introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-152

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430 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
Para determinar la disminución en variabilidad, la prueba de hipótesis es
H0 : s
2
1 � s
2
2 contra Ha : s
2
1 � s
2
2
y el valor observado para esta prueba estadística es
F � �
s
s
2
2
1
2
� � �
1
.
.
5
0
1
4
� � 2.04
Usando el método del valor p, se pueden limitar el valor p de una cola usando la tabla 6 
del apéndice I con df1 � df2 � (25 � 1) � 24. El valor observado de F cae entre F.050 � 
1.98 y F.025 � 2.27, de modo que .025 � valor p � .05. Los resultados son juzgados 
como signifi cativos al nivel del 5% y H0 es rechazada. Se puede concluir que la variabi-
lidad de la línea 2 es menor que la de la línea 1.
La prueba F de la diferencia en dos varianzas poblacionales completa la batería de 
pruebas que usted ha aprendido en este capítulo para hacer inferencias acerca de pará-
metros poblacionales bajo estas condiciones:
• Los tamaños muestrales son pequeños.
• La muestra o muestras son sacados de poblaciones normales.
Usted encontrará que las distribuciones F y x2, así como la distribución t de Student, son 
muy importantes en otras aplicaciones en los capítulos que siguen. Se usarán para dife-
rentes estimadores diseñados para contestar tipos diferentes de preguntas inferenciales, 
pero las técnicas básicas para hacer inferencias siguen siendo iguales.
En la siguiente sección, repasamos las suposiciones requeridas para todas estas herra-
mientas de inferencia y analizamos las opciones que existen cuando las suposiciones no 
parecen ser razonablemente correctas.
f(x)
x
Distribución para
línea de producción 2
Distribución para
línea de producción 1
Nivel de impurezas
FIGURA 10.23
Distribuciones de 
mediciones de impureza 
para dos líneas de 
producción
●
 EJERCICIOS10.7
TÉCNICAS BÁSICAS
10.58 Muestras aleatorias independientes de dos 
poblaciones normales produjeron las varianzas siguientes:
Tamaño muestral Varianza muestral
 16 55.7
 20 31.4
a. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar que 
s 21 difiere de s
2
2. Pruebe usando a � .05.
b. Encuentre el valor p aproximado para la 
prueba e interprete su valor.
10.59 Consulte el ejercicio 10.58 y encuentre un 
intervalo de confi anza de 95% para s 21/s
2
2.
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 10.7 COMPARACIÓN DE DOS VARIANZAS POBLACIONALES ❍ 431
10.60 Muestras aleatorias independientes de dos 
poblaciones normales produjeron las varianzas dadas:
Tamaño muestral Varianza muestral
 13 18.3
 13 7.9
a. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar que 
s 21 � s
2
2? Pruebe usando a � .05.
b. Encuentre el valor p aproximado para la 
prueba e interprete su valor.
APLICACIONES
10.61 Califi caciones del SAT Exámenes del SAT 
en química y física11 para dos grupos de 15 estudiantes, 
habiendo cada uno de éstos seleccionado estos exámenes, 
se dan a continuación:
Química Física
 x� � 629 x� � 643
 s � 110 s � 107
 n � 15 n � 15
Para usar la prueba t de dos muestras con una estimación 
agrupada de s 2, se debe suponer que las dos varianzas 
poblacionales son iguales. Pruebe esta suposición usando 
la prueba F de igualdad de varianzas. ¿Cuál es el valor p 
aproximado para la prueba?
10.62 Calidad de un producto La estabilidad de 
mediciones en un producto manufacturado es importante 
para mantener la calidad del producto. De hecho, a veces 
es mejor tener una pequeña variación en el valor medido 
de alguna característica importante de un producto, 
así como tener la media del proceso ligeramente fuera 
del objetivo, que sufrir una amplia variación con valor 
medio que perfectamente se ajuste a los requisitos. Esta 
última situación puede producir un porcentaje más alto 
de productos defectuosos que la primera. Un fabricante de 
focos eléctricos sospechaba que una de sus líneas 
de producción estaba produciendo focos con una amplia 
variación en duración de vida útil. Para probar su teoría, 
comparó las duraciones de vida útil de n � 50 focos 
muestreados al azar de la línea sospechosa y n � 50 
de una línea que parecía estar “en control”. Las medias 
muestrales y varianzas para las dos muestras fueron como 
sigue:
“Líneas sospechosa” Línea “en control”
 x�1 � 1520 x�2 � 1476
 s 21 � 92000 s 22 � 37000
a. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar 
que los focos producidos por la “línea sospechosa” 
tienen una varianza más grande en duración que los 
producidos por la línea que se supone está en control? 
Pruebe usando a � .05.
b. Encuentre el valor p aproximado para la 
prueba e interprete su valor.
10.63 Construya un intervalo de confi anza de 90% para 
la razón de varianza en el ejercicio 10.62.
