introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-159

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11.5 EL ANÁLISIS DE VARIANZA PARA UN DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO ❍ 451
prácti ca un diseño completamente aleatorizado para investigar los efectos de los cinco 
insecticidas en producción de cosechas.
Solución La única forma de generar el equivalente de cinco muestras aleatorias de 
las poblaciones hipotéticas, correspondientes a los cinco insecticidas, es usar un méto-
do llamado asignación aleatorizada. Se escoge un número fi jo de plantas de algodón 
para tratamiento y a cada una se le asigna un número aleatorio. Suponga que cada mues-
tra debe tener un número igual de tratamientos. Con el uso de un medio de aleatoriza-
ción, se pueden asignar las primeras n plantas escogidas para recibir el insecticida 1, las 
segundas n plantas para recibir el insecticida 2 y así sucesivamente, hasta que se hayan 
asignado los cinco tratamientos.
Ya sea por selección aleatoria o asignación aleatoria, estos dos ejemplos resultan en 
un diseño completamente aleatorizado o clasifi cación en una dirección, para el cual se 
usa el análisis de varianza.
EL ANÁLISIS DE VARIANZA PARA 
UN DISEÑO COMPLETAMENTE 
ALEATORIZADO
Supongamos que se desea comparar k medias poblacionales, m1, m2, …, mk, con base en 
muestras aleatorias independientes de tamaño n1, n2, …, nk de poblaciones normales con 
una varianza común s2. Esto es, cada una de las poblaciones normales tiene la misma 
forma, pero sus ubicaciones podrían ser diferentes, como se ve en la fi gura 11.2.
11.5
μ1 μ2 μk
...
FIGURA 11.2
Poblaciones normales con 
una varianza común pero 
medias diferentes
●
División de la variación total 
en un experimento
Sea xij la j-ésima medición ( j � 1, 2, …, ni) en la i-ésima muestra. El análisis de proce-
dimiento de varianza empieza por considerar la variación total en el experimento, que es 
medida por una cantidad llamada suma total de cuadrados (TSS):
Total SS � S(xij � x�)
2 � Sx 2ij � 
(Sxij)
2
 _____ n 
Éste es el conocido numerador de la fórmula para la varianza muestral para todo el 
conjunto de n1 � n2 � 
 
 
 � nk mediciones. La segunda parte de la fórmula de cálculo 
se denomina a veces corrección para la media (CM). Si con G representamos el gran 
total de todas las n observaciones, entonces
CM � 
(Sxij)
2
 _____ n � 
G2 ___ n 
Esta suma total de cuadrados (Total SS) se divide en dos componentes. El primer com-
ponente, llamado suma de cuadrados para tratamientos (SST), mide la variación 
entre las k medias muestrales:
SST � Sni(x�i � x�)
2 � S 
T 2i __ ni � CM
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452 ❍ CAPÍTULO 11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
donde Ti es el total de observaciones para tratamiento i. El segundo componente, lla-
mado suma de cuadrados para el error (SSE), se usa para medir la variación agrupada 
dentro de las k muestras:
SSE � (n1 � 1)s
2
1 � (n2 � 1)s
2
2 � 
 
 
 � (nk � 1)s
2
k
Esta fórmula es una extensión directa del numerador en la fórmula para la estimación 
agrupada de s2 del capítulo 10. Podemos demostrar algebraicamente que, en el análisis 
de varianza,
Total SS � SST � SSE
Por tanto, es necesario calcular sólo dos de las tres sumas de cuadrados: Total SS, SST 
y SSE, y la tercera se puede hallar por sustracción.
Cada una de las fuentes de variación, cuando es dividida por sus apropiados grados 
de libertad, da una estimación de la variación en el experimento. Como Total SS invo-
lucra n observaciones cuadradas, sus grados de libertad son df � (n � 1). Del mismo 
modo, la suma de cuadrados para tratamientos comprende k observaciones cuadradas y 
sus grados de libertad son df � (k � 1). Por último, la suma de cuadrados de error, una 
extensión directa de la estimación agrupada del capítulo 10, tiene
df � (n1 � 1) � (n2 � 1) � 
 
