introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-126

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352 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
Defi nición Si el valor p es menor o igual a un nivel de signifi cancia a asignado 
previamente, entonces la hipótesis nula puede ser rechazada y se puede informar que los 
resultados son estadísticamente signifi cativos al nivel a.
En el ejemplo previo, si se escoge a � .05 como nivel de signifi cancia, H0 puede ser 
rechazada porque el valor p es menor a .05. No obstante, si se escoge a � .01 como 
nivel de signifi cancia, el valor p (.0212) no es sufi cientemente pequeño para permitir 
el rechazo de H0. Los resultados son signifi cativos al nivel de 5%, pero no al de 1%. 
Pueden verse estos resultados publicados en revistas profesionales como (p � .05) sig-
nifi cativo.†
Consulte el ejemplo 9.5. La gerente de control de calidad desea saber si la producción 
diaria en una planta química local, que ha promediado 880 toneladas en los últimos años, 
ha cambiado en años recientes. Una muestra aleatoria de 50 días da una producción 
promedio de 871 toneladas con desviación estándar de 21 toneladas. Calcule el valor p 
para esta prueba de hipótesis de dos colas. Use el valor p para sacar conclusiones con 
respecto a la prueba estadística.
Solución La región de rechazo para esta prueba de hipótesis de dos colas se encuen-
tra en ambas colas de la distribución normal de probabilidad. Como el valor observado 
del estadístico de prueba es z � �3.03, la región de rechazo más pequeña que se puede 
usar y todavía rechazar H0 es �z� � 3.03. Para esta región de rechazo, el valor de a es el 
valor p:
Valor p � P(z � 3.03) � P(z � �3.03) � (1 � .9988) � .0012 � .0024
Observe que el valor p de dos colas es en realidad dos veces el área de cola correspon-
diente al valor calculado de la estadística de prueba. Si este valor p � .0024 es menor o 
igual al nivel de signifi cancia a asignado previamente, H0 puede ser rechazada. Para esta 
prueba, se puede rechazar H0 ya sea al nivel de signifi cación de 1% o de 5%.
Si el investigador está leyendo un informe de investigación, ¿qué tan pequeño debe 
ser el valor p antes que se decida a rechazar H0? Numerosos investigadores usan una 
“escala de cálculo” para clasifi car sus resultados.
• Si el valor p es menor a .01, H0 se rechaza. Los resultados son altamente signifi -
cativos.
• Si el valor p está entre .01 y .05, H0 se rechaza. Los resultados son estadística-
mente signifi cativos.
• Si el valor p está entre .05 y .10, H0 por lo general no se rechaza. Los resultados 
son sólo tendentes hacia signifi cancia estadística.
• Si el valor p es mayor a .10, H0 no es rechazada. Los resultados no son estadísti-
camente signifi cativos.
Los estándares establecidos por dependencias del gobierno indican que los estadouni-
denses no deben exceder una ingesta diaria de sodio con promedio de 3300 miligramos 
(mg). Para averiguar si los estadounidenses están excediendo este límite, se seleccionó 
una muestra de cien de ellos y se encontró que la media y desviación estándar de ingesta 
diaria de sodio era de 3400 mg y 1100 mg, respectivamente. Use a � .05 para efectuar 
una prueba de hipótesis.
E J E M P L O 9.6
E J E M P L O 9.7
†
Al informar la signifi cancia estadística, muchos investigadores escriben (p � .05) o (P � .05) para indicar que 
el valor p de la prueba fue menor a .05, haciendo los resultados importantes al nivel de 5%. El símbolo p o P 
de la expresión no tiene relación con nuestra notación para probabilidad o con el parámetro binomial p.
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 9.3 UNA PRUEBA DE MUESTRA GRANDE ACERCA DE UNA MEDIA POBLACIONAL ❍ 353
Solución Las hipótesis a probarse son
H0 : m � 3300 contra Ha : m � 3300
y el estadístico de prueba es
z � 
x� � m0 ______ 
s/ �
__
 n 
 � 3400 � 3300 ___________ 
1100/ �
____
 100 
 � .91
Los dos métodos desarrollados en esta sección dan las mismas conclusiones.
