introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-34

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76 ❍ CAPÍTULO 2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
El puntaje z es una valiosa herramienta para determinar si es probable que una obser-
vación particular se presente con frecuencia, o si es improbable y puede ser considerada 
como resultado atípico.
De acuerdo con el teorema de Chebyshev y la Regla empírica,
• al menos 75% y más probablemente 95% de las observaciones están a no más de 
dos desviaciones estándar de su media: sus puntajes z están entre �2 y 
2. Las 
observaciones con puntajes z mayores a 2 en valor absoluto se presentan menos 
del 5% del tiempo y son consideradas un tanto improbables.
• al menos 89% y más probablemente 99.7% de las observaciones están a no más 
de tres desviaciones estándar de su media: sus puntajes z están entre �3 y 
3. 
Las observaciones con puntajes z mayores a 3 en valor absoluto se presentan 
menos del 1% del tiempo y son consideradas muy poco probables.
Usted debe apreciar con cuidado cualquier observación que tenga un puntaje z mayor a 
3 en valor absoluto. Quizá la medición fue registrada incorrectamente o no pertenece a 
la población que se muestrea. Quizá es sólo una observación muy poco probable, pero 
válida, con todo.
Considere esta muestra de n mediciones:
1, 1, 0, 15, 2, 3, 4, 0, 1, 3
La medición x � 15 parece ser extraordinariamente grande. Calcule el puntaje z para 
esta observación y exprese sus conclusiones.
Solución Calcule 
_
 x � 3.0 y s � 4.42 para las n � 10 mediciones. Entonces el pun-
taje z para el resultado atípico sospechoso, x � 15, se calcula como
puntaje z � x � 
_
 x _____ s 
� 15 � 3 ______ 
4.42
 � 2.71
En consecuencia, la medición x � 15 está 2.71 desviaciones estándar arriba de la media 
muestral, 
_
 x � 3.0. Aun cuando el puntaje z no excede de 3, está cercano lo sufi ciente 
para que usted pueda sospechar que x � 15 es un resultado atípico. Usted debe examinar 
el procedimiento de muestreo para ver si x � 15 es una observación defectuosa.
Un percentil es otra medida de posición relativa y se usa con más frecuencia para 
conjuntos grandes de datos. (Los percentiles no son muy útiles para conjuntos pequeños 
de datos.)
Defi nición Un conjunto de n mediciones de la variable x se ha reacomodado en 
orden de magnitud. El p-ésimo percentil es el valor de x que es mayor a p% de las 
mediciones y es menor que el restante (100 � p)%.
Supongamos que usted ha sido notifi cado que su califi cación de 610, en el Examen 
verbal de graduación, lo ha colocado en el 60avo percentil en la distribución de califi -
caciones. ¿Dónde está su califi cación de 610 en relación a las califi caciones de los otros 
que tomaron el examen?
Solución Califi car en el 60avo percentil signifi ca que 60% de todas las califi cacio-
nes de examen fueron más bajas que la califi cación de usted y 40% fueron más altas.
Los puntajes z mayores 
a 3 en valor absoluto son muy 
poco comunes.
CONSEJOMIMI
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2.11
2.12
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En general, el 60avo percentil para la variable x es un punto en el eje horizontal de 
la distribución de datos que es mayor a 60% de las mediciones y menor que las otras. 
Esto es, 60% de las mediciones son menores que el 60avo percentil y 40% son mayores 
(véase la figura 2.14). Como el área total bajo la distribución es 100%, 60% del área está 
a la izquierda y 40% del área está a la derecha del 60avo percentil. Recuerde que la me-
diana, m, de un conjunto de datos es la medición central; esto es, 50% de las medicio-
nes son más pequeñas y 50% son más grandes que la mediana. Entonces, ¡la mediana 
es igual que el 50avo percentil!
