introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-35

Vista previa del material en texto

Defi nición El rango intercuartil (IQR) para un conjunto de mediciones es la dife-
rencia entre los cuartiles superior e inferior; esto es, IQR � Q3 � Q1.
Para los datos del ejemplo 2.13, IQR � Q3 � Q1 � 18.50 � 8.75 � 9.75. Usaremos el 
IQR junto con los cuartiles y la mediana en la siguiente sección para construir otra grá-
fica para describir conjuntos de datos.
¿Cómo calculo cuartiles muestrales?
1. Acomode el conjunto de datos en orden de magnitud de menor a mayor.
2. Calcule las posiciones de cuartil:
• Posición de Q1: .25(n 
 1)
• Posición de Q3: .75(n 
 1)
3. Si las posiciones son de enteros, entonces Q1 y Q3 son los valores del conjunto 
ordenado de datos que se encuentra en esas posiciones.
4. Si las posiciones del paso 2 no son de enteros, encuentre las dos mediciones en 
las posiciones un poco arriba y un poco debajo de la posición calculada. Calcu-
le el cuartil al hallar un valor ya sea de un cuarto, un medio y tres cuartos de la 
distancia entre estas dos mediciones.
Repertorio de ejercicios
A. A continuación encontrará dos conjuntos de datos de práctica. Llene los espacios 
en blanco para hallar los cuartiles necesarios. El primer conjunto de datos ya está 
hecho.
 Posición Posición Cuartil Cuartil 
Conjunto de datos Ordenado n de Q1 de Q3 inferior, Q1 superior, Q3
2, 5, 7, 1, 1, 2, 8 1, 1, 2, 2, 5, 7, 8 7 2o 6o 1 7
5, 0, 1, 3, 1, 5, 5, 2, 4, 4, 1
B. A continuación encontrará tres conjuntos de datos que ha están ordenados. Las 
posiciones de los cuartiles superior e inferior se muestran en la tabla. Encuentre 
las mediciones un poco arriba y un poco debajo de la posición de cuartil. Ense-
guida encuentre los cuartiles superior e inferior. El primer conjunto de datos ya 
está hecho.
Conjunto ordenado Posición Mediciones Posición Mediciones
de datos de Q1 arriba y abajo Q1 de Q3 arriba y abajo Q3
0, 1, 4, 4, 5, 9 1.75 0 y 1 0 
 .75(1) � 5.25 5 y 9 5 
 .25(4) 
 .75 � 6
0, 1, 3, 3, 4, 7, 7, 8 2.25 y 6.75 y 
1, 1, 2, 5, 6, 6, 7, 9, 9 2.5 y 7.5 y 
Informe de progreso
• ¿Todavía tiene problemas? Intente de nuevo usando el Repertorio de ejerci-
cios del fi nal de esta sección.
• ¿Ya domina los cuartiles muestrales? Puede saltarse el Repertorio de ejerci-
cios del fi nal de esta sección.
Las respuestas están al fi nal de este libro.
ENTRENADOR PERSONALMIMI
 2.6 MEDICIONES DE POSICIÓN RELATIVA ❍ 79
Probabilidad_Mendenhall_02.indd 79Probabilidad_Mendenhall_02.indd 79 5/14/10 8:15:58 AM5/14/10 8:15:58 AM
 www.FreeLibros.me
80 ❍ CAPÍTULO 2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
Muchas de las medidas numéricas que usted ha aprendido se encuentran fácilmente 
usando programas de cómputo o incluso calculadoras graficadoras. El comando MINITAB 
Stat � Basic Statistics � Display Descriptive Statistics (véase la sección “Mi MINI-
TAB ” al final de este capítulo) produce una salida que contiene la media, la desviación 
estándar, la mediana y los cuartiles inferior y superior, así como los valores de algunas 
otras estadísticas que todavía no vemos. Los datos del ejemplo 2.13 produjeron la salida 
MINITAB que se muestra en la figura 2.16. Observe que los cuartiles son idénticos a los 
valores calculados manualmente en ese ejemplo.
FIGURA 2.16
Salida MINITAB para los 
datos del ejemplo 2.13
● Estadística descriptiva: x
Variable N N* Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum
X 10 0 13.50 1.98 6.28 4.00 8.75 12.00 18.50 25.00
EL RESUMEN DE CINCO NÚMEROS 
Y LA GRÁFICA DE CAJA
La mediana y los cuartiles superior e inferior que se muestran en la figura 2.15 dividen 
los datos en cuatro conjuntos, cada uno de los cuales contiene igual número de medi-
ciones. Si agregamos el número más grande (Max) y el número más pequeño (Min) del 
conjunto de datos a este grupo, tendremos un conjunto de números que da un rápido y 
aproximado resumen de la distribución de datos.
