introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-80

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214 ❍ CAPÍTULO 5 ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS ÚTILES
pueda tener por lo general sigue una distribución Poisson 
con una media igual a la densidad de semillas por 
unidad de área. Suponga que la densidad de semillas es 
cuatro por metro cuadrado (m2).
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una semilla 
determinada no tenga vecinos dentro de 1 m2?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una semilla tenga a lo 
sumo tres vecinas por m2?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una semilla tenga 
cinco o más vecinas por m2?
d. Use el hecho de que la media y varianza de una 
variable aleatoria de Poisson son iguales, para hallar 
la proporción de vecinas que caerían en el intervalo 
m � 2s. Comente sobre este resultado.
5.75 Genética de plantas Una peonia con pétalos 
rojos fue cruzada con otra planta que tenía pétalos 
veteados. La probabilidad de que un descendiente de esta 
cruza tenga fl ores rojas es .75. Sea x el número de plantas 
con pétalos rojos que resulte de 10 semillas de esta cruza 
que se recolectaron y germinaron.
a. ¿La variable aleatoria x tiene una distribución 
binomial? Si no es así, ¿por qué no? Si es así, 
¿cuáles son los valores de n y p?
b. Encuentre P(x � 9).
c. Encuentre P(x � 1).
d. ¿Sería inusual observar una planta con pétalos rojos y 
las nueve plantas restantes con pétalos entreverados? 
Si realmente se presentan estos resultados, ¿qué 
conclusiones podrían sacar?
5.76 Características dominantes Los alelos 
de color negro (B) y blanco (b) de plumas de pollos 
muestran dominancia incompleta; los individuos con 
el par de genes Bb tienen plumas “azules”. Cuando 
un individuo que es homocigoto dominante (BB) para 
esta característica se aparea con un individuo que es 
homocigoto recesivo (bb) para esta característica, 1/4 
de los descendientes llevarán el par BB de genes, 1/2 
llevarán el par Bb de genes y 1/4 llevarán el par bb de 
genes. Sea x el número de pollos con plumas “azules” en 
una muestra de n � 20 pollos que resulta de cruzas que 
involucran a pollos homocigotos dominantes (BB) con 
pollos homocigotos recesivos (bb).
a. ¿La variable aleatoria x tiene una distribución 
binomial? Si no es así, ¿por qué no? Si es así, 
¿cuáles son los valores de n y p?
b. ¿Cuál es el número medio de pollos con plumas 
“azules” en la muestra?
c. ¿Cuál es la probabilidad de observar menos de cinco 
pollos con plumas “azules”?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de pollos 
con plumas “azules” sea mayor o igual a 10, pero 
menor o igual a 12?
5.77 Tiros al aire de monedas en fútbol Durante 
la temporada de fútbol de 1992, los Carneros de Los 
Ángeles (ahora Carneros de San Luis) tenían una insólita 
fi la de pérdidas en los tiros al aire de monedas. De hecho, 
perdieron la decisión 11 semanas en fi la.10
a. El gerente del sistema de cómputo de los Carneros 
dijo que las probabilidades en contra de perder 11 tiros 
al hilo son 2047 a 1. ¿Está bien?
b. Después que estos resultados se publicaron, los 
Carneros perdieron la decisión en los siguientes dos 
juegos, para un total de 13 pérdidas consecutivas. 
¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra si, de 
hecho, la moneda era imparcial?
5.78 Diabetes en niños La diabetes dependiente 
de insulina (IDD) es una enfermedad crónica común en 
niños, que se presenta con más frecuencia en personas 
con ascendencia del norte de Europa, pero la incidencia 
va de 1 o 2 casos en 100 000 por año hasta más de 40 
en 100 000 en partes de Finlandia.11 Supongamos que 
una región de Europa tiene una incidencia de 5 casos en 
100 000 por año.
a. ¿La distribución del número de casos de la IDD en 
esta región puede ser aproximada por una distribución 
de Poisson? Si es así, ¿cuál es la media?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de casos 
de la IDD en esta región sea menor o igual a 3 en 
100 000?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de casos sea 
mayor o igual a 3, pero menor o igual a 7 en 100 000?
d. ¿Esperaría usted observar 10 o más casos de la IDD en 
100 000 en esta región en un año determinado? ¿Por 
qué sí o por qué no?
5.79 Cintas de video defectuosas Un fabricante de 
cintas de video las envía en lotes de 1200 cintas por lote. 
