introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-139

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10.3 INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA RESPECTO A UNA MEDIA POBLACIONAL ❍ 391
La curva azul es la distribución t. Con 8 grados de libertad, claramente se puede 
ver una diferencia en las curvas t y z, en especial en los valores críticos que cortan un 
área de .025 en las colas. Cuando aumentan los grados de libertad, la diferencia en las 
formas de t y z se hace muy similar, al igual que sus valores críticos, hasta que en df � 
100 casi no hay diferencia. Esto ayuda a explicar por qué usamos n � 30 como línea 
divisoria un tanto arbitraria entre muestras grandes y pequeñas. Cuando n � 30 (df � 
29), los valores críticos de t son bastante cercanos a sus similares normales. Más que 
producir una tabla t con fi las para muchos más grados de libertad, los valores críticos 
de z son sufi cientes cuando el tamaño muestral llega a n � 30.
Suposiciones tras la distribución 
t de Student
Los valores críticos de t permiten hacer inferencias confiables sólo si el experimentador 
sigue todas las reglas; esto es, su muestra debe satisfacer estos requisitos especificados 
por la distribución t:
• La muestra debe ser seleccionada al azar.
• La población de la que haga muestreo debe estar normalmente distribuida.
Estos requisitos pueden parecer bastante restrictivos. ¿Cómo puede posiblemente saberse 
la forma de la distribución de probabilidad para toda la población si sólo se tiene una 
muestra? Pero, si éste fuera un problema serio, el estadístico t podría usarse en sólo situa-
ciones muy limitadas. Por fortuna, la forma de la distribución t no es afectada en mucho 
mientras la población muestreada tenga una distribución aproximadamente en forma de 
montículo. Los estadísticos dicen que el estadístico t es robusto, lo cual significa que la 
distribución de la estadística no cambia de manera significativa cuando se viola la supo-
sición de normalidad.
¿Cómo se puede saber si la muestra es de una población normal? Aun cuando hay 
procedimientos estadísticos diseñados para este fin, la forma más fácil y rápida de veri-
ficar la normalidad es usar las técnicas gráficas del capítulo 2: Trazar una gráfica de 
puntos o construir una gráfica de tallo y hoja. Mientras esta gráfica tienda a “hacerse 
montículo” en el centro, se puede estar razonablemente seguro al usar la estadística t 
para hacer inferencias.
El requisito de muestreo aleatorio, por otra parte, es bastante crítico si se desea pro-
ducir inferencias confiables. Si la muestra no es aleatoria, o si no se comporta al menos 
como muestra aleatoria, entonces los resultados de su muestra pueden ser afectados por 
algún factor desconocido y las conclusiones pueden ser incorrectas. Cuando diseñe un 
experimento o lea acerca de experimentos realizados por otros investigadores, vea de 
manera crítica la forma en que los datos han sido recolectados.
INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA 
RESPECTO A UNA MEDIA POBLACIONAL
Al igual que con una inferencia de muestra grande, una inferencia de muestra pequeña 
puede comprender ya sea estimación o prueba de hipótesis, dependiendo de la pre-
ferencia del experimentador. En capítulos previos explicamos los aspectos básicos de 
estos dos tipos de inferencia y los usamos de nuevo ahora con una estadística muestral 
diferente, t � ( x� � m)/(s/ �
__
 n ), y una distribución de muestreo diferente, la t de Student, 
con (n � 1) grados de libertad.
Suposiciones para t de una 
muestra:
• Muestra aleatoria
• Distribución normal
CONSEJOMIMI
10.3
Probabilidad_Mendenhall_10.indd 391Probabilidad_Mendenhall_10.indd 391 5/14/10 8:51:09 AM5/14/10 8:51:09 AM
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392 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
PRUEBA DE HIPÓTESIS DE MUESTRA PEQUEÑA PARA m
1. Hipótesis nula: H0 : m � m0
2. Hipótesis alternativa:
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 Ha : m � m0 Ha : m � m0
 (o, Ha : m � m0)
3. Estadístico de prueba: t � 
x� � m0 ______ 
s/ �
__
 n 
 
