introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-87

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d. ¿Sería poco común hallar un paquete de carne molida 
que pese 1.45 libras? ¿Cómo explicaría usted un 
paquete tan grande?
6.19 Estatura en personas Las estaturas en personas 
son unas de las muchas variables biológicas que pueden 
ser modeladas por la distribución normal. Suponga 
que las estaturas de hombres tienen una media de 69 
pulgadas, con una desviación estándar de 3.5 pulgadas.
a. ¿Qué proporción de todos los hombres será más alta 
de 6
0�? (sugerencia: Convierta las mediciones a 
pulgadas.)
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre 
seleccionado al azar mida entre 5
8� y 6
1�?
c. El presidente George W. Bush mide 5
11� de estatura. 
¿Es ésta una estatura poco común?
d. De los 42 presidentes elegidos de 1789 a 2006, 18 
medían 6
0� o más.1 ¿Consideraría usted esto como 
poco común, dada la proporción hallada en el 
inciso a)?
6.20 Árboles de Navidad Los diámetros de 
abetos Douglas cultivados en una granja de árboles de 
Navidad están normalmente distribuidos, con una media 
de 4 pulgadas y una desviación estándar de 1.5 pulgadas.
a. ¿Qué proporción de los árboles tendrá diámetros entre 
3 y 5 pulgadas?
b. ¿Qué proporción de los árboles tendrá diámetros 
menores a 3 pulgadas?
c. El pedestal del árbol de Navidad de usted se expandirá 
a un diámetro de 6 pulgadas. ¿Qué proporción de 
los árboles no cabrán en el pedestal de su árbol 
de Navidad?
6.21 Circulación sanguínea cerebral La 
circulación sanguínea cerebral (CBF), en los cerebros 
de personas sanas, está normalmente distribuida con una 
media de 74 y desviación estándar de 16.
a. ¿Qué proporción de personas sanas tendrán lecturas de 
CFG entre 60 y 80?
b. ¿Qué proporción de personas sanas tendrán lecturas de 
CFG arriba de 100?
c. Si una persona tiene una lectura CBF debajo de 40, 
es clasifi cado como en riesgo de sufrir un ataque 
cerebral. ¿A qué proporción de personas sanas se les 
diagnosticará erróneamente como “en riesgo”?
6.22 Distancias de frenado Para un auto que corre 
a 30 millas por hora (mph), la distancia necesaria de 
frenado hasta detenerse por completo está normalmente 
distribuida con media de 50 pies y desviación estándar de 
8 pies. Suponga que usted está viajando a 30 mph en una 
zona residencial y un auto se mueve en forma abrupta en 
el camino de usted, a una distancia de 60 pies.
a. Si usted aplica los frenos, ¿cuál es la probabilidad 
de que frene hasta detenerse en no más de 40 pies o 
menos? ¿Y en no más de 50 pies o menos?
b. Si la única forma de evitar una colisión es frenar hasta 
detenerse por completo, ¿cuál es la probabilidad de 
que evite la colisión?
6.23 Capacidades en elevadores Supongamos 
que usted debe establecer reglas respecto al número 
máximo de personas que pueden ocupar un elevador. Un 
estudio de lugares ocupados en un elevador indica que 
si ocho personas ocupan el elevador, la distribución de 
probabilidad del peso total de las ocho personas tiene una 
media igual a 1200 libras y una desviación estándar de 
99 libras. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total 
de ocho personas exceda de 1300 libras? ¿Y de 1500 
libras? (Suponga que la distribución de probabilidad es 
aproximadamente normal.)
6.24 Una mina de fosfato La descarga de sólidos 
suspendidos desde una mina de fosfato está normalmente 
distribuida, con una descarga media diaria de 27 
miligramos por litro (mg/l) y una desviación estándar de 
14 mg/l. ¿Qué proporción de días excederá de 50 mg/l la 
descarga diaria?
6.25 Girasoles Un experimentador que hace 
publicidad en la publicación Annals of Botany investigó 
si los diámetros de tallos del girasol dicotiledónea 
cambiaría, dependiendo de si la planta fue dejada 
para balancearse libremente en el viento o estaba 
artifi cialmente sostenida.2 Suponga que los diámetros 
de tallos no soportados en la base, de una especie 
particular de girasol, tienen una distribución normal con 
un diámetro promedio de 35 milímetros (mm) y una 
desviación estándar de 3 mm.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una planta de girasol 
tenga un diámetro de base de más de 40 mm?
b. Si dos plantas de girasol se seleccionan al azar, ¿cuál 
es la probabilidad de que ambas plantas tengan un 
diámetro de base de más de 40 mm?
c. ¿Dentro de qué límites esperaría usted que se 
encuentren los diámetros de base, con probabilidad .95?
d. ¿Qué diámetro representa el 90avo percentil de la 
distribución de diámetros?
