introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-128

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358 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
z1 � 
x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 � 874.18 � 870 ____________ 
21/ �
___
 50 
 � 1.41
z2 � 
x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 � 885.82 � 870 ____________ 
21/ �
___
 50 
 � 5.33
Entonces
b � P(aceptar H0 cuando m � 870) � P(874.18 � x� � 885.82 cuando m � 870)
 � P(1.41 � z � 5.33)
Se puede ver de la fi gura 9.8 que el área bajo la curva normal con m � 870 arriba de 
x� � 885.82 (o z � 5.33) es insignifi cante. Por tanto,
b � P(z � 1.41)
De la tabla 3 del apéndice I se puede hallar
b � 1 � .9207 � .0793
En consecuencia, la potencia de la prueba es
1 � b � 1 � .0793 � .9207
La probabilidad de rechazar correctamente H0, dado que m es en realidad igual a 870, 
es .9207, o alrededor de 92 probabilidades en 100.
APPLETMIMI
Se puede usar el applet Power of a z-Test (Potencia de una prueba z) para calcular 
la potencia para la prueba hipotética del ejemplo 9.8 y también para la misma prueba 
cuando se cambie el tamaño muestral. Consulte la fi gura 9.9. El applet de la fi gura 9.9 
muestra un tamaño muestral de n � 50. El cursor de la parte inferior del applet permite 
cambiar el valor verdadero de m; la potencia se recalcula cuando cambia la media. 
¿Cuál es el verdadero valor de m y la potencia de la prueba mostrada en el applet? 
Compare esto con el valor hallado en la tabla 9.2. El cursor del lado izquierdo del applet 
permite cambiar a y el cursor de la derecha permite cambiar el tamaño muestral n. 
Recuerde que n debe ser 
 30 para que la prueba z sea apropiada. Se usarán estos 
applets para explorar potencia usando los Ejercicios MiApplet al fi nal del capítulo.
FIGURA 9.9
Applet Power of a z-Test
●
Probabilidad_Mendenhall_09.indd 358Probabilidad_Mendenhall_09.indd 358 5/14/10 8:50:32 AM5/14/10 8:50:32 AM
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 9.3 UNA PRUEBA DE MUESTRA GRANDE ACERCA DE UNA MEDIA POBLACIONAL ❍ 359
Se pueden calcular valores de (1 � b) para diversos valores de ma diferentes a m0 � 
880 para medir la potencia de la prueba. Por ejemplo, si ma � 885,
b � P(874.18 � x� � 885.82 cuando m � 885)
 � P(�3.64 � z � .28)
 � .6103 � 0 � .6103
y la potencia es (1 � b) � .3897. La tabla 9.2 muestra la potencia de la prueba para 
diversos valores de ma y en la fi gura 9.10 se grafi ca una curva de potencia. Observe que 
la potencia de la prueba aumenta cuando aumenta la distancia entre ma y m0. El resultado 
es una curva en forma de U para esta prueba de dos colas.
Hay numerosos enlaces importantes entre las dos tasas de error, a y b, la potencia, 
(1 � b), y el tamaño muestral, n. Vea las dos curvas que se ilustran en la fi gura 9.8.
• Si a (la suma de las dos áreas de cola de la curva de la derecha) aumenta, el área 
sombreada correspondiente a b disminuye y viceversa.
• La única forma de disminuir b para una a fi ja es “comprar” más información, es 
decir, aumentar el tamaño muestral n.
¿Qué ocurriría al área b cuando la curva de la izquierda se acerca a la curva de la derecha 
(m � 880)? Con la región de rechazo de la curva derecha fi ja, el valor de b aumentará. 
¿Qué efecto tiene esto en la potencia de la prueba? Veamos la fi gura 9.10.
TABLA 9.2 
●
 Valor de (1 � b) para diversos valores de ma para el ejemplo 9.8
ma (1 � b) ma (1 � b)
865 .9990 883 .1726
870 .9207 885 .3897
872 .7673 888 .7673
875 .3897 890 .9207
877 .1726 895 .9990
880 .0500
μ865
.2
Potencia, 1 – β
870 875 880 885 890 895
.4
.6
.8
1.0
FIGURA 9.10
Curva de potencia para el 
ejemplo 9.8
●
Probabilidad_Mendenhall_09.indd 359Probabilidad_Mendenhall_09.indd 359 5/14/10 8:50:32 AM5/14/10 8:50:32 AM
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360 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
También es posible que el experimentador utilice el applet Power of a z-Test para 
ayudarse a visualizar las siguientes expresiones:
• Cuando aumenta la distancia entre los valores verdadero (ma) e hipotético (m0) de 
la media, la potencia (1 � b) aumenta. La prueba es mejor para detectar diferen-
cias cuando la distancia es grande.
• Cuanto más se acerque el verdadero valor (ma) al valor hipotético (m0), menos 
potencia tiene (1 � b) para detectar la diferencia.
• La única forma de aumentar la potencia (1 � b) para una a fi ja es “comprar” 
más información, es decir, aumentar el tamaño muestral, n.
El experimentador debe decidir sobre los valores de a y b, o sea medir los riesgos de 
los posibles errores que él o ella puedan tolerar. Él o ella deben decidir cuánta potencia 
es necesaria para detectar diferencias que sean prácticamente importantes en el experi-
mento. Una vez tomadas estas decisiones, el tamaño muestral puede escogerse al con-
sultar las curvas de potencia correspondientes a diversos tamaños muestrales para la 
prueba escogida.
¿Cómo calculo b?
1. Encuentre el valor o valores críticos de x� usados para separar las regiones de acep-
tación y rechazo.
2. Usando uno o más valores para m consistentes con la hipótesis alternativa Ha, 
calcule la probabilidad de que la media muestral x� caiga en la región de acepta-
ción. Esto produce el valor b � P(aceptar Ha cuando m � ma).
3. Recuerde que la potencia de la prueba es (1 � b).
ENTRENADOR PERSONALMIMI
 EJERCICIOS9.3
REPERTORIO DE EJERCICIOS
Estos ejercicios se refi eren a la sección Mi entrenador personal de la página 355.
9.1 Método del valor crítico Llene los espacios en blanco en la tabla siguiente.
9.2 Método del valor p Llene los espacios en blanco en la tabla siguiente.
Estadístico Nivel de ¿Prueba de una Región de
de prueba signifi cancia o dos colas? Valor crítico rechazo Conclusión
z � 0.88 a � .05 Dos colas
z � �2.67 a � .05 Una cola (inferior)
z � 5.05 a � .01 Dos colas
z � �1.22 a � .01 Una cola (inferior)
Estadístico Nivel de ¿Prueba de una 
de prueba signifi cancia o dos colas? Valor p ¿Valor p � a? Conclusión
z � 3.01 a � .05 Dos colas
z � 2.47 a � .05 Una cola (superior)
z � �1.30 a � .01 Dos colas
z � �2.88 a � .01 Una cola (inferior)
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	9.3 Una prueba de muestra grande acerca de una media poblacional
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