10.64 Atún III En el ejercicio 10.25 y el conjunto de 
datos EX1025, se realizó una prueba para detectar una 
diferencia en el promedio de precios de atún claro en 
agua contra atún claro en aceite.
a. ¿Qué suposición tuvo que hacerse respecto a 
las varianzas poblacionales para que la prueba fuera 
válida?
b. ¿Los datos presentan suficiente evidencia para indicar 
que las varianzas violan la suposición en el inciso a)? 
Pruebe usando a � .05.
10.65 Corredores y ciclistas III Consulte el 
ejercicio 10.26. Susan Beckham y colegas realizaron 
un experimento que comprendía 10 corredores sanos 
y 10 ciclistas sanos, para determinar si hay diferencias 
signifi cativas en mediciones de presión dentro del 
compartimiento del músculo anterior para corredores y 
ciclistas.7 Los datos, es decir, presión del compartimiento, 
en milímetros de mercurio (Hg), son como sigue:
 Corredores Ciclistas
 Desviación Desviación
Afección Media estándar Media estándar
En reposo 14.5 3.92 11.1 3.98
80% máximo
 consumo de O2 12.2 3.49 11.5 4.95
Máximo consumo de O2 19.1 16.9 12.2 4.47
Para cada una de las tres variables medidas en este 
experimento, pruebe para ver si hay una diferencia 
signifi cativa en las varianzas para corredores contra 
ciclistas. Encuentre los valores p aproximados para cada 
una de estas pruebas. ¿Será apropiada una prueba t de dos 
muestras con una estimación agrupada de s2 para estas 
tres variables? Explique.
10.66 Impurezas Un fabricante farmacéutico compra 
un material particular a dos proveedores diferentes. 
El nivel medio de impurezas en la materia prima es 
aproximadamente igual para ambos proveedores, pero 
el fabricante está preocupado por la variabilidad de las 
impurezas de un embarque a otro. Si el nivel 
de impurezas tiende a variar en forma excesiva de una 
fuente de abastecimiento, podría afectar la calidad del 
producto farmacéutico. Para comparar la variación 
en el porcentaje de impurezas de cada uno de los dos 
proveedores, el fabricante selecciona 10 envíos de cada 
uno de ellos y mide el porcentaje de impurezas en 
la materia prima para cada embarque. Las medias 
muestrales y varianzas se muestran en la tabla.
Probabilidad_Mendenhall_10.indd 431Probabilidad_Mendenhall_10.indd 431 5/14/10 8:51:12 AM5/14/10 8:51:12 AM
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432 ❍ CAPÍTULO 10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
Proveedor A Proveedor B
x�1 � 1.89 x�2 � 1.85
 s21 � .273 s 22 � .094
 n1 � 10 n2 � 10
a. ¿Los datos dan suficiente evidencia para indicar 
una diferencia en la variabilidad de los niveles de 
impureza de envíos para los dos proveedores? Pruebe 
usando a � .01. Con base en los resultados de su 
prueba, ¿qué recomendación se haría al fabricante 
de productos farmacéuticos?
b. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para s 22 e 
interprete sus resultados.
¿Cómo decido cuál prueba usar?
¿Está usted interesado en probar medias? Si el diseño comprende:
a. Una muestra aleatoria, use la estadística t de una muestra.
b. Dos muestras aleatorias independientes, ¿son iguales las varianzas poblacionales? 
 i. Si son iguales, use la estadística t de dos muestras con s2 agrupada.
 ii. Si son desiguales, use la t sin agrupar con df estimado.
c. Dos muestras pareadas con paresaleatorios, use una t de una muestra para anali-
zar diferencias.
¿Está usted interesado en probar varianzas? Si el diseño comprende:
a. Una muestra aleatoria, use la prueba x2 para una sola varianza.
b. Dos muestras aleatorias independientes, use la prueba F para comparar dos va-
rianzas.
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REPASO DE SUPOSICIONES DE MUESTRA 
PEQUEÑA
Todas los procedimientos de prueba y estimación estudiados en este capítulo, requieren 
que los datos satisfagan ciertas condiciones para que las probabilidades de error (para las 
pruebas) y los coeficientes de confianza (para los intervalos de confianza), sean iguales 
a los valores que se hayan especificado. Por ejemplo, si el experimentador puede cons-
truir lo que piensa que es un intervalo de confianza de 95%, puede estar seguro que, en 
muestreo repetido, 95% (y no 85% o 75% o menos) de todos estos intervalos contendrán 
el parámetro de interés. Estas condiciones se resumen en estas suposiciones.
SUPOSICIONES
1. Para todas las pruebas e intervalos de confi anza descritos en este capítulo, se 
supone que las muestras se seleccionan al azar de poblaciones normalmente 
distribuidas.
2. Cuando se seleccionan dos muestras, se supone que se seleccionan en forma 
independiente excepto en el caso del experimento de diferencia pareada.
3. Para pruebas o intervalos de confi anza respecto a la diferencia entre dos medias 
poblacionales m1 y m2 con base en muestras aleatorias independientes, se supone 
que s 21 � s
2
2.
10.8
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	10 INFERENCIA A PARTIR DE MUESTRAS PEQUEÑAS
	10.7 Comparación de dos varianzas poblacionales
	Ejercicios
	10.8 Repaso de suposiciones de muestra pequeña