introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-166

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472 ❍ CAPÍTULO 11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
El investigador del ejemplo 11.9 estaba bastante seguro de que al usar un diseño de 
bloque aleatorizado habría una diferencia signifi cativa en las medias de bloque, es decir, 
una diferencia signifi cativa en el promedio de costos mensuales dependiendo del nivel 
de uso. Esta sospecha está justifi cada al ver la prueba de igualdad de medias de bloque. 
Observe que la prueba estadística observada es F � 2351.99 con P � .000, mostrando 
una diferencia altamente signifi cativa, como se esperaba, en las medias de bloque.
Identifi cación de diferencias en las medias 
de tratamiento y de bloque
Una vez efectuada la prueba F general para igualdad de las medias de tratamiento o de 
bloque, ¿qué más se puede hacer para identifi car la naturaleza de cualesquiera diferen-
cias que se hayan encontrado? Al igual que en la sección 11.5, se puede usar el método 
de Tukey de comparaciones apareadas para determinar qué pares de medias de trata-
miento o de bloque son signifi cativamente diferentes uno de otro. No obstante, si la 
prueba F no indica una diferencia signifi cativa en las medias, no hay razón para usar el 
procedimiento de Tukey. Si el investigador tiene especial interés en un par particular de 
medias de tratamiento o de bloque, puede estimar la diferencia usando un interva-
lo de confi anza (1 � a)100%.† Las fórmulas para estos procedimientos, que se mues-
tran a continuación, siguen un patrón similar a las fórmulas para el diseño completa-
mente aleatorizado. Recuerde que MSE siempre da un estimador insesgado de s2 y 
utiliza información proveniente de todo el conjunto de mediciones. En consecuencia, es 
el mejor estimador existente de s2, cualquiera que sea el procedimiento de prueba o es-
timación que se use. Utilice de nuevo
s2 � MSE con df � (b � 1)(k � 1)
para estimar s2 al comparar las medias de tratamiento y de bloque.
COMPARACIÓN DE MEDIAS DE TRATAMIENTO 
Y DE BLOQUE
Medidor de Tukey para comparar medias de bloque:
v � qa(b, df )� s ___ �__ k �
Medidor de Tukey para comparar medias de tratamiento:
v � qa(k, df )� s ___ �__ b �
Intervalo de confi anza de (1 � a)100% para la diferencia en dos medias de bloque:
(B�i � B�j) 	 ta/2 �
_________
 s2� 1 __ k � 1 __ k � 
donde B�i es el promedio de todas las observaciones en el bloque i
 Intervalo de confi anza de (1 � a)100% para la diferencia en dos medias de trata-
miento:
(T�i � T�j) 	 ta/2 �
_________
 s2� 1 __ b � 1 __ b � 
donde T�i es el promedio de todas las observaciones en el tratamiento i.
† No se puede construir un intervalo de confi anza para una media individual, a menos que los bloques hayan sido 
seleccionados al azar de entre la población de todos los bloques. El procedimiento para construir intervalos para 
medias individuales está fuera del propósito de este libro.
Los grados de libertad para 
la prueba de Tukey y para 
intervalos de confi anza son 
los df de error.
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 11.8 EL ANÁLISIS DE VARIANZA PARA UN DISEÑO DE BLOQUE ALEATORIZADO ❍ 473
 Nota: Los valores qa(*, df) de la tabla 11 en el apéndice I, ta/2 de la tabla 4 en el apén-
dice I y s2 � MSE dependen todos ellos de df � (b � 1)(k � 1) grados de libertad.
Identifi que la naturaleza de cualesquiera diferencias encontradas en el promedio de cos-
tos mensuales de teléfono celular del ejemplo 11.8.
Solución Como la prueba F no presentó diferencias signifi cativas en los costos pro-
medio para las cuatro compañías, no hay razón para usar el método de Tukey de compa-
raciones apareadas. Supongamos, sin embargo, que usted es un ejecutivo de la compañía 
B y su principal competidor es la compañía C. ¿Puede decir que hay una diferencia sig-
nifi cativa en los dos costos promedio? Usando un intervalo de confi anza de 95%, puede 
calcular
 (T�2 � T�3) 	 t.025 �
________
 MSE� 2 __ b � 
��423
6
� � �
40
3
8
�� 	 2.447 �
_______
 40.3� 2 __ 3 � 
 6 	 12.68
de modo que la diferencia entre los dos costos promedio se estiman entre �$6.68 y 
$18.68. Como 0 está contenido en el intervalo, no tiene evidencia para indicar una dife-
rencia signifi cativa en sus costos promedio. ¡Qué pena!
Algunos comentarios de precaución 
en bloqueo
A continuación veamos algunos puntos importantes a recordar:
• Un diseño de bloque aleatorizado no debe usarse cuando tanto tratamientos como 
bloques corresponden a factores experimentales de interés para el investigador. 
Al diseñar un factor como bloque, puede suponer que el efecto del tratamiento 
será el mismo, cualquiera que sea el bloque que utilice. Si éste no es el caso, los 
dos factores, bloques y tratamientos, se dice que interactúan y el análisis podría 
llevar a conclusiones incorrectas respecto a la relación entre los tratamientos y la 
respuesta. Cuando se sospeche que hay una interacción entre dos factores, deben 
analizarse los datos como experimento factorial, que se introduce en la siguien-
te sección.