El resumen de cinco números consta del número más pequeño, el cuartil inferior, 
le mediana, el cuartil superior, y el número más grande, presentados en orden de 
menor a mayor:
Min Q1 Mediana Q3 Max
Por defi nición, un cuarto de las mediciones del conjunto de datos se encuentre entre 
cada uno de los cuatro pares adyacentes de números.
El resumen de cinco números se puede usar para crear una gráfica sencilla llamada 
gráfica de caja a fin de describir visualmente la distribución de datos. De la gráfica de 
caja, rápidamente se puede detectar cualquier sesgo en la forma de la distribución y ver 
si hay algunos resultados atípicos en el conjunto de datos.
Un resultado atípico aparece al trasponer dígitos cuando se registra una medición, al 
leer incorrectamente la carátula de un instrumento, por el mal funcionamiento de una 
pieza de equipo o por otros problemas. Aun cuando no haya errores de registro o de 
observación, un conjunto de datos puede contener una o más mediciones válidas que, 
por una u otra razón, difieren marcadamente de las otras del conjunto. Estos resultados 
atípicos pueden causar una notable distorsión en medidas numéricas de uso común tales 
como 
_
 x y s. De hecho, los atípicos pueden contener información importante no compar-
tida con las otras mediciones del conjunto. Por tanto, los resultados atípicos aislados, si 
están presentes, son un paso importante en cualquier análisis preliminar de un conjunto 
de datos. La gráfica de caja está diseñada expresamente para este fin.
2.7
Probabilidad_Mendenhall_02.indd 80Probabilidad_Mendenhall_02.indd 80 5/14/10 8:15:58 AM5/14/10 8:15:58 AM
 www.FreeLibros.me
PARA CONSTRUIR UNA GRÁFICA DE CAJA
• Calcule la mediana, los cuartiles superior e inferior y el IQR para el conjunto de 
datos.
• Trace una recta horizontal que represente la escala de medición. Forme una caja 
un poco arriba de la recta horizontal con los extremos derecho e izquierdo en Q1 
y Q3. Trace una recta vertical que pase por la caja en la ubicación de la mediana.
Una gráfica de caja se muestra en la figura 2.17.
En la sección 2.6, el puntaje z dio fronteras para hallar mediciones extraordinaria-
mente grandes o pequeñas. Buscamos puntajes z mayores a 2 o 3 en valor absoluto. La 
gráfica de caja usa el IQR para crear “límites” imaginarios para separar resultados atípi-
cos del resto del conjunto de datos:
DETECCIÓN DE RESULTADOS ATÍPICOS. 
OBSERVACIONES QUE ESTÁN A MAYOR DISTANCIA:
• Límite inferior: Q1 � 1.5(IQR)
• Límite superior: Q3 
 1.5(IQR)
Los límites superior e inferior se muestran con líneas interrumpidas en la figura 2.17, 
pero no suelen ser trazadas en la gráfica de caja. Cualquier medición a mayor distancia 
del límite superior o inferior es un resultado atípico; el resto de las mediciones, den-
tro de los límites, no son inusuales. Por último, la gráfica de caja marca el rango del 
conjunto de datos usando “bigotes” para conectar las mediciones más pequeñas y más 
grandes (excluyendo resultados atípicos) a la caja.
PARA TERMINAR LA GRÁFICA DE CAJA
• Marque cualesquier resultados atípicos con un asterisco (*) en la gráfi ca.
• Prolongue rectas horizontales llamadas “bigotes” desde los extremos de la caja a 
las observaciones más pequeñas y más grandes que no sean resultados atípicos.
A medida que los consumidores estadounidenses tienen más cuidado con los alimentos 
que consumen, los procesadores de alimentos tratan de ser competitivos al evitar can-
tidades excesivas de grasa, colesterol y sodio en los alimentos que venden. Los datos 
siguientes son las cantidades de sodio por rebanada (en miligramos) para cada una de 
ocho marcas de queso regular estadounidense. Construya una gráfi ca de caja para los 
datos y busque resultados atípicos.
340, 300, 520, 340, 320, 290, 260, 330
FIGURA 2.17
Gráfi ca de caja
●
Límite
inferior
Límite
superior
Q1 m Q3
 2.7 EL RESUMEN DE CINCO NÚMEROS Y LA GRÁFICA DE CAJA ❍ 81
E J E M P L O 2.14
Probabilidad_Mendenhall_02.indd 81Probabilidad_Mendenhall_02.indd 81 5/14/10 8:15:58 AM5/14/10 8:15:58 AM
 www.FreeLibros.me2 DESCRIPCIÓN DE DATOS CON MEDIDAS NUMÉRICAS
	2.7 El resumen de cinco números y la gráfica de caja