introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-148

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418 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
correcta en promedio es bastante inútil si las mediciones están en error de hasta 1000 
pies arriba o debajo de la altitud correcta.
• Las piezas maquinadas en un proceso de manufactura deben ser producidas con 
mínima variabilidad para reducir piezas fuera de dimensiones y, por tanto, defec-
tuosas.
• Las pruebas de aptitud deben estar diseñadas de manera que las califi caciones 
exhibirán una cantidad razonable de variabilidad. Por ejemplo, un examen de 800 
puntos no es muy discriminatorio si todos los estudiantes obtienen califi caciones 
entre 601 y 605.
En capítulos previos, hemos usado
s2 � 
S (x1 � x�)
2
 _________ 
n � 1
 
como estimador insesgado de la varianza poblacional s 2. Esto significa que, en muestreo 
repetido, el promedio de todas las estimaciones muestrales será igual al parámetro obje-
tivo, s 2. Pero, ¿qué tan cercano o lejano del objetivo es probable que esté su estimador 
s2? Para contestar esta pregunta, usamos la distribución de muestreo de s2, que describe 
su comportamiento en muestreo repetido.
Considere la distribución de s2 basada en muestreo aleatorio repetido de una distribu-
ción normal con una media y varianza especifi cadas. Podemos demostrar teóricamente 
que la distribución empieza en s2 � 0 (porque la varianza no puede ser negativa) con una 
media igual a s 2. Su forma es no simétrica y cambia con cada tamaño muestral diferente 
y cada valor diferente de s 2. Hallar valores críticos para la distribución de muestreo de 
s2 sería muy difícil y requeriría tablas separadas para cada varianza poblacional. Por 
fortuna, podemos simplifi car el problema por estandarización, como hicimos con la 
distribución z.
Defi nición La estadística estandarizada
x 2 � 
(n � 1)s2
 ________ 
s2
 
recibe el nombre de variable ji cuadrada y tiene una distribución de muestreo llamada 
distribución de probabilidad ji cuadrada, con n � 1 grados de libertad.
La ecuación de la función de densidad para esta estadística es por demás complicada al 
verla, pero traza la curva que se ve en la figura 10.16.
χ2a χ2
f(χ2)
0
a
FIGURA 10.16
Distribución ji cuadrada
●
Ciertos valores críticos de la estadística ji cuadrada, que se usan para hacer inferencias 
acerca de la varianza poblacional, han sido tabulados por estadísticos y aparecen en la 
tabla 5 del apéndice I. Como la forma de la distribución varía con el tamaño muestral n, 
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 10.6 INFERENCIAS RESPECTO A LA VARIANZA POBLACIONAL ❍ 419
más precisamente, los grados de libertad, n � 1, asociados con s2, tabla 5, parcialmente 
reproducidos en la tabla 10.5, se construye exactamente en la misma forma que la tabla 
t, con los grados de libertad en la primera y última columnas. El símbolo x 2a indica que 
el valor x2 tabulado tiene un área a a su derecha (véase la figura 10.16).
Se puede ver en la tabla 10.5 que, debido a que la distribución no es simétrica y 
empieza en 0, las áreas de cola superior e inferior deben ser tabuladas para la estadís-
tica ji cuadrada. Por ejemplo, el valor x 2.95 es el valor que tiene 95% del área bajo la 
curva a su derecha y 5% del área a su izquierda. Este valor corta un área igual a .05 en 
la cola inferior de la distribución ji cuadrada.
Pruebe su capacidad para usar la tabla 5 del apéndice I al verificar las siguientes frases:
1. La probabilidad de que x2, basada en n � 16 mediciones (df � 15), exceda de 
24.9958 es .05.
2. Para una muestra de n � 6 mediciones, 95% del área bajo la distribución x2 está 
a la derecha de 1.145476.
Estos valores están sombreados en la tabla 10.5.
TABLA 10.5 
●
 Formato de la tabla ji cuadrada de la tabla 5 del apéndice I
df x 2.995 
 
 
 x 2.950 x 2.900 x 2.100 x 2.050 
 
 
 x 2.005 df
 1 .0000393 .0039321 .0157908 2.70554 3.84146 7.87944 1
 2 .0100251 .102587 .210720 4.60517 5.99147 10.5966 2
 3 .0717212 .351846 .584375 6.25139 7.81473 12.8381 3
 4 .206990 .710721 1.063623 7.77944 9.48773 14.8602 4
 5 .411740 1.145476 1.610310 9.23635 11.0705 16.7496 5
 6 .0675727 1.63539 2.204130 10.6446 12.5916 18.5476 6
 . . . . . . . .
 . . . . . . . .
 . . . . . . . .
15 4.60094 7.26094 8.54675 22.3072 24.9958 32.8013 15
16 5.14224 7.96164 9.31223 23.5418 26.2962 34.2672 16
17 5.69724 8.67176 10.0852 24.7690 27.5871 35.7185 17
18 6.26481 9.39046 10.8649 25.9894 28.8693 37.1564 18
19 6.84398 10.1170 11.6509 27.2036 30.1435 38.5822 19
 . . . . . . . .
 . . . . . . . .
 . . . . . . . .
Probando una varianza: 
df � n � 1.
CONSEJOMIMI
E J E M P L O 10.10
APPLETMIMI
Se puede usar el applet Chi-Square Probabilities (Probabilidades Ji-cuadrada) 
para hallar el valor x2 descrito en el ejemplo 10.10. Como el applet da valores x2 y 
sus probabilidades de una cola para los grados de libertad que el usuario seleccione 
usando el cursor de la derecha del applet, se debe escoger df � 5 y teclear .95 en la 
caja marcada “prob:” parte en la parte inferior del applet. Éste dará el valor de x2 que 
pone .95 en la cola derecha de la distribución x2 y por tanto .05 en la cola izquierda. 
El applet de la figura 10.17 muestra x2 � 1.14, que difiere sólo ligeramente respecto 
del valor del ejemplo 10.10. Usaremos este applet para los ejercicios Mi Applet del 
final de este capítulo.
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420 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
La prueba estadística de una hipótesis nula respecto a una varianza poblacional
H0 : s
2 � s 20
usa el estadístico de prueba
x 2 � 
(n � 1)s2
 ________ 
s 20
 
Observe que cuando H0 es verdadera, s
2/s 20 debe ser cercana a 1, de modo que x
2 debe 
ser cercana a (n � 1), los grados de libertad. Si s2 es realmente mayor que el valor hipo-
tético s 20, el estadístico de prueba tenderá a ser mayor a (n � 1) y es probable que caiga 
hacia la cola superior de la distribución. Si s 2 � s 20, el estadístico de prueba tenderá a 
ser menor a (n � 1) y es probable que caiga hacia la cola inferior de la distribución ji 
cuadrada. Al igual que en otras situaciones de prueba, se puede usar una prueba estadís-
tica ya sea de una o de dos colas, dependiendo de la hipótesis alternativa. Esta prueba 
de hipótesis y el intervalo de confianza (1 � a)100% para s2 están basados ambos en la 
distribución ji cuadrada y se describen a continuación.
PRUEBA DE HIPÓTESIS RESPECTO 
A UNA VARIANZA POBLACIONAL
1. Hipótesis nula: H0 : s
2 � s 20
2. Hipótesis alternativa: 
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 Ha : s
2 � s 20 Ha : s
2 � s 20
 (o Ha : s
2 � s 20)
3. Estadístico de prueba: x 2 � 
(n � 1)s2
 ________ 
s 20
 
FIGURA 10.17
Applet Chi-Square 
Probabilities
●
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