introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-110

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304 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRAS GRANDES
FIGURA 8.5
Gráfi ca de medias de 
tratamiento y sus errores 
estándar
●
A
5
Tratamientos
R
es
pu
es
ta
10
15
B
SE
SE
Se puede tener confi anza en que la estimación muestral de 980 libras está a no más de 
� 29 libras de la media poblacional.
Al reportar resultados de una investigación, es frecuente que los investigadores agre-
guen ya sea la desviación muestral estándar s (a veces llamada SD) o el error estándar 
s/ �
__
 n (por lo general llamado SE o SEM) a las estimaciones de medias poblacionales. 
Siempre se debe buscar una explicación en el texto del informe que diga si el investiga-
dor está informando 
_
 x � SD o 
_
 x � SE. Además, las medias muestrales y desviaciones 
estándar o errores estándar se presentan como “barras de error” usando el formato grá-
fico que se ve en la figura 8.5.
Además del peso promedio del oso polar del Ártico, el ambientalista del ejemplo 8.4 
también está interesado en las opiniones de adultos sobre el tema del calentamiento 
global. En particular, desea estimar la proporción de personas que piensan que el calen-
tamiento global es un problema muy serio. En una muestra aleatoria de n � 100 adultos, 
73% de la muestra indicaron que, de lo que han oído o leído, el calentamiento global 
es un problema muy serio. Estime la verdadera proporción de población de adultos que 
piensan que el calentamiento global es un problema muy serio y encuentre el margen de 
error para la estimación.
Solución El parámetro de interés es ahora p, la proporción de personas en la pobla-
ción que piensan que el calentamiento global es un problema muy serio. El mejor esti-
mador de p es la proporción muestral p̂, que para esta muestra es p̂ � .73. Para hallar el 
margen de error, usted puede aproximar el valor de p con su estimación p̂ � .73:
1.96 SE � 1.96 �
___
 
p̂q̂
 ___ 
n
 � 1.96 �
_______
 
.73(.27)
 _______ 
100
 � .09
Con este margen de error, se puede estar bastante cierto de que la estimación de .73 
está dentro de � .09 del verdadero valor de p. En consecuencia, se puede concluir que 
el verdadero valor de p podría ser de sólo .64 o de hasta .82. Este margen de error es 
bastante grande cuando se compare con la estimación misma y refl eja el hecho de que 
se requiere de muestras grandes para alcanzar un pequeño margen de error cuando se 
estime p.
E J E M P L O 8.5
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TABLA 8.1 
●
 Algunos valores calculados de �
____
 pq 
 p pq �
___
 pq p pq �
___
 pq 
.1 .09 .30 .6 .24 .49
.2 .16 .40 .7 .21 .46
.3 .21 .46 .8 .16 .40
.4 .24 .49 .9 .09 .30
.5 .25 .50
 EJERCICIOS8.4
La tabla 8.1 muestra la forma en que el numerador del error estándar de p̂ cambia para 
diversos valores de p. Observe que, para casi todos los valores de p, en especial cuando 
p está entre .3 y .7, hay muy poco cambio en �
___
 pq , el numerador del SE, que alcanza su 
máximo valor cuando p � .5. Esto significa que el margen de error usando el estima-
dor p̂ también será máximo cuando p � .5. Cuando estiman p, algunos entrevistadores 
rutinariamente usan el margen máximo de error, que a veces recibe el nombre de error 
muestrale, en cuyo caso calculan
1.96 SE � 1.96 �
_____
 
.5(.5)
 _____ n o a veces 2 SE � 2 �
_____
 
.5(.5)
 _____ n 
Las encuestas Gallup, Harris y Roper generalmente usan tamaños muestrales de alrede-
dor de 1000, de modo que su margen de error es
1.96 �
_____
 
