introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-102

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280 ❍ CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
7.39 Muestras aleatorias de tamaño n � 75 se 
seleccionaron de una población binomial con p � .4. 
Use la distribución normal para aproximar las siguientes 
probabilidades: 
a. P( p̂ 	 .43)
b. P(.35 	 p̂ 	 .43)
7.40 Muestras aleatorias de tamaño n � 500 se 
seleccionaron de una población binomial con p � .1.
a. ¿Es apropiado usar la distribución normal para 
aproximar la distribución muestral de p̂? Verifi que 
para asegurarse que estén satisfechas las condiciones 
necesarias.
Usando los resultados del inciso a), encuentre estas 
probabilidades: 
b. p̂ � .12
c. p̂ � .10
d. p̂ está a no más de .02 de p
7.41 Calcule SE( p̂) para n � 100 y estos valores de p: 
a. p � .01 b. p � .10 c. p � .30
d. p � .50 e. p � .70 f. p � .90
g. p � .99
h. Grafi que SE( p̂) contra p en papel de gráfi ca y trace 
una curva suave que pase por los puntos. ¿Para qué 
valor de p es máxima la desviación estándar de la 
distribución muestral de p̂? ¿Qué ocurre al error 
estándar cuando p es cercano a 0 o a 1.0?
7.42 a. ¿Es apropiada la aproximación normal a la dis-
tribución muestral cuando n � 400 y p � .8?
b. Use los resultados del inciso a) para hallar la 
probabilidad de que p̂ es mayor a) .83.
c. Use los resultados del inciso a), para hallar la 
probabilidad de que p̂ está entre .76 y .84.
APLICACIONES
7.43 Bajar de peso Reportajes en periódicos nos 
dicen que el estadounidense promedio tiene sobrepeso. 
Muchos de nosotros hemos tratado de bajar de peso 
cuando terminamos la preparatoria o la universidad. Y, 
en efecto, sólo 19% de adultos dicen que no sufren de 
problemas de pérdida de peso.10 Suponga que la cifra 
de 19% es correcta y que se selecciona una muestra 
aleatoria de n � 100 adultos.
a. La distribución de p̂, es decir, la proporción muestral 
de adultos que no sufren de excesos de peso, ¿tiene 
una distribución normal aproximada? Si es así, ¿cuál 
es su media y desviación estándar?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral 
p̂ exceda de .25?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que p̂ se encuentre dentro 
del intervalo .25 a .30?
d. ¿Qué se podría concluir acerca de p si la proporción 
muestral excede de .30?
7.44 Costos de prescripciones El costo de 
prescripciones de patente se fi ja para dar apoyo a 
investigación y desarrollo de estos medicamentos, 
que pueden tardar hasta 20 años. Sin embargo, una 
mayoría de estadounidenses dice que los costos de 
medicamentos de patente (66%), los costos de hospital 
(64%) y visitas de médicos (55%) son irracionalmente 
altos.11 Suponga que se toma una muestra aleatoria 
de n � 1000 adultos. Sea p̂ la proporción de adultos 
que dicen que los precios de medicinas con receta son 
irracionalmente altos.
a. ¿Cuál es la distribución exacta de p̂? ¿Cómo se puede 
aproximar la distribución de p̂?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que p̂ exceda de .68?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que p̂ se encuentre entre 
.64 y .68?
d. ¿Un porcentaje muestral de 70% estaría en contra del 
valor reportado de 66%?
7.45 M&M’S De acuerdo con el sitio web de 
M&M’S, el porcentaje promedio de dulces M&M’S cafés 
de un paquete de chocolates M&M’S de leche es 13%.12 
(Este porcentaje varía, no obstante, entre los diferentes 
tipos de los M&M’S empacados.) Suponga que al azar 
se selecciona un paquete de chocolates M&M’S de leche 
que contiene 55 dulces y se determina la proporción de 
dulces M&M’S cafés del paquete.
a. ¿Cuál es la distribución aproximada de la proporción 
muestral de dulces M&M’S cafés en un paquete que 
contiene 55 dulces?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje muestral 
de dulces cafés sea menor a 20%?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje muestral 
exceda de 35%?
d. ¿Dentro de qué intervalo espera usted que la 
proporción muestral se encuentre alrededor de 95% 
del tiempo?
