introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-182

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520 ❍ CAPÍTULO 12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
Los resultados de una predicción serían buenos en el intervalo b � x � c pero sobrees-
timarían gravemente los valores de y para x � c.
Causalidad
Cuando haya una regresión signifi cativa de y y x, es tentador concluir que x causa a y. 
No obstante, es posible que una o más variables desconocidas que ni siquiera se hayan 
medido y que no estén incluidas en el análisis puedan estar causando la relación obser-
vada. En general, el estadístico informa los resultados de un análisis pero deja las con-
clusiones respecto a la causalidad a científi cos e investigadores que son expertos en 
estos campos de actividad. Estos expertos están mejor preparados para tomar esas deci-
siones.
TÉCNICAS BÁSICAS
12.17 Consulte el ejercicio 12.6. Los datos se 
reproducen a continuación.
x �2 �1 0 1 2
y 1 1 3 5 5
a. ¿Los datos presentan sufi ciente evidencia para indicar 
que y y x están relacionadas linealmente? Pruebe la 
hipótesis de que b � 0 al nivel de signifi cancia de 5%.
b. Use la tabla ANOVA del ejercicio 12.6 para calcular 
F � MSR/MSE. Verifi que que el cuadrado de la 
estadística t empleada en la parte a) es igual a F.
c. Compare el valor crítico de dos colas para la prueba t 
del inciso a) con el valor crítico para F con a � .05. 
¿Cuál es la relación entre los valores críticos?
12.18 Consulte el ejercicio 12.17. Encuentre un 
intervalo de confi anza para la pendiente de la recta. ¿Qué 
signifi ca la frase “95% de confi anza”?
12.19 Consulte el ejercicio 12.7. Los datos, junto con el 
análisis MINITAB de la tabla de varianza se reproducen a 
continuación.
x 1 2 3 4 5 6
y 5.6 4.6 4.5 3.7 3.2 2.7
Tabla MINITAB ANOVA para el ejercicio 12.19
Análisis de regresión: y versus x
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 1 5.4321 5.4321 152.10 0.000
Residual Error 4 0.1429 0.0357
Total 5 5.5750
a. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar 
que y y x están relacionados linealmente? Use la 
 EJERCICIOS12.5
información de la salida impresa MINITAB para 
contestar esta pregunta al nivel de signifi cancia 
de 1%.
b. Calcule el coefi ciente de determinación r2. ¿Qué 
información da este valor acerca de la utilidad del 
modelo lineal?
APLICACIONES
12.20 Contaminación del aire Se diseñó 
un experimento para comparar varios tipos 
diferentes de monitores de la contaminación del aire.4 Un 
monitor se inició y a continuación se expuso a diferentes 
concentraciones de ozono, que iban de 15 a 230 partes 
por millón (ppm) durante periodos de 8 a 72 horas. Los 
fi ltros del monitor se analizaron en seguida y se midió 
la cantidad (en microgramos) de nitrato de sodio (NO3) 
registrada por el monitor. Los resultados para un tipo de 
monitor se dan en la tabla siguiente.
Ozono, x (ppm/h) .8 1.3 1.7 2.2 2.7 2.9
NO3, y (mg) 2.44 5.21 6.07 8.98 10.82 12.16
a. Encuentre la recta de regresión de mínimos 
cuadrados que relacione la respuesta del monitor 
a la concentración de ozono.
b. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar que 
hay una relación lineal entre la concentración de 
ozono y la cantidad de nitrato de sodio detectada?
c. Calcule r2. ¿Qué nos dice este valor acerca de la 
efectividad del análisis de regresión lineal?
12.21 El costo de volar ¿Cómo está 
relacionado el costo de un viaje en avión 
con la duración del viaje? La tabla siguiente muestra 
el promedio de la tarifa en primera clase, pagada por 
DATOSMISMIS
EX1220
DATOSMISMIS
EX1221
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 12.5 PRUEBA DE LA UTILIDAD DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL ❍ 521
clientes de American Airlines en cada una de las 18 rutas 
aéreas de mayor movimiento en Estados Unidos.5
 Distancia
Ruta (millas) Costo
Dallas–Austin 178 $125
Houston–Dallas 232 123
Chicago–Detroit 238 148
Chicago–San Luis 262 136
Chicago–Cleveland 301 129
Chicago–Atlanta 593 162
Nueva York–Miami 1092 224
Nueva York–San Juan 1608 264
Nueva York–Chicago 714 287
Chicago–Denver 901 256
Dallas–Salt Lake 1005 365
Nueva York–Dallas 1374 459
Chicago–Seattle 1736 424
Los Ángeles–Chicago 1757 361
Los Ángeles–Atlanta 1946 309
Nueva York–Los Ángeles 2463 444
Los Ángeles–Honolulu 2556 323
Nueva York–San Francisco 2574 513
a. Si usted desea estimar el costo de un vuelo, basado 
en la distancia recorrida, ¿cuál variable es la variable 
de respuesta y cuál es la variable independiente de 
predicción?
