introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-160

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454 ❍ CAPÍTULO 11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
La salida impresa MINITAB da alguna información adicional sobre la variación en el 
experimento. La segunda sección muestra las medias y desviaciones estándar para los 
tres planes de comidas. Más importante aún es que se puede ver en la primera sección 
de la salida impresa dos columnas marcadas “F” y “P”. Podemos usar estos valores para 
probar una hipótesis respecto a la igualdad de las tres medias de tratamiento.
Prueba de la igualdad de las medias 
de tratamiento
Los cuadráticos medios en el análisis de tabla de varianza se pueden usar para probar la 
hipótesis nula
H0: m1 � m2 � 
 
 
 � mk
contra la hipótesis alternativa
Ha : Al menos una de las medias es diferente de las otras
usando el siguiente argumento teórico:
• Recuerde que s2 es la varianza común para todas las poblaciones k. La cantidad
MSE � SSE _____ n � k
 
 es una estimación agrupada de s2, un promedio ponderado de todas las varianzas 
muestrales k, sea o no sea H0, verdadera.
• Si H0 es verdadera, entonces la variación en las medias muestrales, medida por 
MST � [SST/(k � 1)] también da una estimación insesgada de s2. No obstante, 
si H0 es falsa y las medias poblacionales son diferentes, entonces MST, que 
mide la variación en las medias muestrales, será inusualmente grande, como se 
ve en la fi gura 11.4.
MS � SS/df
CONSEJOMIMI
Las pruebas F para tablas 
ANOVA son siempre de cola 
superior (derecha).
CONSEJOMIMI
• La prueba estadística 
F � �
M
M
S
S
T
E
�
 tiende a ser más grande que lo normal si H0 es falsa. En consecuencia, se puede 
rechazar H0 para valores grandes de F, usando una prueba estadística de cola 
derecha. Cuando H0 es verdadera, esta prueba estadística tiene una distribución F 
con df1 � (k � 1) y df2 � (n � k) grados de libertad y se pueden usar valores crí-
ticos de cola derecha de la distribución F (de la tabla 6 del apéndice I) o valores 
p generados por computadora, para sacar conclusiones estadísticas acerca de la 
igualdad de las medias poblacionales.
μ2 μ1 μ3
μ1 = μ2= μ3
x1 x2 x3
H0 verdadera H0 falsa
x1 x2 x3
FIGURA 11.4
Medias muestrales 
sacadas de poblaciones 
idénticas contra diferentes
●
Probabilidad_Mendenhall_11.indd 454Probabilidad_Mendenhall_11.indd 454 5/14/10 8:36:02 AM5/14/10 8:36:02 AM
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 11.5 EL ANÁLISIS DE VARIANZA PARA UN DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO ❍ 455
PRUEBA F PARA COMPARAR K MEDIAS 
POBLACIONALES
1. Hipótesis nula: H0 : m1 � m2 � 
 
 
 � mk
2. Hipótesis alternativa: Ha : Uno o más pares de medias poblacionales difi eren
3. Prueba estadística: F � MST/MSE, donde F está basada en df1 � (k � 1) 
y df2 � (n � k)
4. Región de rechazo: rechazar H0 si F � Fa, donde Fa se encuentra en la cola supe-
rior de la distribución F (con df1 � k � 1 y df2 � n � k) o si el valor 
p � a.
Suposiciones
• Las muestras son seleccionadas al azar y en forma independiente de sus respecti-
vas poblaciones.
• Las poblaciones están normalmente distribuidas con m1, m2, . . . , mk y varianzas 
iguales, s 21 � s
2
2 � 
 
 
 � s
2
k � s
2.
¿Los datos del ejemplo 11.4 dan sufi ciente evidencia para indicar una diferencia en 
el promedio de intervalos de atención, dependiendo del tipo de desayuno tomado por el 
estudiante?
Solución Para probar H0: m1 � m2 � m3 contra la hipótesis alternativa de que el 
promedio de intervalo de atención es diferente para al menos uno de los tres tratamien-
tos, se usa el análisis de varianza estadística de F, calculada como
F � MST _____ MSE
 � 29.2667 _______ 5.9333
 � 4.93
y se muestra en la columna marcada “F” de la fi gura 11.3. No es de sorprender saber 
que el valor en la columna marcada “P” en la fi gura 11.3 sea el valor p exacto para esta 
prueba estadística.
La prueba estadística MST/MSE calculada líneas antes, tiene una distribución F con 
df1 � 2 y df2 � 12 grados de libertad. Con el uso del método del valor crítico con a � 
.05, se puede rechazar H0 si F � F.05 � 3.89 de la tabla 6 del apéndice I (véase la fi gura 
11.5). Como el valor observado, F � 4.93, excede del valor crítico, se rechaza H0. Hay 
sufi ciente evidencia para indicar que al menos uno de los tres intervalos de atención 
promedio es diferente de al menos uno de los otros.
F
f(F)
Fα
0 α
E J E M P L O 11.5
Probabilidad_Mendenhall_11.indd 455Probabilidad_Mendenhall_11.indd 455 5/14/10 8:36:03 AM5/14/10 8:36:03 AM
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456 ❍ CAPÍTULO 11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
Se podría haber llegado a esta misma conclusión usando el valor p exacto, P � .027, 
dado en la fi gura 11.3. Como el valor p es menor a a � .05, los resultados son estadísti-
camente signifi cativos al nivel de 5%. Todavía se concluye que al menos uno de los tres 
intervalos de atención es diferente de al menos uno de los otros.
Región de rechazo
5 100
3.89
F
f(F )
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
� = .05
FIGURA 11.5
Región de rechazo para el 
ejemplo 11.5
●
Las salidas impresas de 
computadora dan el valor p 
exacto; use el valor p para 
tomar su decisión.
CONSEJOMIMI
APPLETMIMI
Todavía se puede usar el applet F Probabilities para hallar valores críticos de F o 
valores p para el análisis de pruebas F de varianza. Vea los dos applets de la fi gura 
11.6. Use el cursor a la izquierda y derecha de los applets para seleccionar los grados 
de libertad apropiados (df1 y df2). Para hallar el valor crítico para el rechazo de H0, 
introduzca el nivel de signifi cancia a en la caja marcada “Prob” y pulse Enter. Para 
hallar el valor p, introduzca el valor observado de la prueba estadística en la caja 
marcada “F” y pulse Enter. ¿Puede identifi car el valor crítico para rechazo y el valor 
p para el ejemplo 11.5?
 F Distribution F Distribution
FIGURA 11.6
Applet F Probabilities
●
Estimación de diferencias en las medias 
de tratamiento
La siguiente pregunta obvia que se podría hacer se refi ere a la naturaleza de las diferen-
cias de las medias poblacionales. ¿Cuáles medias son diferentes de las otras? ¿Cómo se 
puede estimar la diferencia o posiblemente las medias individuales para cada uno de los 
tres tratamientos? En la sección 11.6, presentaremos un procedimiento que se puede usar 
para comparar todos los posibles pares de medias de tratamiento simultáneamente. No 
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	11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
	11.5 El análisis de varianza para un diseño completamente aleatorizado
	Prueba de la igualdad de las medias de tratamiento
	Estimación de diferencias en las medias de tratamiento