7.46 El “proyecto de ley de la hamburguesa 
con queso” En la primavera de 2004, el Congreso 
de Estados Unidos consideró un proyecto de ley que 
impediría a estadounidenses demandaran a gigantes de la 
comida rápida como McDonald’s por hacerles engordar. 
Aun cuando la industria de la comida rápida puede no ser 
culpable, un estudio realizado por el Hospital Infantil 
de Boston informa que alrededor de dos tercios de 
adultos estadounidenses y alrededor de 15% de niños 
y adolescentes presentan sobrepeso.13 Se seleccionó una 
muestra aleatoria de 100 niños.
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 7.7 UNA APLICACIÓN MUESTRAL: CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS (OPCIONAL) ❍ 281
UNA APLICACIÓN MUESTRAL: CONTROL 
ESTADÍSTICO DE PROCESOS (OPCIONAL)
La metodología del control estadístico de procesos (CEP) fue inventada para observar, 
controlar y mejorar productos y servicios. Los cojinetes de acero deben apegarse a espe-
cifi caciones de dimensiones y dureza, los productos químicos industriales tienen un bajo 
nivel especifi cado de impurezas y las empresas de contaduría deben reducir al mínimo y 
fi nalmente eliminar asientos incorrectos en contabilidades. Con frecuencia se dice que el 
control estadístico de procesos está formado por 10% de estadística y 90% de ingeniería 
y sentido común. Desde el punto de vista estadístico podemos observar la media de un 
proceso y decir cuándo es que la media cae fuera de límites asignados previamente, pero 
no podemos decir por qué está fuera de control. Contestar esta última pregunta requiere 
de conocimiento del proceso y capacidad de resolver problemas, es decir, el otro 90%.
La calidad de un producto suele ser supervisada con el uso de gráfi cas estadísticas 
de control. Las mediciones en la variable de un proceso a ser observado cambian con 
el tiempo. Se dice que la causa de un cambio en la variable es asignable si puede ser 
localizada y corregida. Otra variación, los pequeños cambios fortuitos debidos a la alte-
ración del ambiente de producción, que no sea controlable se considera como variación 
aleatoria. Si la variación en la variable de un proceso es sólo aleatoria, se dice que el 
proceso está en control. El primer objetivo en el control estadístico de procesos es eli-
minar causas asignables de variación en la variable del proceso y luego poner el proceso 
bajo control. El siguiente paso es reducir la variación y poner las mediciones en la varia-
ble del proceso dentro de límites de especifi cación, es decir, límites dentro de los cuales 
deben caer las mediciones sobre objetos o servicios utilizables.
Una vez que un proceso esté en control y esté produciendo un producto satisfacto-
rio, sus variables son supervisadas con gráfi cas de control. Se toman muestras de n 
artículos del proceso a intervalos especifi cados y se calcula una estadística muestral. 
Estas estadísticas se grafi can en la tabla de control, de modo que el proceso se puede 
verifi car respecto a cambios en la variable del proceso que podrían indicar problemas 
de control.
Una gráfi ca de control para la media 
del proceso: la gráfi ca x̄
Suponga que n artículos se seleccionan al azar del proceso de producción a interva-
los iguales y que se registran mediciones en la variable del proceso. Si el proceso está 
en control, las medias muestrales deben variar alrededor de la media poblacional m 
en forma aleatoria. Además, de acuerdo con el teorema del límite central, la distribu-
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje muestral 
de niños con sobrepeso exceda de 25%?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje muestral 
de niños con sobrepeso sea menor a 12%?
c. ¿Sería poco común hallar que 30% de los niños 
muestreados tuvieran sobrepeso? Explique.
7.47 ¡Ah, las nueces! ¿Es usted un “puritano” del 
chocolate, o le gustan otros ingredientes en su chocolate? 