.5(.5)
 _____ 
1000
 � .031 o sea alrededor de 3%
En este caso, se dice que la estimación está dentro de �3 puntos porcentuales de la ver-
dadera proporción de población.
TÉCNICAS BÁSICAS
8.1 Explique lo que signifi ca “margen de error” en 
estimación puntual.
8.2 ¿Cuáles son dos características del mejor estimador 
puntual para un parámetro poblacional?
8.3 Calcule el margen de error al estimar una media 
poblacional m para estos valores:
a. n � 30, s 2 � .2
b. n � 30, s 2 � .9
c. n � 30, s 2 � 1.5
8.4 Consulte el ejercicio 8.3. ¿Qué efecto tiene una 
mayor varianza poblacional sobre el margen de error?
8.5 Calcule el margen de error al estimar una media 
poblacional m para estos valores:
a. n � 50, s2 � 4
b. n � 500, s2 � 4
c. n � 5000, s2 � 4
8.6 Consulte el ejercicio 8.5. ¿Qué efecto tiene 
un tamaño muestral aumentado sobre el margen 
de error?
8.7 Calcule el margen de error al estimar una 
proporción binomial para cada uno de los siguientes 
valores de n. Use p � .5 para calcular el error estándar 
del estimador.
a. n � 30 b. n � 100 
c. n � 400 d. n � 1000
8.8 Consulte el ejercicio 8.7. ¿Qué efecto tiene aumentar 
el tamaño muestral sobre el margen de error?
8.9 Calcule el margen de error al estimar una proporción 
binomial p usando muestras de tamaño n � 100 y los 
siguientes valores para p:
a. p � .1 b. p � .3 c. p � .5
d. p � .7 e. p � .9
f. ¿Cuál de los valores de p produce el máximo margen 
de error?
 8.4 ESTIMACIÓN PUNTUAL ❍ 305
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306 ❍ CAPÍTULO 8 ESTIMACIÓN DE MUESTRA GRANDE
8.10 Suponga que está usted escribiendo un cuestionario 
para una encuesta muestral que comprende n � 100 
individuos. El cuestionario va a generar estimaciones 
para varias proporciones binomiales diferentes. Si desea 
informar un solo margen de error para la encuesta, ¿qué 
margen de error del ejercicio 8.9 es el correcto para usar?
8.11 Una muestra aleatoria de n � 900 observaciones 
de entre una población binomial produjo x � 655 éxitos. 
Estime la proporción binomial p y calcule el margen de 
error.
8.12 Una muestra aleatoria de n � 50 observaciones 
de entre una población cuantitativa produjo 
_
 x � 56.4 y 
s2 � 2.6. Dé la mejor estimación puntual para la media 
poblacional m, y calcule el margen de error.
APLICACIONES
8.13 La falla de San Andrés Unos geólogos están 
interesados en corrimientos y movimientos de la 
superfi cie terrestre indicados por fracturas (grietas) de la 
corteza de nuestro planeta. Una de las fracturas grandes 
más famosas es la falla de San Andrés, en California. 
Una geóloga que trata de estudiar el movimiento de los 
cambios relativos en la corteza terrestre, en un lugar en 
particular, encontró numerosas fracturas en la estructura 
local de rocas. En un intento por determinar el ángulo 
medio de las roturas, ella muestreó n � 50 fracturas y 
encontró que la media muestral y desviación estándar 
eran de 39.8° y 17.2°, respectivamente. Estime la 
dirección angular media de las fracturas y encuentre el 
margen de error para su estimación.
8.14 Biomasa Las estimaciones de la biomasa 
de la Tierra, es decir, la cantidad total de vegetación 
que hay en los bosques del planeta, son importantes 
para determinar la cantidad de dióxido de carbono no 
absorbido que se espera permanezca en la atmósfera 
terrestre.2 Suponga que una muestra de 75 terrenos de un 
metro cuadrado, escogidos al azar en bosques boreales 
de América del Norte, produjo una biomasa media de 
4.2 kilogramos por metro cuadrado (kg/m2), con una 
desviación estándar de 1.5 kg/m2. Estime el promedio de 
biomasa para los bosques boreales de América del Norte 
y encuentre el margen de error para su estimación.
Fuente: Reimpreso con permiso de Science News, publicación semanal de Science, 
copyright 1989 por Science Services, Inc.
8.15 Confi anza del consumidor Un aumento en la tasa 
de ahorros del consumidor está con frecuencia relacionado 
con la falta de confi anza en la economía y se dice que es un 
indicador de una tendencia a la recesión de la economía. 
Un muestreo aleatorio de n � 200 cuentas de ahorro en una 
comunidad local mostró un aumento medio en valores de 
cuentas de ahorro de 7.2% en los últimos 12 meses, con una 
desviación estándar de 5.6%. Estime el aumento medio en 
porcentajeen valores de cuentas de ahorros de los últimos 
12 meses para depositantes de esta comunidad. Encuentre 
el margen de error para su estimación.
8.16 Niños multimedia ¿Nuestros hijos pasan el 
mismo tiempo, disfrutando de actividades al aire libre y 
jugando con la familia y amigos, que las generaciones 
previas? O bien, ¿nuestros hijos pasan cada vez más 
tiempo frente a un televisor, computadora y otros equipos 
multimedia? Una muestra aleatoria de 250 niños entre 
ocho y 18 años de edad mostró que 170 niños tenían un 
televisor en su recámara y 120 de ellos tenían también 
un juego de video.
a. Estime la proporción de todos los niños y 
adolescentes, de ocho a 18 años, que tienen un 
televisor en sus recámaras y calcule el margen de error 
de su estimación.
b. Estime la proporción de todos los niños y 
adolescentes, de ocho a 18 años, que tienen un juego 
de video en sus recámaras y calcule el margen de 
error de su estimación. 
8.17 Inmigración legal En un tiempo en la historia de 
Estados Unidos, cuando parece haber una preocupación 
genuina por el número de inmigrantes ilegales que 
viven en ese país, también parece haber preocupación 
por el número de inmigrantes legales a los que se 
les permite entrar al país. En una encuesta reciente 
que incluyó preguntas acerca de inmigrantes legales 
e ilegales, 51% de los n � 900 votantes registrados 
entrevistados indicaron que se debería reducir el número 
de inmigrantes legales que entraran a Estados Unidos.3
a. ¿Cuál es la estimación puntual para la proporción de 
votantes registrados en Estados Unidos, que piensan 
que se debería reducir el número de inmigrantes que 
entran a Estados Unidos? Calcule el margen de error.
b. La encuesta informa de un margen de error de 
� 3%. ¿En qué forma fue calculado el margen 
de error publicado para que se pueda aplicar a todas 
las preguntas de la encuesta?
8.18 Vacaciones de verano Uno de los principales 
costos en unas vacaciones planeadas es el del 
alojamiento. Incluso dentro de una cadena particular de 
hoteles, los costos pueden variar considerablemente 
dependiendo del tipo de cuarto y comodidades ofrecidas.4 
Suponga que al azar escogemos 50 facturas de cada una 
de las bases de datos computarizadas de las cadenas de 
hoteles Marriott, Radisson y Wyndham, y registramos las 
tarifas de un cuarto por noche.
 Marriott Radisson Wyndham
Promedio muestral $170 $145 $150
Desviación estándar muestral 17.5 10 16.5
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	8.4 Estimación puntual
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