b. Suponga que hay una relación lineal entre costo y 
distancia. Calcule la recta de regresión de mínimos 
cuadrados que describa el costo como una función 
lineal de la distancia.
c. Grafi que los puntos y la recta de regresión. ¿Le parece 
que la recta ajusta los datos?
d. Use las pruebas estadísticas y medidas apropiadas 
para explicar la utilidad del modelo de regresión para 
predecir el costo.
12.22 Profesor Asimov, continúa Consulte los 
datos del ejercicio 12.8, que relacionan x, el número 
de libros escritos por el profesor Isaac Asimov, con 
y, el número de meses que le tomó escribir sus libros 
(en incrementos de 100). Los datos se reproducen a 
continuación.
Número de libros, x 100 200 300 400 490
Tiempo en meses, y 237 350 419 465 507
a. ¿Los datos apoyan la hipótesis de que b � 0? Use 
el método del valor p, enlazando el valor p usando 
la tabla 4 del apéndice I o hallando el valor p exacto 
usando el applet t-Test for the Slope. Explique sus 
conclusiones en términos prácticos.
b. Use la tabla ANOVA del ejercicio 12.8, inciso c), 
para calcular el coefi ciente de determinación r2. 
¿Qué reducción de porcentaje en la variación total 
se alcanza usando el modelo de regresión lineal?
c. Grafi que los datos o consulte la gráfi ca del ejercicio 
12.8, inciso b). ¿Los resultados de los incisos a) y 
b) indican que el modelo da un buen ajuste para los 
datos? ¿Hay algunas suposiciones que pueden haber 
sido violadas al ajustar el modelo lineal?
12.23 Consulte el experimento de privación de sueño 
descrito en el ejercicio 12.10 y el conjunto de datos 
EX1210. Los datos y la salida impresa MINITAB se 
reproducen a continuación.
Número de errores, y 8, 6 6, 10 8, 14
Número de horas sin sueño, x 8 12 16
Número de errores, y 14, 12 16, 12
Número de horas sin sueño, x 20 24
Salida impresa MINITAB para el ejercicio 12.23
Análisis de regresión: y versus x
The regression equation is
y = 3.00 + 0.475 x
Predictor Coef SE Coef T P
Constant 3.000 2.127 1.41 0.196
x 0.4750 0.1253 3.79 0.005
S = 2.24165 R-Sq = 64.2% R-Sq(adj) = 59.8%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 1 72.200 72.200 14.37 0.005
Residual Error 8 40.200 5.025
Total 9 112.400
a. ¿Los datos presentan sufi ciente evidencia para indicar 
que el número de errores está linealmente relaciona-
do con el número de horas sin sueño? Identifi que 
las dos estadísticas de prueba en la salida impresa que 
puedan usarse para contestar esta pregunta.
b. ¿Esperaría usted que la relación entre y y x sea lineal 
si x varió en un rango más amplio (por ejemplo, x � 4 
a x � 48)?
c. ¿Cómo describe la fuerza de la relación entre y y x?
d. ¿Cuál es la mejor estimación de la variación 
poblacional común s2?
e. Encuentre un intervalo de confi anza de 95% para la 
pendiente de la recta.
12.24 Fresas II Los datos siguientes (ejercicio 
12.16 y conjunto de datos EX1216) se obtuvieron en un 
experimento que relacionaba la variable dependiente, y 
(textura de fresas), con x (temperatura de almacenamiento 
codifi cada). Use la información del ejercicio 12.16 para 
contestar las preguntas siguientes:
x �2 �2 0 2 2
y 4.0 3.5 2.0 0.5 0.0
a. ¿Cuál es la mejor estimación de s2, la varianza del 
error aleatorio 6?
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522 ❍ CAPÍTULO 12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
b. ¿Los datos indican que la textura y la temperatura de 
almacenamiento están relacionadas linealmente? Use 
a � .05.
c. Calcule el coefi ciente de determinación, r2.
d. ¿De qué valor es el modelo lineal para aumentar la 
precisión de predicción cuando se compara con 
la variable de predicción y�?