Los percentiles 25avo y 75avo, llamados cuartiles inferior y superior, junto con la 
mediana (el 50avo percentil), localizan puntos que dividen los datos en cuatro conjun-
tos, cada uno conteniendo un número igual de mediciones. Veinticinco por ciento de las 
mediciones serán menores que el cuartil inferior (primero), 50% serán menores que la me-
diana (el segundo cuartil) y 75% serán menores que el cuartil superior (tercero). De este 
modo, la mediana y los cuartiles inferior y superior están ubicados en puntos en el eje x 
de modo que el área bajo el histograma de frecuencia relativa para los datos está dividida 
en cuatro áreas iguales, como se muestra en la figura 2.15.
FIGURA 2.15
Ubicación de cuartiles
●
FIGURA 2.14
El 60avo percentil mostrado 
en el histograma de frecuencia 
relativa para un conjunto de 
datos
●
x
Fr
ec
ue
nc
ia
 r
el
at
iv
a
60avo percentil
60% 40%
x
Fr
ec
ue
nc
ia
 r
el
at
iv
a
Cuartil superior, Q3Cuartil inferior, Q1
Mediana, m
25%25%25%25%
 2.6 MEDICIONES DE POSICIÓN RELATIVA ❍ 77
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78 ❍ CAPÍTULO 2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
Defi nición Un conjunto de n mediciones en la variable x se ha acomodado en orden 
de magnitud. El cuartil inferior (primer cuartil), Q1, es el valor de x que es mayor a un 
cuarto de las mediciones y es menor que los restantes tres cuartos. El segundo cuartil es 
la mediana. El cuartil superior (tercer cuartil), Q3, es el valor de x que es mayor a tres 
cuartos de las mediciones y es menor que el restante un cuarto.
Para conjuntos de datos pequeños, con frecuencia es imposible dividir el conjunto 
en cuatro grupos, cada uno de los cuales contiene exactamente 25% de las mediciones. 
Por ejemplo, cuando n � 10, usted necesita tener 2½ mediciones en cada grupo. Aun 
cuando usted efectúe esta tarea (por ejemplo, si n � 12), hay muchos números que satis-
farían la definición precedente y, por lo tanto, podrían ser considerados “cuartiles”. Para 
evitar esta ambigüedad, usamos la siguiente regla para localizar cuartiles muestrales.
CÁLCULO DE CUARTILES MUESTRALES
• Cuando las mediciones están dispuestas en orden de magnitud, el cuartil infe-
rior, Q1, es el valor de x en la posición .25(n 
 1), y el cuartil superior, Q3, es 
el valor de x en la posición .75(n 
 1).
• Cuando .25(n 
 1) y .75(n 
 1) no son enteros, los cuartiles se encuentran por 
interpolación, usando los valores de las dos posiciones adyacentes.†
Encuentre los cuartiles inferior y superior para este conjunto de mediciones:
16, 25, 4, 18, 11, 13, 20, 8, 11, 9
Solución Ordene las n � 10 mediciones de menor a mayor:
4, 8, 9, 11, 11, 13, 16, 18, 20, 25
Calcule
Posición de Q1 � .25(n 
 1) � .25(10 
 1) � 2.75
Posición de Q3 � .75(n 
 1) � .75(10 
 1) � 8.25
Como estas posiciones no son enteros, el cuartil inferior se toma como el valor 3/4 de la 
distancia entre la segunda y tercera mediciones ordenadas, y el cuartil superior se toma 
como el valor 1/4 de la distancia entre la octava y novena mediciones ordenadas. Por 
tanto,
Q1 � 8 
 .75(9 � 8) � 8 
 .75 � 8.75
y
Q3 � 18 
 .25(20 � 18) � 18 
 .5 � 18.5
Como la mediana y los cuartiles dividen la distribución de datos en cuatro partes, 
cada una de ellas conteniendo alrededor de 25% de las mediciones, Q1 y Q3 son las fron-
teras superior e inferior para el 50% central de la distribución. Podemos medir el ran-
go de este “50% central” de la distribución usando una medida numérica llamada rango 
intercuartil.
† Esta defi nición de cuartiles es consistente con la empleada en el paquete MINITAB. Algunos libros de texto em-
plean redondeo ordinario cuando buscan posiciones de cuartil, mientras que otros calculan cuartiles muestrales 
como las medianas de las mitades superior e inferior del conjunto de datos.
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