introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-187

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12.8 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN ❍ 535
• Cuando r es negativa, b también es negativa y hay una relación lineal negativa 
entre x y y.
En la sección 12.5 demostramos que
r2 � SSR _______ SS Total
 � SS Total � SSE ______________ SS Total
 
En esta forma, se puede ver que r2 nunca puede ser mayor a 1, de modo que �1 	 r 	 1. 
Además, se puede ver la relación entre la variación aleatoria (medida por SSE) y r2.
• Si no hay variación aleatoria y todos los puntos caen en la recta de regresión, 
entonces SSE � 0 y r2 � 1.
• Si los puntos están dispersos en forma aleatoria y no hay variación explicada por 
regresión, entonces SSR � 0 y r2 � 0.
APPLETMIMI
Se puede usar el applet Exploring Correlation que se ve en la fi gura 12.17 para 
visualizar la conexión entre el valor de r y el patrón de puntos mostrado en la gráfi -
ca de dispersión. Use su mouse para mover el cursor de la parte inferior de la gráfi ca 
de dispersión. Se verá que el valor de r cambia cuando el patrón de puntos cambia. 
Trate de reproducir los patrones descritos arriba para r2 � 1 y r2 � 0.
FIGURA 12.17
Applet Exploring 
Correlation
●
La fi gura 12.18 muestra cuatro gráfi cas de dispersión típicas y sus coefi cientes de 
correlación asociados. Observe que en la gráfi ca de dispersión (d) parece haber una rela-
ción curvilínea entre x y y, pero r es aproximadamente 0, lo cual refuerza el hecho de que 
r es una medida de una relación lineal (no curvilínea) entre dos variables.
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536 ❍ CAPÍTULO 12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
Considere una población generada al medir dos variables aleatorias en cada unidad 
experimental. En esta población bivariada, el coefi ciente de correlación poblacional 
r se calcula e interpreta como está en la muestra. En esta situación, el experimentador 
puede probar la hipótesis de que no hay correlación entre las variables x y y usando una 
estadística de prueba que sea exactamente equivalente a la prueba de la pendiente b de 
la sección 12.5. El procedimiento de prueba se muestra a continuación.
PRUEBA DE HIPÓTESIS RESPECTO AL COEFICIENTE 
DE CORRELACIÓN r
1. Hipótesis nula: H0 : r � 0
2. Hipótesis alternativa:
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 Ha : r � 0 Ha : r � 0
 (o r � 0)
3. Estadística de prueba: t � r �
______
 n � 2 ______ 
1 � r2
 
 Cuando se satisfacen las suposiciones dadas en la sección 12.2, la estadística de 
prueba tendrá una distribución t de Student con (n � 2) grados de libertad.
4. Región de rechazo: rechazar H0 cuando
 Prueba de una cola Prueba de dos colas
 t � ta t � ta/2 o t � �ta/2
 (o t � �ta cuando la hipótesis
 alternativa sea Ha : r � 0)
 o cuando valor p � a
x
y
a)
Fuerte correlación lineal 
positiva; r es cercana a 1
x
y
b)
Fuerte correlación lineal 
negativa; r es cercana a –1
x
y
c)
No hay correlación lineal 
aparente; r es cercana a 0
x
y
d)
Correlación curvilínea, pero no 
lineal; r es cercana a 0
FIGURA 12.18
Algunas gráfi cas de 
dispersión típicas con 
valores aproximados de r
●
Se puede demostrar que 
t � r �
______
 n � 2 _____ 
1 � r2
 
 � b � 0 _________ 
 �
_______
 MSE/Sxx 
 .
CONSEJOMIMI
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 12.8 ANÁLISIS DE CORRELACIÓN ❍ 537
Los valores de ta y ta/2 se pueden hallar usando la tabla 4 del apéndice I o el applet 
t-Probabilities. Use los valores de t correspondientes a (n � 2) grados de libertad.
Consulte los datos de estatura y peso del ejemplo 12.7. La correlación entre estatura 
y peso se calculó como r � .8261. ¿Esta correlación es signifi cativamente diferente 
de 0?
Solución Para probar las hipótesis
H0 : r � 0 versus Ha : r � 0
el valor del estadístico de prueba es
t � r �
_______
 n � 2 ______ 
1 � r2
 � .8261 �
____________
 10 �2 ___________ 
(1 � (.8261)2
 � 4.15
que para n � 10 tiene una distribución t con 8 grados de libertad. Como este valor es 
mayor que t.005 � 3.355, el valor p de dos colas es menor a 2(.005) � .01 y la correlación 
se declara signifi cativa al nivel de 1% (P � .01). El valor r2 � .82612 � .6824 signifi ca 
que alrededor de 68% de la variación en una de las variables es explicada por la otra. La 
salida impresa MINITAB de la fi gura 12.19 muestra la correlación r y el valor p exacto 
para probar su signifi cancia.
E J E M P L O 12.8
El valor t y valor p para probar 
H0 : r � 0 será idéntico al 
valor t y valor p para probar 
H0 : b � 0.
CONSEJOMIMI
Si los coefi cientes lineales de correlación entre y y cada una de las dos variables x1 y 
x2 se calcular como .4 y .5, respectivamente, no se concluye que un medio de predicción 
que use ambas variables sea [(.4)2 � (.5)2] � .41, o sea una reducción de 41% en la suma 
de cuadrados de desviaciones. En realidad, x1 y x2 podrían estar bastante correlacionados 
y por tanto contribuir prácticamente con la misma información para la predicción de y.
Por último, recuerde que r es una medida de correlación lineal y que x y y podrían 
estar perfectamente relacionadas por alguna función curvilínea cuando el valor obser-
vado de r sea igual a 0. El problema de estimar o predecir y usando información dada 
por varias variables independientes, x1, x2, …, xk, es el tema del capítulo 13.
TÉCNICAS BÁSICAS
12.44 ¿En qué forma el coefi ciente de correlación mide 
la fuerza de la relación lineal entre dos variables y y x?
12.45 Describa la signifi cancia del signo algebraico y la 
magnitud de r.
12.46 ¿Qué valor toma r si todos los puntos caen en la 
misma recta en estos casos?
a. La recta tiene pendiente positiva.
 EJERCICIOS12.8
b. La recta tiene pendiente negativa.
12.47 Nos dan estos datos:
x �2 �1 0 1 2
y 2 2 3 4 4
a. Grafi que los puntos. Con base en su gráfi ca, ¿cuál será 
el signo del coefi ciente de correlación muestral?
b. Calcule r y r2 e interprete sus valores.
Correlaciones: x, y
Pearson correlation of x and y = 0.826
P-Value = 0.003
FIGURA 12.19
Salida impresa MINITAB 
para el ejemplo 12.8
●
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	12 REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
	12.8 Análisis de correlación
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