• Recuerde que el bloqueo puede no ser siempre benéfi co. Cuando el SSB se elimi-
ne del SSE, el número de grados de libertad asociado con el SSE se reduce. Para 
que el bloqueo sea benéfi co, la información ganada al aislar la variación de 
bloque debe importar más que la pérdida de grados de libertad por error, pero, 
por lo general, si se sospecha que las unidades experimentales no son homogé-
neas y se pueden agrupar las unidades en bloques, es bueno usar el diseño de 
bloque aleatorizado.
• Por último, recuerde que no se pueden construir intervalos de confi anza para 
medias de tratamiento individuales a menos que sea razonable suponer que los 
b bloques se han seleccionado al azar de entre una población de bloques. Si el 
experimentador construye ese intervalo, la media de tratamiento muestral estará 
sesgada por los efectos positivos y negativos que los bloques tienen en la res-
puesta.
E J E M P L O 11.10
No se puede formar un 
intervalo de confi anza o 
probar una hipótesis acerca 
de una media de tratamiento 
individual en un diseño de 
bloque aleatorizado.
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474 ❍ CAPÍTULO 11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
TÉCNICAS BÁSICAS
11.28 Se utilizó un diseño de bloque aleatorizado para 
comparar las medias de tres tratamientos dentro de seis 
bloques. Construya una tabla ANOVA que muestre las 
fuentes de variación y sus respectivos grados de libertad.
11.29 Suponga que los cálculos del análisis de varianza 
para el ejercicio 11.28 son SST � 11.4, SSB � 17.1 y 
SS Total � 42.7. Complete la tabla ANOVA, mostrando 
todas las sumas de cuadrados, medios cuadráticos y 
valores F pertinentes.
11.30 ¿Los datos del ejercicio 11.28 dan sufi ciente 
evidencia para indicar diferencias entre las medias de 
tratamiento? Pruebe usando a � .05.
11.31 Consulte el ejercicio 11.28. Encuentre un 
intervalo de confi anza de 95% para la diferencia entre un 
par de medias de tratamiento A y B si x�A � 21.9 y 
x�B � 24.2.
11.32 ¿Los datos del ejercicio 11.28 dan sufi ciente 
evidencia para indicar que el bloque aumentó la cantidad 
de información en el experimento acerca de las medias de 
tratamiento? Justifi que su respuesta.
11.33 Los datos que siguen son observaciones 
recolectadas de un experimento que comparó 
cuatro tratamientos, A, B, C y D, dentro de cada uno de 
tres bloques, usando un diseño de bloque aleatorizado.
 Tratamiento
Bloque A B C D Total
1 6 10 8 9 33
2 4 9 5 7 25
3 12 15 14 14 55
Total 22 34 27 30 113
a. ¿Los datos presentan sufi ciente evidencia para indicar 
diferencias entre las medias de tratamiento? Pruebe 
usando a � .05.
b. ¿Los datos presentan sufi ciente evidencia para indicar 
diferencias entre las medias de bloque? Pruebe usando 
a � .05.
c. Clasifi que las cuatro medias de tratamiento usando elmétodo de Tukey de comparaciones pareadas con 
a � .01.
d. Encuentre un intervalo de confi anza de 95% para la 
diferencia en medias para tratamientos A y B.
e. ¿Le parece que el uso de un diseño de bloque 
aleatorizado para este experimento estaba justifi cado? 
Explique.
 EJERCICIOS11.8
11.34 Los datos mostrados a continuación son 
observaciones recolectadas de un experimento 
que comparó tres tratamientos, A, B y C, dentro de 
cada uno de cinco bloques, usando un diseño de bloque 
aleatorizado:
 Bloque
Tratamiento 1 2 3 4 5 Total
A 2.1 2.6 1.9 3.2 2.7 12.5
B 3.4 3.8 3.6 4.1 3.9 18.8
C 3.0 3.6 3.2 3.9 3.9 17.6
Total 8.5 10.0 8.7 11.2 10.5 48.9
Salida impresa MINITAB para el ejercicio 11.34
ANOVA en dos vías: respuesta contra tratamientos, bloques
Source DF SS MS F P
Trts 2 4.476 2.238 79.93 0.000
Blocks 4 1.796 0.449 16.04 0.001
Error 8 0.224 0.028
Total 14 6.496
S = 0.1673 R-Sq = 96.55% R-Sq(adj) = 93.97%
Use la salida impresa MINITAB para analizar el 
experimento. Investigue posibles diferencias en las 
medias de bloque y/o tratamiento y, si existen algunas 
diferencias, use un método apropiado para identifi car 
específi camente dónde están las diferencias. ¿El bloqueo 
ha sido efectivo en este experimento? Presente sus 
resultados en la forma de un reporte.
11.35 La tabla ANOVA parcialmente completada 
para un diseño de bloque aleatorizado se presenta a 
continuación:
Fuente df SS MS F
Tratamientos 4 14.2
Bloques 18.9
Error 24
Total 34 41.9
a. ¿Cuántos bloques intervienen en el diseño?
b. ¿Cuántas observaciones hay en cada total de 
tratamiento?
c. ¿Cuántas observaciones hay en cada total de bloque?
d. Llene los espacios en blanco de la tabla ANOVA.
e. ¿Los datos presentan sufi ciente evidencia para indicar 
diferencias entre las medias de tratamiento? Pruebe 
usando a � .05.
f. ¿Los datos presentan sufi ciente evidencia para indicar 
diferencias entre las medias de bloque? Pruebe usando 
a � .05.
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	11 EL ANÁLISIS DE VARIANZA
	11.8 El análisis de varianza para un diseño de bloque aleatorizado
	Identificación de diferencias en las medias de tratamiento y de bloque
	Algunos comentarios de precaución en bloqueo
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