Antes de un envío, se seleccionan al azar 20 cintas de 
cada lote y se prueban. Si ninguna es defectuosa, el lote 
es enviado. Si una o más son defectuosas, todas las cintas 
del lote se prueban.
a. ¿Cuál es la distribución de probabilidad para x, el 
número de cintas defectuosas en la muestra de 20?
b. ¿Qué distribución se puede usar para aproximar 
probabilidades para la variable aleatoria x del 
inciso a)?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote sea enviado 
si contiene 10 cintas defectuosas? ¿20 defectuosas? 
¿30 defectuosas?
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EJERCICIOS SUPLEMENTARIOS ❍ 215
5.80 Chocolate oscuro A pesar de informes de que 
el chocolate oscuro es benéfi co para el corazón, 47% de 
los adultos todavía prefi eren más el chocolate con leche 
que el oscuro.12 Suponga que una muestra aleatoria de 
n � 5 adultos se selecciona y se les pregunta si prefi eren 
más el chocolate con leche que el oscuro.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que los cinco adultos 
digan que prefi eren más el chocolate con leche que el 
oscuro?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres de 
los cinco adultos digan que prefi eren más el chocolate 
con leche que el oscuro?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un adulto 
prefi era más el chocolate con leche que el oscuro?
5.81 Enfermedad de Tay-Sachs La enfermedad de 
Tay-Sachs es un mal genético que por lo general es 
fatal para los niños. Si los dos padres son portadores 
de la enfermedad, la probabilidad de que sus descendientes 
la desarrollen es aproximadamente .25. Suponga que un 
esposo y esposa son portadores de la enfermedad y que 
la esposa ha estado embarazada en tres ocasiones. Si el 
suceso de la enfermedad de Tay-Sachs en uno de los 
hijos es independiente del suceso en cualquiera de los 
otros, ¿cuáles son las probabilidades de estos eventos?
a. Los tres hijos desarrollarán la enfermedad de Tay-
Sachs.
b. Sólo un hijo desarrollará la enfermedad de Tay-Sachs.
c. El tercer hijo desarrollará la enfermedad de Tay-
Sachs, dado que los primeros dos no la tuvieron.
5.82 Faltar al trabajo Muchos empleadores dan a 
sus trabajadores unos días por enfermedad así como por 
vacaciones. Entre los trabajadores que han tomado un día 
por enfermedad cuando en realidad no estaban enfermos, 
49% dijeron que necesitaban un descanso.13 Suponga que 
se toma una muestra aleatoria de n � 12 trabajadores 
que tomaron un día por enfermedad. Redondeando 
el 49% a p � .5, encuentre las probabilidades de los 
siguientes eventos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que más de seis 
trabajadores digan que tomaron un día por enfermedad 
porque necesitaban un descanso?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de cinco de los 
trabajadores necesitaban un descanso?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 10 de los 
trabajadores tomaron un día por enfermedad porque 
necesitaban un descanso?
5.83 La prueba del triángulo Un procedimiento 
que se usa con frecuencia para controlar la calidad de 
productos alimenticios de marca utiliza un panel de 
cinco “probadores”. Cada miembro del panel prueba 
tres muestras, dos de las cuales son de lotes del producto 
que se sabe tiene el sabor deseado y la otra proviene del 
último lote. Cada probador selecciona la muestra que 
es diferente de las otras dos. Suponga que el último lote 
tiene el sabor deseado y que no hay comunicación entre 
los probadores.
a. Si el último lote tiene el mismo sabor que los otros dos 
lotes, ¿cuál es la probabilidad de que el probador lo 
escoja como el que es diferente?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de 
los probadores escoja el último lote como diferente?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los 
probadores escojael último lote como el diferente?
5.84 ¿Devuelve usted sus cuestionarios? El 
presidente de una compañía, que se especializa en 
encuestas de opinión pública, dice que alrededor del 70% 
de las personas a quienes la agencia envía cuestionarios 
responde al llenar y devolver el cuestionario. Se envían 
20 de esos cuestionarios y suponga que lo dicho por el 
presidente es correcto.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 10 de los 
cuestionarios sean llenados y devueltos?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 12 de los 
cuestionarios sean llenados y devueltos?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo 10 de los 
cuestionarios sean llenados y devueltos?
5.85 Cuestionarios, continúa Consulte el ejercicio 
5.84. Si n � 20 cuestionarios se envían,
a. ¿Cuál es el número promedio de cuestionarios que 
serán devueltos?
b. ¿Cuál es la desviación estándar del número de 
cuestionarios que serán devueltos?
c. Si x � 10 de los 20 cuestionarios son devueltos a 
la compañía, ¿consideraría usted que esto es una 
respuesta poco común? Explique.
