introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-140

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394 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
Recuerde del capítulo 9 que hay dos formas de efectuar una prueba de hipótesis:
• El método del valor crítico: Proponga una región de rechazo basada en los 
valores críticos de la distribución muestral de la estadística. Si el estadístico de 
prueba cae en la región de rechazo, se puede rechazar H0.
• El método del valor p: Calcule el valor p con base en el valor observado de la 
estadística de prueba. Si el valor p es menor que el nivel de signifi cancia, a, se 
puede rechazar H0. Si no hay nivel de signifi cancia preestablecido, use las guías de 
la sección 9.3 para juzgar la signifi cancia estadística de sus resultados muestrales.
Usamos el primer método en la solución del ejemplo 10.3 y el segundo método para 
resolver el ejemplo 10.4.
Las leyendas en latas de 1 galón de pintura por lo general indican el tiempo de secado y 
el área que puede cubrirse con una capa. Casi todas las marcas de pintura indican que, en 
una capa, 1 galón cubrirá entre 250 y 500 pies cuadrados, dependiendo de la textura de la 
superficie a pintarse. Un fabricante, sin embargo, dice que 1 galón de su pintura cubrirá 
400 pies cuadrados de área superficial. Para probar su dicho, una muestra aleatoria de 
10 latas de 1 galón de pintura blanca se empleó para pintar 10 áreas idénticas usando 
la misma clase de equipo. Las áreas reales (en pies cuadrados) cubiertas por estos 10 
galones de pintura se dan a continuación:
310 311 412 368 447
376 303 410 365 350
¿Los datos presentan suficiente evidencia para indicar que la cobertura promedio difiere 
de 400 pies cuadrados? Encuentre el valor p para la prueba y úselo para evaluar la signi-
ficancia estadística de los resultados.
Solución Para probar el dicho, las hipótesis a probarse son
H0 : m � 400 contra Ha : m � 400
La media muestral y desviación estándar para los datos registrados son
x� � 365.2 s � 48.417
y el estadístico de prueba es
t � 
x� � m0 ______ 
s/ �
__
 n 
 � 365.2 � 400 ___________ 
48.417/ �
___
 10 
 � �2.27
El valor p para esta prueba es la probabilidad de observar un valor de la estadística t 
como contradictorio a la hipótesis nula como el observado para este conjunto de datos, 
es decir, t � �2.27. Como ésta es una prueba de dos colas, el valor p es la probabilidad 
de que t � �2.27 o t 
 2.27.
A diferencia de la tabla z, la tabla para t da los valores de t correspondientes a áreas 
de cola superior iguales a .100, .050, .025, .010 y .005. En consecuencia, sólo se puede 
aproximar el área de cola superior que corresponda a la probabilidad de que t � 2.27. 
Como el estadístico t para esta prueba está basada en 9 df, nos referimos a la fila corres-
pondiente a df � 9 de la tabla 4. Los cinco valores críticos para varias áreas de cola se 
muestran en la figura 10.7, un agrandamiento de la cola de la distribución t con 9 grados 
de libertad. El valor t � 2.27 cae entre t.025 � 2.262 y t.010 � 2.821. Por tanto, el área de 
cola derecha correspondiente a la probabilidad de que t � 2.27 está entre .01 y .025. 
Como esta área representa sólo la mitad del valor p, se puede escribir
.01 � �
1
2
�(valor p) � .025 o .02 � valor p � .05
E J E M P L O 10.4
Recuerde del capítulo 2 
cómo calcular x� y s usando el 
método de entrada de datos 
en su calculadora.
CONSEJOMIMI
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 10.3 INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA RESPECTO A UNA MEDIA POBLACIONAL ❍ 395
¿Qué nos dice esto acerca de la significancia de los resultados estadísticos? Para recha-
zar H0, el valor p debe ser menor al nivel de significancia especificado, a. En consecuen-
cia, podría rechazarse H0 al nivel de 5% pero no al nivel de 2% o 1%. Por tanto, el valor 
p para esta prueba por lo general sería informado por el experimentador como
valor p � .05 (o a veces P � .05)
Para esta prueba de hipótesis, H0 es rechazada al nivel de significancia de 5%. Hay sufi-
ciente evidencia para indicar que la cobertura promedio difiere de 400 pies cuadrados.
