introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-32

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70 ❍ CAPÍTULO 2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
La Regla empírica es una “regla práctica” que se puede usar como herramienta 
descriptiva cuando los datos tienden a ser de forma más o menos de montículo (los 
datos tienden a apilarse cerca del centro de la distribución).
Cuando se usen estas dos herramientas para describir un conjunto de medicio-
nes, el teorema de Chebyshev siempre se satisface pero es una estimación muy 
conservadora de la fracción de mediciones que caen en un intervalo particular. Si es 
apropiado usar la Regla empírica (datos en forma de montículo), esta regla dará una 
estimación más precisa de la fracción de mediciones que caen en el intervalo.
UNA MEDICIÓN DEL CÁLCULO DE s
El teorema de Chebyshev y la Regla empírica se pueden usar para detectar errores bur-
dos en el cálculo de s. En términos generales, estas dos herramientas indican que casi 
siempre las mediciones caen dentro de dos desviaciones estándar de su media. Este 
intervalo está marcado en la figura 2.13, e implica que el rango total de mediciones, 
de la más pequeña a la más grande, debe estar en algún punto alrededor de cuatro des-
viaciones estándar. Esto es, desde luego, una aproximación muy burda pero puede ser 
muy útil para localizar errores grandes en el cálculo de s. Si el rango, R, es de alrededor 
de cuatro desviaciones estándar, o 4s, se puede escribir
R � 4s o bien s � R __ 
4
 
El valor calculado de s usando la fórmula de atajo debe ser de alrededor del mismo orden 
que la aproximación.
Use la aproximación de rango para comprobar el cálculo de s para la tabla 2.2.
Solución El rango de las cinco mediciones, 5, 7, 1, 2, 4, es
R � 7 � 1 � 6
Entonces
s � �
R
4
� � �
6
4
� � 1.5
Esto es del mismo orden que el valor calculado s � 2.4.
La aproximación de rango no tiene la finalidad de dar un valor preciso para s. Más 
bien, su propósito es detectar errores burdos de cálculo, por ejemplo no dividir la suma 
de cuadrados de desviaciones entre (n � 1) o no tomar la raíz cuadrada de s2. Si usted 
comete uno de estos errores, su respuesta será muchas veces más grande que la aproxi-
mación de rango de s.
FIGURA 2.13
Aproximación de rango 
para s
●
2s 2s+
x – 2s x + 2sx
E J E M P L O 2.9
s � R/4 sólo da un valor 
aproximado para s.
CONSEJOMIMI
2.5
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Use la aproximación de rango para determinar un valor aproximado para la desviación 
estándar para los datos de la tabla 2.4.
Solución El rango R � 31.9 � 10.2 � 21.7. Entonces
s � �
R
4
� � �
21
4
.7
� � 5.4
Como el valor exacto de s es 5.5 para los datos de la tabla 2.4, la aproximación es muy 
cercana.
El rango para una muestra de n mediciones dependerá del tamaño muestral, n. Para 
valores más grandes de n, se espera un rango más grande de valores x. El rango para mues-
tras grandes (por ejemplo n � 50 o más observaciones) puede ser hasta de 6s, mientras 
que el rango para muestras pequeñas (por ejemplo n � 5 o menos) puede ser de sólo 
2.5s o menor.
La aproximación de rango para s se puede mejorar si se sabe que la muestra se toma 
de una distribución de datos en forma de montículo. Entonces, la s calculada no debe di-
ferir de manera importante a partir del rango dividido entre la razón apropiada dada en 
la tabla 2.6.
E J E M P L O 2.10
TÉCNICAS BÁSICAS
2.19 Un conjunto de n � 10 mediciones consta de los 
valores 5, 2, 3, 6, 1, 2, 4, 5, 1, 3.
a. Use la aproximación de rango para estimar el valor de 
s para este conjunto. (sugerencia: Use la tabla del 
final de la sección 2.5.)
b. Use su calculadora para hallar el valor real de s. 
¿El valor real es cercano a la estimación de usted 
en el inciso a)?
c. Trace una gráfica de puntos de este conjunto de datos. 
¿Los datos tienen forma de montículo?
d. ¿Puede usar el teorema de Chebyshev para describir 
este conjunto de datos? ¿Por qué sí o por qué no?
e. ¿Puede usar la Regla empírica para describir este 
conjunto de datos? ¿Por qué sí o por qué no?
2.20 Supongamos que usted desea crear una imagen 
mental del histograma de frecuencia relativa para un 
conjunto de datos grande formado por mil observaciones 
TABLA 2.6 
●
 Divisor para la aproximación de rango de s
Número de Razón esperada
mediciones de rango para s
 5 2.5
 10 3
 25 4
 EJERCICIOS2.5
y que sabe que la media y desviación estándar del 
conjunto de datos son 36 y 3, respectivamente.
a. Si está más o menos seguro que la distribución 
de frecuencia relativa de los datos tiene forma de 
montículo, ¿cómo podría representar la distribución 
de frecuencia relativa?
b. Si no tiene usted información previa respecto a la 
forma de la distribución de frecuencia relativa, ¿qué 
puede decir acerca del histograma de frecuencia 
relativa? (sugerencia: Construya intervalos x� 
 ks 
para varias opciones de k.)
2.21 Una distribución de mediciones tiene relativamente 
la forma de un montículo con media de 50 y desviación 
estándar de 10.
a. ¿Qué proporción de las mediciones caerá entre 40 
y 60?
b. ¿Qué proporción de las mediciones caerá entre 30 
y 70?
 2.5 UNA MEDICIÓN DEL CÁLCULO DE s ❍ 71
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72 ❍ CAPÍTULO 2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
c. ¿Qué proporción de las mediciones caerá entre 30 
y 60?
d. Si se escoge una medición al azar de esta distribución, 
¿cuál es la probabilidad de que sea mayor a 60?
2.22 Un conjunto de datos tiene una media de 75 y 
una desviación estándar de 5. Usted no sabe nada más 
acerca del tamaño del conjunto de datos o de la forma 
de la distribución de datos.
a. ¿Qué puede decir acerca de la proporción de 
mediciones que caen entre 60 y 90?
b. ¿Qué puede decir acerca de la proporción de 
mediciones que caen entre 65 y 85?
c. ¿Qué puede decir acerca de la proporción de 
mediciones que sean menores de 65?
APLICACIONES
2.23 Emergencias de automovilistas El tiem-
po requerido para que el conductor de un automóvil 
responda a una situación particular de emergencia 
se registró para n � 10 conductores. Los tiempos 
(en segundos) fueron .5, .8, 1.1, .7, .6, .9, .7, .8, .7, 8.
a. Busque en los datos y use el procedimiento de la 
sección 2.5 para hallar un valor aproximado para s. 
Use este valor para verificar sus cálculos del 
inciso b).
b. Calcule la media muestral 
_
 x y la desviación estándar s. 
Compare con el inciso a).
2.24 Empacar carne para hamburguesas 
Los datos que aparecen enseguida son los 
pesos (en libras) de 27 paquetes de carne 
molida de res, vistos en una pantalla de un 
supermercado:
1.08 .99 .97 1.18 1.41 1.28 .83
1.06 1.14 1.38 .75 .96 1.08 .87
 .89 .89 .96 1.12 1.12 .93 1.24
 .89 .98 1.14 .92 1.18 1.17
a. Construya una gráfica de tallo y hoja o un histograma 
de frecuencia relativa para mostrar la distribución de 
pesos. ¿La distribución es relativamente de forma 
de montículo?
b. Encuentre la media y desviación estándar del conjunto 
de datos.
c. Encuentre el porcentaje de mediciones en el intervalo
 