12.25 Laptops y aprendizaje En el ejercicio 
1.61 describimos un experimento informal 
realizado en la Secundaria Académica McNair en Jersey 
City, Nueva Jersey. Se estudiaron dos grupos de primer 
año de álgebra, uno de los cuales utilizaba computadoras 
laptop en la escuela y en casa, en tanto que el otro grupo 
no las utilizaba. En cada grupo, a los estudiantes se les dio 
una encuesta al principio y al fi nal del semestre, que medía 
su nivel tecnológico. Se registraron las califi caciones para 
la encuesta del fi nal de semestre (x) y el examen fi nal (y) 
para el grupo con laptop.6 Los datos y la salida impresa 
MINITAB se muestran aquí.
 Después Examen Después Examen
Estudiante de examen fi nal Estudiante de examen fi nal
 1 100 98 11 88 84
 2 96 97 12 92 93
 3 88 88 13 68 57
 4 100 100 14 84 84
 5 100 100 15 84 81
 6 96 78 16 88 83
 7 80 68 17 72 84
 8 68 47 18 88 93
 9 92 90 19 72 57
 10 96 94 20 88 83
Análisis de regresión: y versus x
The regression equation is
y = -26.8 + 1.26 x
Predictor Coef SE Coef T P
Constant -26.82 14.76 -1.82 0.086
x 1.2617 0.1685 7.49 0.000
S = 7.61912 R-Sq = 75.7% R-Sq(adj) = 74.3%
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 1 3254.0 3254.0 56.05 0.000
Residual Error 18 1044.9 58.1
Total 19 4299.0
a. Construya una gráfi ca de dispersión para los datos. 
¿Le parece razonable la suposición de linealidad?
b. ¿Cuál es la ecuación de la recta de regresión empleada 
para predecir la califi cación del examen fi nal como 
función de la califi cación antes del examen?
c. ¿Los datos presentan sufi ciente evidencia para indicar 
que la califi cación del examen fi nal está linealmente 
relacionada con la califi cación después del examen? 
Use a � .01.
d. Encuentre un intervalo de confi anza de 99% para la 
pendiente de la recta de regresión.
12.26 Laptops y aprendizaje, continúa Consulte el 
ejercicio 12.25.
a. Use la salida impresa MINITAB para hallar el valor del 
coefi ciente de determinación, r2. Demuestre que r2 � 
SSR/SS Total.
b. ¿Qué reducción de porcentaje en la variación total se 
obtiene al usar el modelo de regresión lineal?
12.27 Distancia entre brazos extendidos y 
estatura II En el ejercicio 12.15 (conjunto de datos 
EX1215), medimos la distancia entre brazos extendidos y 
estatura de ocho personas con los siguientes resultados:
Persona 1 2 3 4
Distancia entre brazos 
extendidos (pulgadas) 68 62.25 65 69.5
Estatura (pulgadas) 69 62 65 70
Persona 5 6 7 8
Distancia entre brazos 
extendidos (pulgadas) 68 69 62 60.25
Estatura (pulgadas) 67 67 63 62
a. ¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar que 
hay una relación lineal entre distancia y estatura? 
Pruebe al nivel de signifi cancia de 5%.
b. Construya un intervalo de confi anza de 95% para la 
pendiente de la recta de medias, b.
c. Si Leonardo da Vinci tenía razón y la distancia entre 
los brazos extendidos de una persona es casi igual a 
la estatura de esa persona, la pendiente de la recta de 
regresión es aproximadamente igual a 1. ¿El intervalo 
de confi anza construido en el inciso b) confi rma esta 
suposición? Explique.
HERRAMIENTAS DE DIAGNÓSTICO 
PARA VERIFICAR SUPOSICIONES 
DE LA REGRESIÓN
Aun cuando ya hemos determinado, con el uso de la prueba t para la pendiente (o la 
prueba F ANOVA) y el valor de r2, que x es útil para predecir el valor de y, los resulta-
dos de un análisis de regresión son válidos sólo cuando los datos satisfacen las suposi-
ciones de regresión necesarias.
12.6
DATOSMISMIS
EX1225
Probabilidad_Mendenhall_12.indd 522Probabilidad_Mendenhall_12.indd 522 5/14/10 8:37:40 AM5/14/10 8:37:40 AM
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	12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
	12.5 Prueba de la utilidad del modelo de regresión lineal
	Ejercicios
	12.6 Herramientas de diagnóstico para verificar suposiciones de la regresión