introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-82

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220 ❍ CAPÍTULO 6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 
PARA VARIABLES ALEATORIAS 
CONTINUAS
Cuando una variable aleatoria x es discreta, se puede asignar una probabilidad positiva 
a cada uno de los valores que x pueda tomar y obtener la distribución de probabilidad 
para x. La suma de todas las probabilidades asociada con los diferentes valores de x es 
1, pero no todos los experimentos resultan en variables aleatorias que sean discretas. 
Las variables aleatorias continuas, por ejemplo estaturas y pesos, lapso de vida útil 
de un producto en particular o un error experimental de laboratorio, pueden tomar los 
infinitamente numerosos valores correspondientes a puntos en un intervalo de una recta. 
Si se trata de asignar una probabilidad positiva a cada uno de estos numerosos valores, 
las probabilidades ya no sumarán 1, como es el caso con variables aleatorias discretas. 
Por tanto, se debe usar un método diferente para generar la distribución de probabilidad 
para una variable aleatoria continua.
Supongamos que usted tiene un conjunto de mediciones en una variable aleatoria 
continua y que crea un histograma de frecuencia relativa para describir la distribución de 
las mismas. Para un pequeño número de mediciones, se puede usar un pequeño número 
de clases; entonces, a medida que se recolecten más y más mediciones, se pueden usar 
más clases y reducir el ancho de clase. El perfil del histograma cambiará ligeramente, 
casi todo el tiempo haciéndose cada vez más irregular, como se muestra en la figura 6.1. 
Cuando el número de mediciones se hace muy grande y los anchos de clase se hacen 
muy angostos, el histograma de frecuencia relativa aparece cada vez más como la curva 
suave que aparece en la figura 6.1d). Esta curva suave describe la distribución de pro-
babilidad de la variable aleatoria continua.
6.1
FIGURA 6.1
Histogramas de frecuencia 
relativa para tamaños 
muestrales cada vez más 
crecientes
●
x
Fr
ec
ue
nc
ia
 r
el
at
iv
a
Fr
ec
ue
nc
ia
 r
el
at
iv
a
Fr
ec
ue
nc
ia
 r
el
at
iv
a
Fr
ec
ue
nc
ia
 r
el
at
iv
a
a)
xc) xd)
xb)
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 6.1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS ❍ 221
¿Cómo se puede crear un modelo para esta distribución de probabilidad? Una va-
riable aleatoria continua puede tomar cualquiera de un número infinito de valores de la 
recta real, en forma semejante al número infinito de granos de arena en una playa. La 
distribución de probabilidad es creada al distribuir una unidad de probabilidad a lo largo 
de la recta, igual que como se puede distribuir un puñado de arena. La probabilidad, 
es decir granos de arena o de mediciones, se apilarán en ciertos lugares y el resultado es 
la distribución de probabilidad mostrado en la figura 6.2. La profundidad o densidad 
de la probabilidad, que varía con x, puede ser descrita por una fórmula matemática f(x), 
llamada distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad para la 
variable aleatoria x.
Varias propiedades importantes de distribuciones continuas de probabilidad son com-
parables a sus similares discretas. Así como la suma de probabilidades discretas (o la 
suma de las frecuencias relativas) es igual a 1 y la probabilidad de que x caiga en cierto 
intervalo puede hallarse al sumar las probabilidades en ese intervalo, las distribuciones 
de probabilidad tienen las características que se detallan a continuación.
• El área bajo una distribución continua de probabilidad es igual a 1.
• La probabilidad de que x caiga en un intervalo particular, por ejemplo de a a b, 
es igual al área bajo la curva entre los dos puntos a y b. Ésta es el área sombreada 
de la figura 6.2.
También hay una diferencia importante entre variables aleatorias discretas y conti-
nuas. Considere la probabilidad de que x sea igual a algún valor en particular, por ejem-
plo a. Como no hay área arriba de un solo punto, por ejemplo x � a, en la distribución 
de probabilidad para una variable aleatoria continua, nuestra definición implica que la 
probabilidad es 0.
• P(x � a) � 0 para variables aleatorias continuas.
• Esto implica que P(x � a) � P(x � a) y P(x � a) � P(x � a).
• Esto no es cierto en general para variables aleatorias discretas.
¿Cómo se escoge el modelo, es decir, la distribución de probabilidad f(x) apropiada 
para un experimento dado? Existen muchos tipos de curvas continuas para modelar. 
Algunas son de forma de montículo, como la de la figura 6.1d), pero otras no lo son. En 
general, trate de escoger un modelo que satisfaga estos criterios:
• Se ajusta al cuerpo de datos acumulado.
• Permite hacer las mejores inferencias posibles usando los datos.
FIGURA 6.2
La distribución de 
probabilidad f (x ); 
P (a � x � b ) es igual 
al área sombreada bajo 
la curva
●
a xb
f(x)
P(a < x < b)
Para variables 
aleatorias continuas, 
área � probabilidad.
CONSEJOMIMI
El área bajo la curva 
es igual a 1.
CONSEJOMIMI
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222 ❍ CAPÍTULO 6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
La variable aleatoria uniforme se emplea para modelar el comportamiento de una varia-
ble aleatoria continua cuyos valores estén uniforme o exactamente distribuidos en un 
intervalo dado. Por ejemplo, es probable que el error x introducido al redondear una 
observación a la pulgada más cercana tenga una distribución uniforme en el intervalo 
de �.5 a .5. La función de densidad de probabilidad f(x) sería “plana” como se muestra 
en la figura 6.3. La altura del rectángulo está fija en 1, de modo que el área total bajo la 
distribución de probabilidad es 1.
¿Cuál es la probabilidad de que el error de redondeo sea menor a .2 en magnitud?
Solución Esta probabilidad corresponde al área bajo la distribución entre x � �.2 y 
x � .2. Como la altura del rectángulo es 1,
P(�.2 � x � .2) � [.2 � (�.2)] � 1 � .4
La variable aleatoria exponencial se utiliza para modelar variables aleatorias continuas 
tales como tiempos de espera o vidas útiles asociadas con componentes electrónicos. 
Por ejemplo, el tiempo de espera en una caja de pago de un supermercado tiene una 
distribución exponencial con un tiempo de espera promedio de 5 minutos. La función 
de densidad de probabilidad f(x) � .2e�.2x se ilustra en la fi gura 6.4. Para hallar áreas 
bajo esta curva, se puede usar el hecho de que P(x � a) � e�.2a para a � 0. ¿Cuál es la 
probabilidad de que usted tenga que esperar 10 minutos o más en la caja de pago del 
supermercado?
Solución La probabilidad a calcular es el área sombreada en la figura 6.4. Use la 
fórmula general para P(x � a) para hallar
P(x � 10) � e�.2(10) � .135
FIGURA 6.3
Una distribución uniforme 
de probabilidad
●
1.50
1.25
1.00
0.75
0.50
 �0.5 �0.2 0.0 0.2 0.5
x
f(
x)
FIGURA 6.4
Una distribución de 
probabilidad exponencial
●
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
 0 5 10 15 20
x
f(
x)
E J E M P L O 6.2
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	6.1 Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas