introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-151

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10.7 COMPARACIÓN DE DOS VARIANZAS POBLACIONALES ❍ 427
La prueba estadística de la hipótesis nula
H0 : s
2
1 � s
2
2
utiliza el estadístico de prueba
F � �
s
s
2
2
1
2
�
Cuando la hipótesis alternativa implica una prueba de una cola, esto es,
Ha : s
2
1 � s
2
2
se puede hallar el valor crítico de cola derecha para rechazar H0 directamente de la tabla 
6 del apéndice I, pero, cuando la hipótesis alternativa requiera una prueba de dos colas, 
es decir,
H0 : s
2
1 � s
2
2
la región de rechazo se divide entre las colas superior e inferior de la distribución F. 
Estos valores críticos de cola izquierda no se dan en la tabla 6 por la siguiente razón: 
el experimentador está libre de decidir a cuál de las dos poblaciones llamar “Población 
1”. Si siempre escoge llamar “Población 1” a la población con la varianza muestral más 
grande, entonces el valor observado de su estadística de prueba siempre estará en la cola 
derecha de la distribución F. Aun cuando la mitad de la región de rechazo, el área a/2 
a su izquierda, estará en la cola inferior de la distribución, nunca será necesario usarla. 
Pero recuerde estos puntos, para una prueba de dos colas:
• El área de la cola derecha de la región de rechazo es sólo a/2.
• El área a la derecha de la estadística de prueba observada es sólo (valor p)/2.
Los procedimientos formales para una prueba de hipótesis y un intervalo de confianza 
(1 � a)100% para dos varianzas poblacionales se muestran a continuación.
PRUEBA DE HIPÓTESIS RESPECTO A LA IGUALDAD 
DE DOS VARIANZAS POBLACIONALES
1. Hipótesis nula: H0 : s
2
1 � s
2
2
2. Hipótesis alternativa:
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 Ha : s
2
1 � s
2
2 Ha : s
2
1 � s
2
2
 (o Ha : s
2
1 � s
2
2)
3. Estadístico de prueba:
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 F � 
s
s
2
2
1
2
 F � 
s
s
2
2
1
2
 donde s21 es la varianza
 muestral más grande
4. Región de rechazo: rechazar H0 cuando
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 F � Fa F � Fa/2
 o cuando valor p � a (continúa)
Probabilidad_Mendenhall_10.indd 427Probabilidad_Mendenhall_10.indd 427 5/14/10 8:51:12 AM5/14/10 8:51:12 AM
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428 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
PRUEBA DE HIPÓTESIS RESPECTO A LA IGUALDAD 
DE DOS VARIANZAS POBLACIONALES
(continúa)
Los valores críticos de Fa y Fa/2 están basados en df1 � (n1 � 1) y df2 � (n2 � 1). 
Estos valores tabulados, para a � .100, .050, .025, .010 y .005, se pueden hallar 
usando la tabla 6 del apéndice I, o el applet F Probabilities.
α
Fα0 Fα/20
α/2
Suposiciones: Las muestras se seleccionan al azar y en forma independiente de las 
poblaciones normalmente distribuidas.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA s 21/s
2
2
� s
2
1 __ 
s22
 � 1 _____ Fdf1,df2 � 
s21 __ 
s22
 �Fdf2,df1
donde df1 � (n1 � 1) y df2 � (n2 � 1). Fdf1,df2 es el valor crítico tabulado de F 
correspondiente a df1 y df2 grados de libertad en el numerador y denominador de 
F, respectivamente, con área a/2 a su derecha.
Suposiciones: Las muestras se seleccionan al azar y en forma independiente de las 
poblaciones normalmente distribuidas.
Un experimentador está preocupado porque la variabilidad de respuestas que usan dos 
procedimientos experimentales diferentes puede no ser igual. Antes de realizar su inves-
tigación, realiza un estudio previo con muestras aleatorias de 10 y 8 respuestas y obtiene 
s21 � 7.14 y s
2
2 � 3.21, respectivamente. ¿Las varianzas muestrales presentan suficiente 
evidencia para indicar que las varianzas poblacionales son desiguales?