 
 � (nk � 1) � n � k
Observe que los grados de libertad para tratamientos y error son aditivos, es decir,
df (total) � df (tratamientos) � df (error)
Estas dos fuentes de variación y sus respectivos grados de libertad se combinan para 
formar los cuadráticos medios como MS � SS/df. La variación total en el experimento 
se exhibe entonces en una tabla de análisis de varianza (o ANOVA).
TABLA ANOVA PARA k MUESTRAS ALEATORIAS 
INDEPENDIENTES: DISEÑO COMPLETAMENTE 
ALEATORIZADO
Fuente df SS MS F
Tratamientos k � 1 SST MST � SST/(k � 1) MST/MSE
Error n � k SSE MSE � SSE/(n � k)
Total n � 1 Total SS
donde
Total SS � Sx 2ij � CM
 � (Suma de cuadrados de todos los valores x) � CM
con
CM � 
(Sxij)
2
 _____ n � 
G2 ___ n 
SST � S 
T 2i __ ni � CM MST � 
SST ______ 
k � 1 
 
SSE � Total SS � SST MSE � SSE ______ n � k 
 
y
G � Gran total de las n observaciones
Ti � Total de todas las observaciones en la muestra i
ni � Número de observaciones en la muestra i
n � n1 � n2 � 
 
 
 � nk
La columna marcada 
“SS” satisface: Total 
SS � SST � SSE.
CONSEJOMIMI
La columna marcada “df” 
siempre asciende a n � 1.
CONSEJOMIMI
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 11.5 EL ANÁLISIS DE VARIANZA PARA UN DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO ❍ 453
En un experimento para determinar el efecto de la nutrición en intervalos de atención de 
estudiantes de escuelas elementales, un grupo de 15 estudiantes se asignaron al azar a 
cada uno de tres planes de comidas: no desayuno, desayuno ligero y desayuno completo. 
Sus intervalos de atención (en minutos) se registraron durante un periodo de lectura por 
la mañana y se muestran en la tabla 11.1. Construya el análisis de tabla de varianza para 
este experimento.
E J E M P L O 11.4
Solución Para usar las fórmulas de cálculo, se necesitan los k � 3 tratamientos tota-
les con n1 � n2 � n3 � 5, n � 15 y Sxij � 182. Entonces
CM � 
(182)2
 ______ 
15
 � 2208.2667
Total SS � (82 � 72 � 
 
 
 � 122) � CM � 2338 � 2208.2667 � 129.7333 
con (n � 1) � (15 � 1) � 14 grados de libertad,
SST � 47
2 � 702 � 652 ______________ 
5
 � CM � 2266.8 � 2208.2667 � 58.5333
con (k � 1) � (3 � 1) � 2 grados de libertad, y por sustracción,
SSE � Total SS � SST � 129.7333 � 58.5333 � 71.2
con (n � k) � (15 � 3) � 12 grados de libertad. Estas tres fuentes de variación, sus 
grados de libertad, sumas de cuadrados y cuadráticos medios se muestran en el área 
sombreada de la tabla ANOVA generada por MINITAB y se dan en la fi gura 11.3. Se 
encontrarán instrucciones para generar esta salida impresa en la sección “Mi MINITAB ” 
al fi nal de este capítulo.
TABLA 11.1 
●
 Intervalos de atención de estudiantes después de tres planes de comidas
No desayuno Desayuno ligero Desayuno completo
 8 14 10
 7 16 12
 9 12 16
13 17 15
10 11 12
T1 � 47 T2 � 70 T3 � 65
 F P
 4.93 0.027
ANOVA de una dirección: intervalo contra comida
Source DF SS MS
Meal 2 58.53 29.27
Error 12 71.20 5.93
Total 14 129.73
S � 2.436 R-Sq � 45.12% R-Sq(adj) � 35.97%
 Individual 95% CIs For Mean 
Based on Pooled StDev
Level N Mean StDev --�---------�---------�---------�-------
1 5 9.400 2.302 (---------*--------)
2 5 14.000 2.550 (--------*--------)
3 5 13.000 2.449 (--------*--------)
 --�---------�---------�---------�-------
 7.5 10.0 12.5 15.0
Pooled StDev � 2.436
FIGURA 11.3
Salida impresa MINITAB 
para el ejemplo 11.4
●
Probabilidad_Mendenhall_11.indd 453Probabilidad_Mendenhall_11.indd 453 5/14/10 8:36:02 AM5/14/10 8:36:02 AM
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	11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
	11.5 El análisis de varianza para un diseño completamente aleatorizado
	División de la variación total en un experimento