introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-138

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388 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
Este segundo método fue utilizado por un inglés llamado W.S. Gosset en 1908. Él dedujo 
una complicada fórmula para la función de densidad de
t � 
x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 
para muestras aleatorias de tamaño n desde una población normal y publicó sus resul-
tados bajo el nombre de “Student”. Desde entonces, la estadística se conoce como t de 
Student. Tiene las siguientes características:
• Tiene forma de montículo y es simétrica alrededor de t � 0, igual que z.
• Es más variable que z, con “colas más pesadas”; esto es, la curva t no aproxima al 
eje horizontal con la misma rapidez que z. Esto es porque el estadístico t abarca 
dos cantidades aleatorias, x� y s, en tanto que el estadístico z tiene sólo la media 
muestral, x�. Se puede ver este fenómeno en la fi gura 10.1.
• La forma de la distribución t depende del tamaño muestral n. A medida que n au-
menta, la variabilidad de t disminuye porque la estimación s de s está basada en 
más y más información. En última instancia, cuando n sea infi nitamente grande, 
las distribuciones t y z son idénticas.
El divisor (n � 1) en la fórmula para la varianza muestral s2 se denomina número de 
grados de libertad (df ) asociados con s2. Determina la forma de la distribución t. El 
origen del término grados de libertad es teórico y se refiere al número de desviaciones 
independientes elevadas al cuadrado en s2 existentes para estimar s 2. Estos grados de 
libertad pueden cambiar para diferentes aplicaciones y, como especifican la distribución 
t correcta a usar, es necesario recordar que hay que calcular los grados de libertad correc-
tos para cada aplicación.
La tabla de probabilidades para la distribución z normal estándar ya no es útil para 
calcular valores críticos o valores p para el estadístico p. En lugar de ello, se usará la 
tabla 4 del apéndice I que se reproduce parcialmente en la tabla 10.1. Al indizar un 
número particular de grados de libertad, la tabla registra ta, un valor de t que tiene área 
a de cola a su derecha, como se ve en la figura 10.2.
0
Distribución 
normal
Distribución t
FIGURA 10.1
Estándar normal z y la 
distribución t con 5 grados 
de libertad
●
0 t
a
f(t)
ta
FIGURA 10.2
Valores tabulados de la t 
de Student
●
Para una t de una muestra, 
df � n � 1.
CONSEJOMIMI
Probabilidad_Mendenhall_10.indd 388Probabilidad_Mendenhall_10.indd 388 5/14/10 8:51:08 AM5/14/10 8:51:08 AM
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 10.2 DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT ❍ 389
Para una distribución t con 5 grados de libertad, el valor de t que tiene área .05 a su 
derecha se encuentra en la fi la 5 en la columna marcada t.050. Para esta distribución t 
particular, el área a la derecha de t � 2.015 es .05; sólo 5% de todos los valores de la 
estadística t rebasarán este valor.
TABLA 10.1 
●
 Formato de la tabla t de Student tomado de la tabla 4 del apéndice I
df t.100 t.050 t.025 t.010 t.005 df
 1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 1
 2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 2
 3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 3
 4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 4
 5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5
 6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 6
 7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 7
 8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 8
 9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 9
 . . . . . . .
 . . . . . . .
 . . . . . . .
26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 26
27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 27
28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 28
29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 29
inf. 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 inf.
E J E M P L O 10.1
APPLETMIMI
Se puede usar el applet Student’s t Probabilities (Probabilidades t de Student) 
para hallar el valor t descrito en el ejemplo 10.1. El primer applet, que aparece en la 
figura 10.3, da valores t y sus probabilidades de dos colas, en tanto que el segundo 
applet da valores t y probabilidades de una cola. Use el cursor de la derecha del applet 
para seleccionar los grados de libertad apropiados. Para el ejemplo 10.1, debe selec-
cionar df � 5 y teclear .10 en la caja marcada “prob:” en la parte inferior del primer 
applet. El applet dará el valor de t que ponga .05 en una cola de la distribución t. El 
segundo applet mostrará la t idéntica para un área de .05 de una cola. El applet de la 
figura 10.3 muestra t � 2.02 que es correcta a dos lugares decimales. Usaremos este 
applet para los ejercicios de Mi Applet al final del capítulo.
FIGURA 10.3
Applet Student’s t 
Probabilities
●
Probabilidad_Mendenhall_10.indd 389Probabilidad_Mendenhall_10.indd 389 5/14/10 8:51:08 AM5/14/10 8:51:08 AM
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390 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
Supongamos que usted tiene una muestra de tamaño n � 10 de una distribución normal. 
Encuentre un valor de t tal que sólo 1% de todos los valores de t sea más pequeño.
Solución Los grados de libertad que especifican la distribución t correcta son 
df � n � 1 � 9, y el valor t necesario debe estar en la parte inferior de la distribución, 
con área .01 a su izquierda, como se ve en la figura 10.4. Como la distribución t es 
simétrica alrededor de 0, este valor es simplemente el negativo del valor en el lado 
derecho con área .01 a su derecha, o –t.01 � �2.821.
E J E M P L O 10.2
APPLETMIMI
Comparación de las distribuciones t y z
Vea una de las columnas de la tabla 10.1. Cuando aumentan los grados de libertad, 
el valor crítico de t disminuye hasta que, con df � inf., el valor t crítico es igual al 
valor z crítico para la misma área de cola. Se puede usar el applet (Comparing t and z) 
para visualizar este concepto. Vea los tres applets de la figura 10.5, que muestran los 
valores críticos para t.025 en comparación con z.025 para df � 8 29 y 100. (El cursor del 
lado derecho del applet permite cambiar el df.) La curva roja (negra en la figura 10.5) 
es la distribución normal estándar, con z.025 � 1.96. 
FIGURA 10.5
Applet Comparing t and z
●
0 t
f(t)
–2.821
.01
FIGURA 10.4
Distribución t para el 
ejemplo 10.2
●
Probabilidad_Mendenhall_10.indd 390Probabilidad_Mendenhall_10.indd 390 5/14/10 8:51:09 AM5/14/10 8:51:09 AM
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