_
 x 
 s, 
_
 x 
 2s y 
_
 x 
 3s.
d. Los porcentajes obtenidos en el inciso c), ¿cómo 
se comparan con los datos por la Regla empírica? 
Explique.
e. ¿Cuántos de los paquetes pesan exactamente 1 libra? 
¿Puede usted considerar alguna explicación para esto?
2.25 Ritmo respiratorio ¿Es normal el ritmo 
respiratorio de usted? En realidad, no hay un ritmo 
estándar de respiración para seres humanos. Puede variar 
desde sólo cuatro respiraciones por minuto hasta 70 o 
75 para una persona que realice un ejercicio agotador. 
Suponga que los ritmos respiratorios en reposo para 
estudiantes universitarios tienen una distribución de 
frecuencia relativa en forma de montículo, con una media 
igual a 12 y una desviación estándar de 2.3 respiraciones 
por minuto. ¿Qué fracción de todos los estudiantes 
tendría ritmos respiratoriosen los siguientes intervalos?
a. 9.7 a 14.3 respiraciones por minuto
b. 7.4 a 16.6 respiraciones por minuto
c. Más de 18.9 o menos de 5.1 respiraciones por minuto
2.26 Muestras de mineral Una geóloga 
recolectó 20 muestras diferentes de mineral, 
todas del mismo peso, y al azar las dividió en dos grupos. 
Ella midió el contenido de titanio (Ti) de las muestras 
usando dos métodos diferentes.
 Método 1 Método 2
.011 .013 .013 .015 .014 .011 .016 .013 .012 .015
.013 .010 .013 .011 .012 .012 .017 .013 .014 .015
a. Construya gráficas de tallo y hoja para los dos con-
juntos de datos. Visualmente compare sus centros y 
sus rangos.
b. Calcule las medias muestrales y desviaciones estándar 
para los dos conjuntos. ¿Los valores calculados 
confirman las conclusiones visuales de usted del 
inciso a)?
2.27 Números del Seguro Social Los datos del 
ejercicio 1.70 (véase el conjunto de datos EX0170), 
reproducidos a continuación, muestran el último dígito 
del número del Seguro Social para un grupo de 70 
estudiantes.
1 6 9 1 5 9 0 2 8 4
0 7 3 4 2 3 5 8 4 2
3 2 0 0 2 1 2 7 7 4
0 0 9 9 5 3 8 4 7 4
6 6 9 0 2 6 2 9 5 8
5 1 7 7 7 8 7 5 1 8
3 4 1 9 3 8 6 6 6 6
a. Usted encontró en el ejercicio 1.70 que la distribución 
de estos datos era relativamente “plana”, con cada 
valor diferente de 0 a 9 presentándose con casi igual 
frecuencia. Usando este dato, ¿cuál sería su mejor 
estimación para la media del conjunto de datos?
b. Use la aproximación de rango para calcular el valor de 
s para este conjunto.
c. Use su calculadora para hallar los valores reales de 
_
 x y s. 
Compare con sus estimaciones en los incisos a) y b).
DATOSMISMIS
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DATOSMISMIS
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	2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
	2.5 Una medición del cálculo de s
	Ejercicios