5.86 Problemas en aves Una investigación 
preliminar informó que alrededor del 30% de las 
aves producidas en la localidad estaban infectadas con 
un parásito intestinal que, aunque no riesgoso para 
quienes consumen las aves, disminuye los porcentajes 
acostumbrados de crecimiento en peso en las aves. Un 
suplemento en dieta que se pensaba era efi caz contra este 
parásito se agregó al alimento de las aves. Veinticinco 
aves se examinaron después de tomar el suplemento 
durante al menos dos semanas y se encontró que tres de 
las aves estaban todavía infectadas con el parásito.
a. Si el suplemento de la dieta es inefi caz, ¿cuál es la 
probabilidad de observar tres o menos aves infectadas 
con el parásito intestinal?
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216 ❍ CAPÍTULO 5 ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS ÚTILES
b. Si de hecho el suplemento alimenticio era efi caz 
y redujo el porcentaje de infección al 10%, ¿cuál 
es la probabilidad de observar tres o menos aves 
infectadas?
5.87 Descomposturas de máquinas En una planta 
de procesamiento y empaque de alimentos, en promedio, 
dos máquinas se descomponen por semana. Suponga que 
las descomposturas semanales de máquinas siguen una 
distribución de Poisson.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya 
descomposturas de máquinas en una 
semana determinada?
b. Calcule la probabilidad de que no haya más de 
dos descomposturas de máquinas en una semana 
determinada.
5.88 ¿Automovilistas seguros? Evidencias 
muestran que la probabilidad de que un automovilista 
participe en un grave accidente de automóvil durante 
un año determinado es .01. Una compañía en particular 
emplea 100 representantes de ventas viajeros a 
tiempo completo. Con base en esta evidencia, use la 
aproximación Poisson a la distribución binomial para 
hallar la probabilidad de que exactamente dos de los 
representantes de ventas participen en un grave accidente 
automovilístico durante el año venidero.
5.89 Estresado A un individuo se le enseña a 
hacer un trabajo en dos modos. Estudios realizados han 
demostrado que cuando es sometido a esfuerzo mental 
y se le pide efectuar el trabajo, el individuo casi siempre 
revierte el método que aprendió primero, sin considerar 
si era más fácil o más difícil. Si la probabilidad de que 
un sujeto regrese al primer método aprendido es .8 y seis 
sujetos son probados, ¿cuál es la probabilidad de que al 
menos cinco de los individuos reviertan al primer método 
aprendido cuando se les pida efectúen su trabajo bajo 
estrés?
5.90 Inscribirse en la universidad Una universidad 
de la costa oeste ha encontrado que alrededor del 90% de 
sus solicitantes, aceptados para inscripción en el grupo 
de primer año, en realidad se inscriben. En 2007, 1360 
solicitantes fueron aceptados a la universidad. ¿Dentro de 
qué límites esperaría usted hallar el tamaño del grupo 
de primer año en esta universidad en el verano de 2007?
5.91 Terremotos Suponga que uno de entre 
10 propietarios de casa en el estado de California 
ha invertido en un seguro contra terremotos. Si 15 
propietarios se seleccionan al azar para ser entrevistados,
a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno tenía 
seguro contra terremotos?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro o más tengan 
seguro contra terremotos?
c. ¿Dentro de qué límites esperaría usted que baje el 
número de propietarios asegurados contra terremotos?
5.92 Mal alambrado Los paneles de control 
alambrados incorrectamente se instalaron por error en 
dos de cada ocho máquinas-herramientas automáticas 
grandes. No es seguro saber cuál de las máquinas-
herramientas tienen los paneles defectuosos y se 
selecciona al azar una muestra de cuatro herramientas 
para inspeccionarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que la 
muestra no incluya paneles defectuosos? ¿Ambos paneles 
defectuosos?
5.93 Comer a la carrera ¿Cómo sobrevive usted 
cuando no hay tiempo para comer, ya sea un bocado 
rápido, nada de alimento o una barra de proteína, o 
dulce? Un artículo de USA Today indica que 36% de 
mujeres entre 25 y 55 años de edad dijeron que, cuando 
están demasiado ocupadas para comer, adquieren una 
comida rápida en un restaurante con entrada para autos.14 
Se selecciona una muestra al azar de 100 mujeres de 
entre 25 y 55 años de edad.
En auto Saltarse 
una comida
Barra de 
proteínas o 
licuado
Dulce/
bocadillo
Cómo comen mujeres a la carrera
40%
30%
20%
10%
0%
a. ¿Cuál es el número promedio de mujeres que dicen 
que toman comida rápida cuando están demasiado 
ocupadas para comer?
b. ¿Cuál es la desviación estándar para el número de 
mujeres que dicen que toman comida rápida cuando 
están demasiado ocupadas para comer?
c. Si 49 de las mujeres de la muestra dijeron que toman 
comida rápida cuando están demasiado ocupadas 
para comer, ¿esto sería un suceso poco común? 
Explique.
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