6.26 Frecuencia respiratoria El número de veces x 
que un humano adulto respira por minuto, cuando está 
en reposo, depende de su edad y varía en gran medida 
de una persona a otra. Suponga que la distribución de 
probabilidad para x es aproximadamente normal, con la 
media igual a 16 y la desviación estándar igual a 4. Si 
una persona se selecciona al azar y se registra el número 
x de respiraciones por minuto cuando está en reposo, 
¿cuál es la probabilidad de que x exceda de 22?
 6.3 ÁREAS TABULADAS DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD ❍ 235
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236 ❍ CAPÍTULO 6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
6.27 Pronósticos económicos Un método para llegar a 
pronósticos económicos es usar una propuesta de consensos. 
Se obtiene un pronóstico de cada uno de un número grande 
de analistas y el promedio de estos pronósticos individuales 
es el pronóstico de consenso. Suponga que los pronósticos 
individuales de la tasa de interés preferente de enero de 
2008, hechos por analistas económicos, están normalmente 
distribuidos en forma aproximada con la media igual a 
8.5% y una desviación estándar igual a .02%. Si al azar 
se selecciona un solo analista de entre este grupo, ¿cuál es 
la probabilidad de que el pronóstico del analista de la tasa 
preferente tome estos valores?
a. Rebase de 8.75%.
b. Sea menor a 8.375%.
6.28 Auditoría de impuestos ¿En qué forma 
determina el IRS (Hacienda) el porcentaje de devoluciones 
de impuesto al ingreso para auditar a cada estado? 
Suponga que lo hacen al azar, seleccionando 50 valores de 
entre una distribución normal con una media igual 
a 1.55% y una desviación estándar igual a .45%. (Existen 
programas de cómputo para este tipo de muestreo.)
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un estado particular 
tenga más de 2.5% de sus devoluciones de impuesto al 
ingreso auditadas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un estado tenga menos 
de 1% de sus devoluciones de impuesto al ingreso 
auditadas?
6.29 Bacterias en agua potable Suponga que los 
números de un tipo particular de bacterias, en muestras 
de 1 mililitro (ml) de agua potable, tienden a estar 
normalmente distribuidos en forma aproximada con 
media de 85 y desviación estándar de 9. ¿Cuál es la 
probabilidad de que una muestra determinada de 1 ml 
contenga más de 100 bacterias?
6.30 Carga de granos Un cargador de granos se 
puede ajustar para descargar granos en cantidades que 
están normalmente distribuidas, con media de m búshels y 
desviación estándar de 25.7 búshels. Si una compañía desea 
usar el cargador para llenar contenedores de 2000 búshels 
de grano y llenar de más sólo un contenedor en 100, ¿a qué 
valor de m debe la compañía ajustar el cargador?
6.31 ¿Cuántas palabras? Un editor ha descubierto 
que los números de palabras contenidos en un nuevo 
manuscrito están normalmente distribuidos, con una 
media igual a 20 mil palabras más de las especifi cadas 
en el contrato del autor y una desviación estándar de 
10 mil palabras. Si el editor desea estar casi seguro 
(digamos con una probabilidad de .95) que el manuscrito 
tenga menos de 100 mil palabras, ¿qué número de 
palabras debe especifi car el editor en el contrato?
6.32 ¿Alguien juega tenis? Un fabricante de 
raquetas de tenis ha encontrado que la tracción real de las 
cuerdas, alcanzada para cualquier encordado individual 
de raquetas, va a variar hasta en 6 libras por pulgada 
cuadrada con respecto a la tracción deseada fi jada en la 
máquina ensambladora. Si elfabricante desea montar 
cuerdas a una tracción menor que la especifi cada por un 
cliente sólo 5% del tiempo, ¿cuánto más arriba o abajo de 
la tracción especifi cada por el cliente el fabricante debe 
fi jar la máquina ensambladora? (nota: Suponga que la 
distribución de tracciones de las cuerdas producida por la 
máquina ensambladora está normalmente distribuida, con 
una media igual a la tracción fi jada en la máquina y una 
desviación estándar igual a 2 libras por pulgada cuadrada.)
