introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-101

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7.6 LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL ❍ 277
Se puede ver de la fi gura 7.13 que la distribución muestral de p̂ está centrada sobre su 
media p. Aun cuando no se sabe el valor exacto de p (la proporción muestral p̂ puede 
ser mayor o menor de p), puede hallarse un valor aproximado para la desviación están-
dar de la distribución muestral usando la proporción muestral p̂ para aproximar el valor 
desconocido de p. Entonces,
SE � �
___
 
p̂q̂
 ___ n � �
___
 
p̂q̂
 ___ n 
 � �
_________
 
(.60)(3.40)
 _________ 
500
 � .022 
Por tanto, aproximadamente 95% del tiempo, p̂ caerá en no más de 2SE � .044 del (des-
conocido) valor de p.
¿Cómo calculo probabilidades para la proporción 
muestral p̂?
1. Encuentre los valores necesarios de n y p.
2. Verifi que si la aproximación normal a la distribución binomial es apropiada 
(np � 5 y nq � 5).
3. Anote el evento de interés en términos de p̂ y localice el área apropiada en la 
curva normal.
4. Convierta los valores necesarios de p̂ en valores z usando
 z � 
p̂ � p
 _____ 
 �
___
 
pq
 ___ n 
 
5. Use la tabla 3 del apéndice I para calcular la probabilidad.
Repertorio de ejercicios (Llene los espacios en blanco)
A. Tome una muestra aleatoria de tamaño n � 36 de una distribución binomial con 
media p � .4. La distribución muestral de p̂ será aproximadamente 
con una media de y una desviación estándar (o error estándar) de .
B. Para hallar la probabilidad de que la proporción muestral exceda de .5, anote el 
evento de interés. 
 Cuando p̂ � .5,
z � 
p̂ � p
 _____ 
 �
___
 
pq
 ___ n 
 � 
 Encuentre la probabilidad:
P( p̂ � ) � P(z � ) � 1 � � 
(continúa)
ENTRENADOR PERSONALMIMI
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278 ❍ CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
C. Para hallar la probabilidad de que la proporción muestral sea entre .5 y .6, anote 
el evento de interés. 
 Cuando p̂ � .5 y p̂ � .6,
z � 
p̂ � p
 _____ 
 �
___
 
pq
 ___ n 
 � y z � 
p̂ � p
 _____ 
 �
___
 
pq
 ___ n 
 � 
 Encuentre la probabilidad:
P( � p̂ � ) � P( � z � ) � � � 
Informe de progreso
• ¿Todavía tiene problemas? Trate de nuevo usando el Repertorio de ejercicios 
del fi nal de esta sección.
• ¿Ya domina la tabla z? Puede saltarse el Repertorio de ejercicios del fi nal de 
esta sección.
Las respuestas están al fi nal de este libro.
Consulte el ejemplo 7.6. Suponga que la proporción p de padres en la población es en 
realidad igual a .55. ¿Cuál es la probabilidad de observar una proporción muestral igual 
de grande o mayor que el valor observado p̂ � .60?
Solución La fi gura 7.14 muestra la distribución muestral de p̂ cuando p � .55, con 
el valor observado p̂ � .60 ubicado sobre el eje horizontal. La probabilidad de observar 
una proporción muestral p̂ igual o mayor a .60 es aproximada por el área sombreada en 
la cola superior de esta distribución normal con
p � .55
y
SE � �
___
 
pq
 ___ 
n
 � �
_________
 
(.55)(.45)
 ________ 
500
 � .0222
E J E M P L O 7.7
f(p̂)
.60p = .55 p̂
P(p̂ ≥ .60) 
FIGURA 7.14
Distribución muestral de 
p̂ para n � 500 y p � .56 
para el ejemplo 7.7
●
Para hallar el área sombreada, primero calcule el valor z correspondiente a p̂ � .60:
z � 
p̂ � p
 ______ 
 �
____
 pq/n 
 � .60 � .55 ________ .0222
 � 2.25
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 7.6 LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL ❍ 279
Usando la tabla 3 del apéndice I, encontramos
P( p̂ � .60) � P(z � 2.25) � 1 � .9878 � .0122
Esto es, si fuéramos a seleccionar una muestra aleatoria de n � 500 observaciones de 
una población con proporción p igual a .55, la probabilidad de que la proporción mues-
tral p̂ sería tan grande o mayor a .60 es de sólo .0122.
Cuando la distribución normal se utilizó en el capítulo 6 para aproximar las proba-
bilidades binomiales asociadas con x, una corrección de �.5 se aplicó para mejorar 
la aproximación. La corrección equivalente aquí es �(.5/n). Por ejemplo, para p̂ � .60 el 
valor de z con la corrección es
z1 � 
(.60 � .001) � .55
 ________________ 
 �
________
 
(.55)(.45)
 ________ 
500
 
 � 2.20
con P( p̂ � .60) � .0139. A una precisión de dos lugares decimales, este valor concuer-
da con el resultado anterior. Cuando n es grande, el efecto de usar la corrección es por lo 
general insignifi cante. Usted debe resolver problemas de este capítulo y los restantes sin 
el factor de corrección a menos que específi camente se le solicite.
REPERTORIO DE EJERCICIOS 
(LLENE LOS ESPACIOS EN BLANCO)
Estos ejercicios se refi eren a la sección Mi entrenador personal de la página 277.
7.35 Se toma una muestra aleatoria de tamaño n � 50 de una distribución binomial 
con media de p � .7. La distribución muestral de p̂ será aproximadamente con una 
media de y una desviación estándar (o error estándar) de .
7.36 Para hallar la probabilidad de que la proporción muestral sea menor a .8, anote el 
evento de interés. 
Cuando p̂ � .8,
z � 
p̂ � p
 _____ 
 �
___
 
pq
 ___ n 
 � 
Encuentre la probabilidad: 
P( p̂ � ) � P(z � ) � 
 EJERCICIOS7.6
TÉCNICAS BÁSICAS
7.37 Muestras aleatorias de tamaño n se seleccionaron 
de poblaciones binomiales con parámetros poblacionales 
p dados aquí. Encuentre la media y la desviación estándar 
de la distribución muestral de la proporción muestral p̂ en 
cada caso:
a. n � 100, p � .3
b. n � 400, p � .1
c. n � 250, p � .6
7.38 ¿Es apropiado usar la distribución normal para 
aproximar la distribución muestral de p̂ en las siguientes 
circunstancias?
a. n � 50, p � .05
b. n � 75, p � .1
c. n � 250, p � .99
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	7.6 La distribución muestral de la proporción muestral
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