• Método del valor crítico: Como el nivel de signifi cancia es a � .05 y la prueba 
es de una cola, la región de rechazo está determinada por un valor crítico con 
área de cola igual a a � .05; esto es, H0 puede ser rechazada si z � 1.645. Como 
z � .91 no es mayor que el valor crítico, H0 no es rechazada (véase la fi gura 9.6).
• Método del valor p: Calcule el valor p, la probabilidad de que z es mayor o igual 
a z � .91:
Valor p � P(z � .91) � 1 � .8186 � .1814
La hipótesis nula puede ser rechazada sólo si el valor p es menor o igual al nivel de 
signifi cancia especifi cado de 5%. Por tanto, H0 no es rechazada y los resultados no son 
estadísticamente signifi cativos (véase la fi gura 9.6). No hay sufi ciente evidencia para 
indicar que el promedio de ingesta diaria de sodio exceda de 3300 mg.
f(z)
0 z
α = .05
1.645
Rechazar H0 (z > 1.645)
.91
Valor p = .1814
FIGURA 9.6
Región de rechazo y valor p 
para el ejemplo 9.7
●
Valor p pequeño ⇔ valor z 
grande.
Valor p pequeño ⇒ rechazar 
H0. ¿Qué tan pequeño? Valor 
p � a.
CONSEJOMIMI
APPLETMIMI
Se puede usar el applet Large-Sample Test of a Population Mean (Prueba de 
muestras grandes de una media poblacional) para visualizar los valores p para 
pruebas de una o de dos colas de la media poblacional m (fi gura 9.7), pero recuerde 
que estas pruebas z están restringidas a muestras de tamaño n 
 30. El applet no pro-
híbe introducir un valor de n � 30, pero hay que tener cuidado de verifi car el tamaño 
muestral antes de empezar. El procedimiento sigue el mismo modelo que con applets 
previos. Se introducen los valores de x�, n y s, recuerde presionar “Enter” después de 
cada entrada para registrar los cambios. El applet calculará z (usando precisión com-
pleta) y da la opción de escoger valores p de una o de dos colas (Área a la izquierda, 
Área a la derecha o Dos Colas), así como área Central que el usuario no necesitará.
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354 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
FIGURA 9.7
Applet Large-Sample Test 
of a Population Mean
●
Observe que estos dos métodos son iguales en realidad, como se ve en la fi gura 9.6. 
Tan pronto como el valor calculado del estadístico de prueba z se hace mayor que el 
valor crítico, za, el valor p se hace menor que el nivel de signifi cancia a. Se puede usar 
el más cómodo de los dos métodos; las conclusiones a las que se llegue siempre serán 
iguales. El método del valor p tiene dos ventajas:
• La salida estadística de paquetes como el MINITAB por lo general informa del 
valor p de la prueba.
• Con base en el valor p, los resultados de la prueba se pueden evaluar usando 
cualquier nivel de signifi cancia que se desee. Muchos investigadores informan 
del nivel de signifi cancia más pequeño posible para el cual los resultados son 
estadísticamente signifi cativos.
A veces es fácil confundir el nivel de signifi cancia a con el valor p (o nivel de signi-
fi cancia observado). Ambos son probabilidades calculadas como áreas en las colas de 
la distribución muestral de la estadística de prueba. No obstante, el nivel de signifi can-
cia a es establecido previamente por el experimentador antes de recolectar los datos. El 
valor p está unido de manera directa a los datos y en realidad describe qué tan probables 
o improbables son los resultados muestrales, suponiendo que H0 sea verdadera. Cuanto 
más pequeño sea el valor p, más improbable es que H0 sea verdadera.
Para los datos del ejemplo 9.7, el valor p es el área de una cola a la derecha de z � 
.909. ¿Los resultados mostrados en el applet confi rman nuestras conclusiones del 
ejemplo 9.7? Recuerde que el applet usa precisión completa para el cálculo de z y 
su probabilidad correspondiente. Esto signifi ca que la probabilidad que calculamos 
usando la tabla 3 del apéndice I puede ser ligeramente diferente respecto de la proba-
bilidad mostrada en el applet.Probabilidad_Mendenhall_09.indd 354Probabilidad_Mendenhall_09.indd 354 5/14/10 8:50:31 AM5/14/10 8:50:31 AM
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