introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-149

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10.6 INFERENCIAS RESPECTO A LA VARIANZA POBLACIONAL ❍ 421
4. Región de rechazo: rechazar H0 cuando
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 x 2 � x 2a x
2 � x 2a/2 o x
2 � x 2(1�a/2),
 (o x 2 � x 2(1�a) cuando la hipótesis donde x
2
a/2 y x
2
(1�a/2) son,
 alternativa sea Ha : s
2 � s 20), donde respectivamente, los 
 x 2a y x
2
(1�a) son, respectivamente, los valores de cola superior
 valores de cola superior e inferior de e inferior de x 2 que pone
 x 2 que pone a en las áreas de cola. a/2 en las áreas de cola
 o cuando valor p � a
 Los valores críticos de x2 están basados en (n � 1) df. Estos valores tabulados se 
pueden hallar usando la tabla 5 del apéndice I o el applet Chi-Square Probabilities.
INTERVALO DE CONFIANZA DE (1 � a)100% PARA s2
 
(n � 1)s2
 ________ 
x 2a/2
 � s 2 � 
(n � 1)s2
 ________ 
x 2(1�a/2
 
 donde x 2a/2 y x
2
(1�a/2) son los valores x
2, que localizan la mitad de a en cada cola de 
la distribución ji cuadrada.
Suposición: La muestra se selecciona al azar de una población normal.
Un fabricante de cemento dice que el concreto preparado con el producto de él tiene 
resistencia relativamente estable a la compresión y que la resistencia medida en kilo-
gramos por centímetro cuadrado (kg/cm2) está dentro de un rango de 40 kg/cm2. Una 
muestra de n � 10 mediciones produjo una media y varianza igual a, respectivamente,
x� � 312 y s
2 � 195
¿Estos datos presentan suficiente evidencia para rechazar lo dicho por el fabricante?
Solución En la sección 2.5, usted aprendió que el rango de un conjunto de medicio-
nes debe ser aproximadamente cuatro desviaciones estándar. Lo dicho por el fabricante 
de que el rango de las mediciones de resistencia está dentro de 40 kg/cm2 debe significar 
que la desviación estándar de las mediciones es casi 10 kg/cm3 o menos. Para probar su 
dicho, las hipótesis apropiadas son
H0 : s
2 � 102 � 100 contra Ha : s
2 � 100
Si la varianza muestral es mucho mayor que el valor hipotético de 100, entonces el esta-
dístico de prueba
x 2 � 
(n � 1)s2
 ________ 
s 20
 � 1755 _____ 100
 � 17.55
será inusualmente grande, favoreciendo el rechazo de H0 y aceptación de Ha. Hay dos 
formas de usar la estadística de prueba para tomar una decisión para esta prueba.
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422 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
• El método del valor crítico: La prueba apropiada requiere una región de rechazo 
de una cola en la cola derecha de la distribución x2. El valor crítico para 
a � .05 y (n � 1) � 9 df es x 2.05 � 16.9190 de la tabla 5 en el apéndice I. La 
fi gura 10.18 muestra la región de rechazo; se puede rechazar H0 si el estadístico 
de prueba excede de 16.9190. Como el valor observado del estadístico de prueba 
x2 � 17.55, se puede concluir que la hipótesis nula es falta y que el rango de 
mediciones de resistencia del concreto excede de lo dicho por el fabricante. 
χ2
f(χ2)
0
19.0228
16.9190
Rechazar H0
.050
.025
FIGURA 10.18
Región de rechazo y valor 
p (sombreado) para el 
ejemplo 10.11
●
• El método del valor p: El valor p para una prueba estadística es el mínimo 
valor de a para el cual H0 puede ser rechazado. Se calcula, al igual que en otras 
pruebas de una cola, como el área en la cola de la distribución x2 a la derecha 
del valor observado, x2 � 17.55. Aun cuando algunos paquetes de computa-
dora permiten calcular esta área con toda exactitud, la tabla 5 del apéndice I 
permite sólo acotar el valor p. Como el valor 17.55 está entre x 2.050 � 16.9190 
y x 2.025 � 19.0228, el valor p está entre .025 y .05. La mayoría de investigado-
res rechazarían H0 y presentan estos resultados como signifi cativos al nivel de 
5%, o P � .05. De nueva cuenta, el investigador puede rechazar H0 y concluir 
que el rango de mediciones excede de lo dicho por el fabricante.
Una experimentadora está convencida de que su instrumento de medición tenía una 
variabilidad medida por la desviación estándar s � 2. Durante un experimento, ella 
registró las mediciones 4.1, 5.2 y 10.2. ¿Estos datos confirman o desaprueban lo dicho 
por ella? Pruebe la hipótesis apropiada y construya un intervalo de confianza de 90% 
para estimar el verdadero valor de la varianza de población.
Solución Como no hay nivel de significancia establecido de antemano, se debe 
escoger usar el método del valor p para probar estas hipótesis:
H0 : s
2 � 4 contra Ha : s
2 � 4
Use su calculadora científica para verificar que la varianza muestral es s2 � 10.57 y el 
estadístico de prueba es
x 2 � 
(n � 1)s2
 ________ 
s 20
 � 
2(10.57)
 ________ 
4
 � 5.285
Como ésta es una prueba de dos colas, la región de rechazo se divide en dos partes, la 
mitad en cada cola de la distribución x2. Si se aproxima el área a la derecha de la estadís-
tica de prueba observada, x2 � 5.285, se tendrá sólo la mitad del valor p para la prueba. 
Como un valor igualmente improbable de x2 podría presentarse en la cola inferior de la 
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 10.6 INFERENCIAS RESPECTO A LA VARIANZA POBLACIONAL ❍ 423
distribución, con igual probabilidad, se debe duplicar el área superior para obtener el 
valor p. Con 2 df, el valor observador, 5.29, cae entre x 2.10 y x
2
.05 de modo que
.05 � �
1
2
�( valor p) � .10 o .10 � valor p � .20
Como el valor p es mayor a .10, los resultados no son estadísticamente significativos. 
Hay insuficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula H0 : s
2 � 4.
El correspondiente intervalo de confianza de 90% es
 
