probabilidad_Mendenhall_02.indd 64 5/14/10 8:15:57 AM5/14/10 8:15:57 AM
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En este punto, usted ha aprendido a calcular la varianza y desviación estándar de un 
conjunto de mediciones. Recuerde estos puntos:
• El valor de s es siempre mayor o igual a cero.
• Cuanto mayor sea el valor de s2 o de s, mayor es la variabilidad del conjunto de 
datos.
• Si s2 o s es igual a cero, todas las mediciones deben tener el mismo valor.
• Para medir la variabilidad en las mismas unidades que las observaciones origina-
les, calculamos la desviación estándar s � �
__
 s2 .
Esta información permite comparar varios conjuntos de datos con respecto a sus ubica-
ciones y su variabilidad. ¿Cómo se pueden usar estas mediciones para decir algo más 
específico acerca de un solo conjunto de datos? El teorema y la regla que se presentan 
en la siguiente sección ayudarán a contestar esta pregunta.
TÉCNICAS BÁSICAS
2.13 Nos dan n � 5 mediciones: 2, 1, 1, 3, 5.
a. Calcule la media muestral, 
_
 x .
b. Calcule la varianza muestral, s2, usando la fórmula 
dada por la definición.
c. Encuentre la desviación estándar de la muestra, s.
d. Encuentre s2 y s usando la fórmula computacional. 
Compare los resultados con los hallados en los incisos 
b) y c).
2.14 Consulte el ejercicio 2.13.
a. Use el método de entrada de datos en su calculadora 
científica para introducir las cinco mediciones. 
Recuerde las memorias apropiadas para hallar la 
media muestral y desviación estándar.
b. Verifique que la calculadora dé los mismos valores para
 
_
 x y s como en el ejercicio 2.13, incisos a) y c).
2.15 Nos dan n � 8 mediciones: 4, 1, 3, 1, 3, 1, 2, 2.
a. Encuentre el rango.
b. Calcule 
_
 x .
c. Calcule s2 y s usando la fórmula computacional.
d. Use el método de entrada de datos en su calculadora 
para hallar 
_
 x , s y s2. Verifique que sus respuestas sean 
iguales a las de los incisos b) y c).
 EJERCICIOS2.3
2.16 Nos dan n � 8 mediciones: 3, 1, 5, 6, 4, 4, 3, 5.
a. Calcule el rango.
b. Calcule la media muestral.
c. Calcule la varianza muestral y desviación estándar.
d. Compare el rango y la desviación estándar. ¿El 
rango es aproximadamente cuántas desviaciones 
estándar?
APLICACIONES
2.17 Un hallazgo arqueológico, otra vez Un 
artículo en Archaeometry contenía un análisis de 26 
muestras de cerámica romano-británica hallada en cuatro 
hornos diferentes en el Reino Unido.7 Las muestras 
fueron analizadas para determinar su composición 
química. El porcentaje de óxido de hierro en cada una 
de las cinco muestras recolectadas en el sitio de Island 
Thorns fue:
1.28 2.39 1.50 1.88 1.51
a. Calcule el rango.
b. Calcule la varianza muestral y la desviación estándar 
usando la fórmula computacional.
c. Compare el rango y la desviación estándar. ¿El 
rango es aproximadamente cuántas desviaciones 
estándar?
 2.3 MEDIDAS DE VARIABILIDAD ❍ 65
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66 ❍ CAPÍTULO 2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
2.18 Estados de cuenta por consumo 
eléctrico en el sur de California Los estados 
de cuenta mensuales por consumo eléctrico para una 
familia en Riverside, California, se registraron durante 12 
meses consecutivos empezando en enero de 2006:
Mes Cantidad ($) Mes Cantidad ($)
Enero $266.63 Julio $306.55
Febrero 163.41 Agosto 335.48
Marzo 219.41 Septiembre 343.50
Abril 162.64 Octubre 226.80
Mayo 187.16 Noviembre 208.99
Junio 289.17 Diciembre 230.46
SOBRE LA SIGNIFICANCIA PRÁCTICA 
DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
A continuación introducimos un útil teorema ideado por el matemático ruso Chebyshev. 
La demostración del teorema no es difícil, pero estamos más interesados en su aplica-
ción que en demostrarlo.
Dado un número k mayor o igual a 1 y un conjunto de n mediciones, al menos [1 � (1/k2)] de 
las mediciones estarán dentro de k desviaciones estándar de su media.
El teorema de Chebyshev aplica a cualquier conjunto de mediciones y se puede usar 
para describir ya sea una muestra o una población. Usaremos la notación apropiada para 
poblaciones, pero usted debe ver que con la misma facilidad podríamos usar la media y 
la desviación estándar para la muestra.
La idea comprendida en el teorema de Chebyshev está ilustrada en la figura 2.10. 
Se construye un intervalo al medir una distancia ks a cualquier lado de la media m. El 
número k puede ser cualquier número mientras sea mayor o igual a 1. Entonces el teo-
rema de Chebyshev expresa que al menos [1 � (1/k2)] del número total n de mediciones 
está en el intervalo construido.
DATOSMISMIS
EX0218
a. Calcule el rango del pago de electricidad para el año 
2006.
b. Calcule el promedio mensual de pago de electricidad 
en 2006.
c. Calcule la desviación estándar para el pago de 
electricidad para el mismo año.
Teorema de 
Chebyshev
FIGURA 2.10
Ilustración del teorema de 
Chebyshev
●
x
Fr
ec
ue
nc
ia
 r
el
at
iv
a
Al menos 1 – (1/k2)
μ
kσ kσ
2.4
Probabilidad_Mendenhall_02.indd 66Probabilidad_Mendenhall_02.indd 66 5/14/10 8:15:57 AM5/14/10 8:15:57 AM
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	2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
	2.3 Medidas de variabilidad
	Ejercicios
	2.4 Sobre la significancia práctica de la desviación estándar