¿Dentro de qué límites realmente cae este promedio de cobertura? Un intervalo 
de confianza de 95% da los límites superior e inferior para m como 
 �x 	 ta/2� s ___ �__ n �
365.2 	 2.262� 48.417 ______ �___ 10 �
365.2 	 34.63
Entonces, se puede estimar que el promedio de área cubierta por 1 galón de esta marca 
de pintura está en el intervalo 330.6 a 399.8. Una estimación más precisa del intervalo 
(un intervalo más corto) puede obtenerse por lo general al aumentar el tamaño muestral. 
Observe que el límite superior de este intervalo es muy cercano al valor de 400 pies 
cuadrados, que es la cobertura marcada en la leyenda de la lata. Esto coincide con el 
hecho de que el valor observado de t � �2.27 es sólo ligeramente menor que el valor 
crítico de cola izquierda de t.025 � �2.262, haciendo que el valor p sea sólo ligeramente 
menor a .05.
Casi todos los paquetes de estadística para computadoras contienen programas que 
ponen en práctica la prueba t de Student o construyen un intervalo de confianza para m 
cuando los datos se introducen correctamente en la base de datos de la computadora. 
Casi todos estos programas calcularán e indicarán el valor p exacto de la prueba, lo 
cual permite en forma rápida y precisa sacar conclusiones acerca de la significancia 
estadística de los resultados. Los resultados del MINITAB de prueba t de una muestra y 
de procedimientos de intervalo de confianza se dan en la figura 10.8. Además del valor 
observado de t � �2.27 y el intervalo de confianza (330.6, 399.8), la salida da la media 
muestral, la desviación muestral estándar, el error estándar la media (media de error 
estándar � s/ �
__
 n ), y el valor p exacto de la prueba (P � .049). Esto es consistente con el 
rango para el valor p que encontramos usando la tabla 4 del apéndice I:
.02 � valor p � .05
t
f(t)
1.383 1.833
2.27
2.821 3.250
.100
.050
.025
.010
.005
2.262
FIGURA 10.7
Cálculo del valor p para 
el ejemplo 10.4 (área 
sombreada � �12� valor p)
●
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396 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
Para los datos del ejemplo 10.4, el valor p es el área de dos colas a la derecha de t � 
2.273 y a la izquierda de t � �2.273. ¿Puede hallarse este mismo valor p en la salida 
impresa MINITAB de la figura 10.9?
Se puede ver el valor de usar la salida impresa de computadora o el applet Java para 
evaluar resultados estadísticos:
• El valor p exacto elimina la necesidad de tablas y valores críticos.
• Todos los cálculos numéricos son hechos por el usuario.
El trabajo más importante, que se deja al experimentador, es interpretar los resultados 
en términos de su ¡significancia práctica!
T de una muestra: Área
Test of mu = 400 vs not = 400
Variable N Mean StDev SE Mean
Area 10 365.2 48.4 15.3
Variable 95% CI T P
Area (330.6, 399.8) -2.27 0.049
FIGURA 10.8
Salida impresa MINITAB 
para el ejemplo 10.4
●
APPLETMIMI
Puede usarse el applet Small Sample Test of a Population Mean (Prueba de mues-
tra pequeña de una media poblacional) para visualizar los valores p para pruebas 
de una o de dos colas de la media poblacional m. El procedimiento sigue el mismo 
patrón que con applets previos. El usuario introduce los valores de x�, n y s y presiona 
“Enter” después de cada entrada; el applet calculará t y dará la opción de escoger 
valores p de una o de dos colas (Área a la Izquierda, Área a la Derecha o Dos Colas), 
así como área Central que el usuario no necesitará.
FIGURA 10.9
Applet Small Sample 
Test of a Population 
Mean
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