(n � 1)s2
 ________ 
x 2a/2
 � s 2 � 
(n � 1)s2
 ________ 
x 2(1�a/2
 
Los valores de x 2(1�a/2) y x
2
a/2 son
x 2(1 � a/2) � x
2
.95 � .102587
 x 2a/2 � x
2
.05 � 5.99147
Sustituyendo estos valores en la fórmula para la estimación de intervalo, se obtiene
 
2(10.57)
 ________ 
5.99147
 � s 2 � 
2(10.57)
 ________ 
.102587
 o 3.53 � s 2 � 206.07
Así, se puede estimar la varianza poblacional para que caiga en el intervalo 3.53 a 206.07. 
Este intervalo de confi anza muy ancho indica la poca información sobre la varianza 
poblacional que se obtiene de una muestra de sólo tres mediciones. En consecuencia, 
no es de sorprenderse que haya insufi ciente evidencia para rechazar la hipótesis nula 
s 2 � 4. Para obtener más información sobre s 2, el experimentador necesita aumentar 
el tamaño muestral.
El comando MINITAB Stat � Basic Statistics � 1 Variance permite introducir datos sin 
elaborar o un resumen de estadísticos para efectuar la prueba F para una sola varianza, y 
calcular un intervalo de confianza. La salida impresa MINITAB correspondiente al ejem-
plo 10.12 se muestra en la figura 10.19.
Chi-Square Method (Normal Distribution)
Variable N Variance 90% CI Chi-Square P
Measurements 3 10.6 (3.5, 206.1) 5.28 0.142
FIGURA 10.19
Salida impresa MINITAB 
para el ejemplo 10.12
●
 EJERCICIOS10.6
TÉCNICAS BÁSICAS
10.48 Una muestra aleatoria de n � 25 observaciones 
de una población normal produjo una varianza muestral 
igual a 21.4. ¿Estos datos dan sufi ciente evidencia para 
indicar que s 2 � 15? Pruebe usando a � .05.
10.49 Una muestra aleatoria de n � 15 observaciones 
fue seleccionada de una población normal. La media 
muestral y varianza fueron x� � 3.91 y s
2 � .3214. 
Encuentre un intervalo de confi anza de 90% para la 
varianza poblacional s 2.
10.50 Una muestra aleatoria de tamaño n � 7 de una 
población normal produjo estas mediciones: 1.4, 3.6, 1.7, 
2.0, 3.3, 2.8, 2.9.
a. Calcule la varianza muestral, s2.
b. Construya un intervalo de confianza de 95% para la 
varianza poblacional, s 2.
c. Pruebe H0 : s
2 � .8 contra Ha : s
2 � .8 usando 
a � .05. Exprese sus conclusiones.
d. ¿Cuál es el valor p aproximadopara la prueba del 
inciso c)?
APLICACIONES
10.51 Precisión de instrumentos Un instrumento 
de precisión está garantizado para leer con precisión 
con variación de no más de 2 unidades. Una muestra de 
cuatro lecturas de instrumentos en el mismo objeto dio las 
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	10.6 Inferencias respecto a la varianza poblacional
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