6.33 Compras en un centro comercial Un artículo 
en el American Demographics dice que más del doble de 
compradores salen de compras los fi nes de semana que 
durante la semana.3 No sólo eso, porque esos compradores 
también gastan más dinero en sus compras en sábados 
y domingos. Suponga que la cantidad de dinero gastada 
en centros comerciales, entre las 4 p.m. y las 6 p.m. los 
domingos tiene una distribución normal con media de 
$85 y una desviación estándar de $20. Un comprador se 
selecciona al azar un domingo entre las 4 p.m. y las 6 p.m. 
y se le pregunta sobre su forma de gastar.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que él haya gastado más 
de $95 en el centro comercial?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que él haya gastado entre 
$95 y $115 en el centro comercial?
c. Si dos compradores se seleccionan al azar, ¿Cuál es 
la probabilidad de que ambos compradores hayan 
gastado más de $115 en el centro comercial?
6.34 Frecuencia de pulsaciones La frecuencia de 
pulsaciones es una medida del número de pulsaciones del 
corazón en un minuto. Se puede medir en varios lugares 
del cuerpo, donde una arteria pasa cerca de la piel. Una vez 
que encuentre el pulso, cuente el número de pulsaciones por 
minuto, es decir, cuente durante 30 segundos y multiplique 
por dos. ¿Cuál es una frecuencia de pulsaciones normal? Eso 
depende de varios factores. Las frecuencias de pulsaciones 
entre 60 y 100 pulsaciones por minuto se consideran 
normales para niños de más de 10 años de edad y en 
adultos.4 Suponga que estas frecuencias de pulsaciones están 
distribuidas normalmente en forma aproximada, con una 
media de 78 y una desviación estándar de 12.
a. ¿Qué proporción de adultos tendrá frecuencias de 
pulsaciones entre 60 y 100?
b. ¿Cuál es el 95avo percentil para las frecuencias de 
pulsaciones de adultos?
c. ¿Una frecuencia de pulsaciones de 110 sería 
considerada poco común? Explique.
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LA APROXIMACIÓN NORMAL 
A LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
BINOMIAL (OPCIONAL)
En el capítulo 5 aprendimos tres formas de calcular probabilidades para la variable bino-
mial aleatoria x:
• Con el uso de la fórmula binomial, P(x � k) � Cnkp
kq n�k
• Con el uso de las tablas acumulativas binomiales
• Con el uso de applets Java
La fórmula binomial produce cálculos largos y las tablas se pueden adquirir sólo para 
ciertos valores de n y p. Hay otra opción cuando np � 7; las probabilidades de Poisson 
se pueden usar para aproximar P(x � k). Cuando esta aproximación no funciona y n es 
grande, la distribución normal de probabilidad da otra aproximación para probabilida-
des binomiales.
LA APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN 
DE PROBABILIDAD BINOMIAL
Sea x la variable binomial aleatoria con n intentos y probabilidad p de éxito. La dis-
tribución de probabilidad de x se aproxima mediante el uso de una curva normal con
m � np y s � �
____
 npq 
Esta aproximación es adecuada mientras n sea grande y p no esté demasiado cerca 
de 0 o 1.
Como la distribución normal es continua, el área bajo la curva en cualquier punto 
individual es igual a 0. Recuerde que este resultado se aplica sólo a variables aleatorias 
continuas. Como la variable binomial aleatoria x es una variable aleatoria discreta, la 
probabilidad de que x tome algún valor específico, por ejemplo x � 11, no necesaria-
mente será igual a 0.
Las figuras 6.18 y 6.19 muestran los histogramas binomiales de probabilidad para 
n � 25 con p � .5 y p � .1, respectivamente. La distribución en la figura 6.18 es exac-
tamente simétrica.
6.4
FIGURA 6.18
Distribución binomial de 
probabilidad para n � 25 y 
p � .5 y la distribución 
normal de aproximación 
con m � 12.5 y s � 2.5
●
x
p(x)
0
.1
5 10 15 20 25
.2
10.57.5
 6.4 LA APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL (OPCIONAL) ❍ 237
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	6 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL DE PROBABILIDAD
	6.4 La aproximación normal a la distribución de probabilidad binomial(opcional)