4. Región de rechazo: rechazar H0 cuando
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 t � ta t � ta/2 o t � �ta/2
 (o t � � ta cuando la
 hipótesis alternativa
 es Ha : m � m0)
 o cuando el valor p � a
0
α/2α/2
α/2
–t
α/2
t0 αt
α
 Los valores críticos de t, ta y ta/2 están basados en (n � 1) grados de libertad. Estos valo-
res tabulados se pueden hallar usando la tabla 4 del apéndice I o el applet Student’s t 
Probabilities.
 Suposición: La muestra se selecciona al azar de una población normalmente dis-
tribuida.
INTERVALO DE CONFIANZA DE MUESTRA PEQUEÑA 
(1 � a)100% PARA m
 x� 	 ta/2 s ___ �
__
 n 
 
 donde s/ �
__
 n es el error estándar estimado de x�, a veces conocido como error están-
dar de la media. 
Un nuevo proceso para producir diamantes sintéticos puede ser operado a un nivel renta-
ble sólo si el peso promedio de éstos es mayor a .5 quilates. Para evaluar la rentabilidad 
del proceso, se generan seis diamantes que registran pesos de .46, .61, .52, .48, .57 y .54 
quilates. ¿Estas seis mediciones presentan suficiente evidencia para indicar que el peso 
promedio de los diamantes producidos por el proceso es más de .5 quilates?
Solución La población de pesos de diamantes producidos por este nuevo proceso 
tiene media m, y se puede empezar la prueba formal de hipótesis en pasos, como se hizo 
en el capítulo 9:
E J E M P L O 10.3
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 10.3 INFERENCIAS DE MUESTRA PEQUEÑA RESPECTO A UNA MEDIA POBLACIONAL ❍ 393
Hipótesis nula y alternativa:
H0: m � .5 contra Ha: m � .5
Estadístico de prueba: Usted puede usar su calculadora para verificar que la media 
y desviación estándar para los pesos de los seis diamantes son .53 y .0559, respectiva-
mente. El estadístico de prueba es un estadístico t, calculado como 
t � 
x� � m0 ______ 
s/ �
__
 n 
 � .53 � .5 _________ 
.0559/ �
__
 6 
 � 1.32
Al igual que con las pruebas de muestra grande, el estadístico de prueba da evidencia 
para rechazar o aceptar H0 dependiendo de qué tan lejos se encuentra del centro de la 
distribución t.
Región de rechazo: Si se escoge un nivel de significancia de 5% (a � .05), la región 
de rechazo de cola derecha se encuentra usando los valores críticos de t de la tabla 4 del 
apéndice I. Con df � n � 1 � 5, se puede rechazar H0 si t � t.05 � 2.015, como se ve en 
la figura 10.6.
Conclusión: Como el valor calculado del estadístico de prueba, 1.32, no cae en la 
región de rechazo, no se puede rechazar H0. Los datos no presentan suficiente evidencia 
para indicar que el peso medio de los diamantes exceda de .5 quilates.
1 –2
3
4
5
Al igual que en el capítulo 9, la conclusión para aceptar H0 requeriría el difícil cálculo 
de b, la probabilidad de un error tipo II. Para evitar este problema, escogemos no recha-
zar H0. Podemos entonces calcular el límite inferior para m usando un límite inferior de 
confianza de un lado y muestra pequeña. Este límite es similar al límite de confianza 
de un lado y muestra grande, excepto que la za crítica es sustituida por una ta crítica de la 
tabla 4. Para este ejemplo, un límite inferior de confianza de un lado para m es:
x� � ta s ___ �
__
 n 
 
.53 � 2.015 .0559 _____ 
 �
__
 6 
 
.53 � .046
El límite inferior de 95% para m es m � .484. El rango de posibles valores incluye pesos 
medios de diamantes tanto menores como mayores a .5; esto confi rma el fracaso de 
nuestra prueba para demostrar que m excede de .5.
Un intervalo de confi anza 
de 95% nos dice que, si 
fuéramos a construir muchos 
de estos intervalos (todos 
los cuales tendrían puntos 
extremos ligeramente 
diferentes), 95% de ellos 
rodearían a la media 
poblacional.
CONSEJOMIMI
f(t)
0 t2.015
.05
Rechazar H0
1.32
FIGURA 10.6
Región de rechazo para el 
ejemplo 10.3
●
Probabilidad_Mendenhall_10.indd 393Probabilidad_Mendenhall_10.indd 393 5/14/10 8:51:09 AM5/14/10 8:51:09 AM
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	10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS10.2 Distribución t de Student
	Suposiciones tras la distribución t de Student
	10.3 Inferencias de muestra pequeña respecto a una media poblacional