Solución Suponga que las poblaciones tienen distribuciones de probabilidad que 
poseen una razonable forma de montículo y que por tanto satisface, para todos los fines 
prácticos, la suposición de que las poblaciones son normales. Se desea probar estas 
hipótesis:
H0 : s
2
1 � s
2
2 contra Ha : s
2
1 � s
2
2
Usando la tabla 6 del apéndice I para a/2 � .025, se puede rechazar H0 cuando F � 4.82 
con a � .05. El valor calculado de la estadística de prueba es
F � �
s
s
2
2
1
2
� � �
7
3
.
.
1
2
4
1
� � 2.22
Debido a que el estadístico de prueba no cae en la región de rechazo, no se puede recha-
zar H0 : s
2
1 � s
2
2. Por tanto, hay insufi ciente evidencia para indicar una diferencia en las 
varianzas poblacionales.
E J E M P L O 10.14
� 
s 21 ___ 
s 22 
 �
Probabilidad_Mendenhall_10.indd 428Probabilidad_Mendenhall_10.indd 428 5/14/10 8:51:12 AM5/14/10 8:51:12 AM
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 10.7 COMPARACIÓN DE DOS VARIANZAS POBLACIONALES ❍ 429
Consulte el ejemplo 10.14 y encuentre un intervalo de confianza de 90% para s 21/s
2
2.
Solución El intervalo de confianza de 90% para s 21/s
2
2 es
��s
s
2
2
1
2
�� � �s
s
2
2
1
2
� � ��s
s
2
2
1
2
��Fdf2,df1
donde
 s21 � 7.14 s
2
2 � 3.21
 df1 � (n1 � 1) � 9 df2 � (n2 � 1) � 7
F9,7 � 3.68 F7,9 � 3.29
Sustituyendo estos valores en la fórmula para el intervalo de confianza, se obtiene
��73
.
.
1
2
4
1
���3.
1
68
� � �
s
s
2
2
1
2
� � ��73
.
.
1
2
4
1
��3.29 o .60 � �ss
2
2
1
2
� � 7.32
La estimación calculada del intervalo de .60 a 7.32 incluye 1.0, el valor hipotético en H0. 
Esto indica que es muy posible que s 21 � s
2
2 y por tanto concuerda con las conclusiones 
de prueba. No rechace H0 : s
2
1 � s
2
2.
El comando Stat � Basic Statistics � 2 Variances del MINITAB permite introducir 
ya sea información sin procesar o estadísticas resumidas para efectuar la prueba F para 
la igualdad de varianzas y calcula intervalos de confianza para las dos desviaciones 
estándar individuales (que no hemos analizado). La salida impresa relevante, que con-
tiene el estadístico F y su valor p, está sombreada en la figura 10.22.
La variabilidad en la cantidad de impurezas, presente en un lote de un producto químico 
empleado para un proceso particular, depende de la duración en que el proceso está en 
operación. Un fabricante que utiliza dos líneas de producción, 1 y 2, ha hecho un ligero 
ajuste a la línea 2, esperando con ello reducir la variabilidad así como la cantidad pro-
medio de impurezas en el producto químico. Muestras de n1 � 25 y n2 � 25 mediciones 
de los dos lotes dan estas medias y varianzas:
x�1 � 3.2 s
2
1 � 1.04
x�2 � 3.0 s
2
2 � .51
¿Los datos presentan suficiente evidencia para indicar que la variabilidad del proceso es 
menor para la línea 2?
Solución El experimentador piensa que los niveles promedio de impurezas son los 
mismos para las dos líneas de producción pero que su ajuste puede haber disminuido la 
variabilidad de los niveles para la línea 2, como se ilustra en la figura 10.23. Este ajuste 
sería bueno para la compañía porque disminuiría la probabilidad de producir envíos del 
producto químico con niveles de impureza inaceptablemente altos.
Prueba para varianzas iguales
95% Bonferroni confi dence intervals for standard deviations
Sample N Lower StDev Upper
 1 10 1.74787 2.67208 5.38064
 2 8 1.12088 1.79165 4.10374
F-Test (Normal Distribution)
Test statistic = 2.22, p-value = 0.304
FIGURA 10.22
Salida impresa del 
MINITAB para 
el ejemplo 10.14
●
 1 _____ 
Fdf 1,df2
 
E J E M P L O 10.15
E J E M P L O 10.16
Probabilidad_Mendenhall_10.indd 429Probabilidad_Mendenhall_10.indd 429 5/14/10 8:51:12 AM5/14/10 8:51:12 AM
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