American Demographics informa que casi 75% de 
los consumidores gustan de ingredientes tradicionales 
como nueces o caramelos en su chocolate. Son menos 
entusiastas hacia el gusto de la menta o el café,que dan 
sabores más distintivos.14 Una muestra aleatoria de 200 
consumidores se selecciona y se registra el número de 
quienes gustan de las nueces o caramelo en su chocolate.
a. ¿Cuál es la distribución muestral aproximada para 
la proporción muestral p̂? ¿Cuáles son la media y 
distribución estándar para esta distribución?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el porcentaje muestral 
sea mayor a 80%?
c. ¿Dentro de qué límites se esperaría que la proporción 
muestral se encuentre alrededor de 95% del tiempo?
7.7
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282 ❍ CAPÍTULO 7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
ción muestral de x� debe ser aproximadamente normal, de modo que casi todos los valo-
res de x� caen en el intervalo (m � 3 SE) � m � 3(s/ �
__
 n ). Aun cuando los valores exac-
tos de m y s sean desconocidos, se pueden obtener estimaciones precisas con el uso de 
mediciones muestrales.
Toda gráfi ca de control tiene una línea de centro y límites de control. La línea del 
centro para la gráfi ca x� es la estimación de m, el gran promedio de todas las estadísticas 
muestrales calculadas de las mediciones en la variable del proceso. Los límites de con-
trol superior e inferior están colocados a tres desviaciones estándar arriba y debajo de la 
línea de centro. Si se observa la media del proceso con base en k muestras de tamaño n 
tomadas a intervalos regulares, la línea de centro es x��, el promedio de las medias mues-
trales y los límites de control están en x�� � 3(s/ �
__
 n ), con s estimada por s, la desviación 
estándar de las mediciones nk.
Un sistema estadístico de observación del control del proceso muestrea los diámetros 
interiores de n � 4 cojinetes por hora. En la tabla 7.6 aparecen los datos para k � 25 
muestras por hora. Construya una gráfi ca x� para vigilar la media del proceso.
Solución La media muestral se calculó para cada una de las k � 25 muestras. Por 
ejemplo, la media para la muestra 1 es
x� � 
.992 � 1.007 � 1.016 � .991
����
4
 � 1.0015
E J E M P L O 7.8
TABLA 7.6
 
●
 25 muestras por hora de diámetros de cojinetes, 
n � 4 cojinetes por muestra
 Mediciones de Media muestral,
Muestra muestra x�
 1 .992 1.007 1.016 .991 1.00150
 2 1.015 .984 .976 1.000 .99375
 3 .988 .993 1.011 .981 .99325
 4 .996 1.020 1.004 .999 1.00475
 5 1.015 1.006 1.002 1.001 1.00600
 6 1.000 .982 1.005 .989 .99400
 7 .989 1.009 1.019 .994 1.00275
 8 .994 1.010 1.009 .990 1.00075
 9 1.018 1.016 .990 1.011 1.00875
10 .997 1.005 .989 1.001 .99800
11 1.020 .986 1.002 .989 .99925
12 1.007 .986 .981 .995 .99225
13 1.016 1.002 1.010 .999 1.00675
14 .982 .995 1.011 .987 .99375
15 1.001 1.000 .983 1.002 .99650
16 .992 1.008 1.001 .996 .99925
17 1.020 .988 1.015 .986 1.00225
18 .993 .987 1.006 1.001 .99675
19 .978 1.006 1.002 .982 .99200
20 .984 1.009 .983 .986 .99050
21 .990 1.012 1.010 1.007 1.00475
22 1.015 .983 1.003 .989 .99750
23 .983 .990 .997 1.002 .99300
24 1.011 1.012 .991 1.008 1.00550
25 .987 .987 1.007 .995 .99400
Las medias muestrales se ven en la última columna de la tabla 7.6. La línea del centro 
está situada en el promedio de las medias muestrales, o sea
x�� � 
24.9675 _______ 
25
 � .9987
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	7 DISTRIBUCIONES MUESTRALES
	7.7 Una aplicación muestral: control estadístico de procesos (opcional)
	Una gráfica de control para la media del proceso: la gráfica x̄