introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-208

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598 ❍ CAPÍTULO 14 ANÁLISIS DE DATOS CATEGÓRICOS
Para este ejemplo, el estadístico de prueba tiene (k � 1) � 2 grados de libertad porque la 
única restricción lineal en las probabilidades de celda es que deben sumar 1. En conse-
cuencia, se puede usar la tabla 5 del apéndice I para hallar límites para el valor p de cola 
derecha. Como el valor observado, X2 � 6.607, se encuentra entre x 2.050 � 5.99 y x
2
.025 
� 7.38, el valor p está entre .025 y .050. El investigador debe informar los resultados 
como signifi cativos al nivel de 5% (P � .05), lo cual signifi ca que la hipótesis nula de 
no preferencia es rechazada. Hay sufi ciente evidencia para indicar que la rata tiene una 
preferencia por una de las tres puertas.
¿Qué más se puede decir acerca del experimento, una vez que se haya determinado 
estadísticamente que la rata tiene una preferencia? Veamos los datos para observar 
dónde están las diferencias. El applet The Goodness-of-Fit Test (Prueba de bondad del 
ajuste), que se muestra en la fi gura 14.1, ayudará.
Se puede ver el valor de X2 y su valor p exacto (.0482) en la parte baja del applet. Un 
poco más arriba, la barra sombreada muestra la distribución de las frecuencias obser-
vadas. Las barras azules representan categorías que tienen un exceso de observaciones 
con respecto a lo esperado y las celdas rojas (grises en la fi gura 14.1) indican un défi cit 
de observaciones con respecto a lo esperado. La intensidad del color refl eja la magni-
tud de la discrepancia. Para este ejemplo, la rata escogió las puertas roja y azul con más 
frecuencia de lo esperado y la puerta verde con menos frecuencia. La puerta azul se 
escogió sólo un poco más de un tercio del tiempo: 
�
3
9
1
0
� � .344
No obstante, las proporciones muestrales para las otras dos puertas son muy diferentes a 
un tercio. La rata escoge la puerta verde con menos frecuencia, sólo 22% del tiempo:
�
2
9
0
0
� � .222
La rata escoge la puerta roja con más frecuencia, 43% del tiempo:
�
3
9
9
0
� � .433
Se pueden resumir los resultados del experimento si se dice que la rata tiene preferen-
cia por la puerta roja. ¿Se puede concluir que la preferencia es causada por el color de 
la puerta? La respuesta es negativa; la causa podría ser algún otro factor fi siológico o 
psicológico que todavía no se haya explorado. ¡Evite declarar una relación causal entre 
color y preferencia!
FIGURA 14.1
Applet Goodness-of-Fit
●
Probabilidad_Mendenhall_14.indd 598Probabilidad_Mendenhall_14.indd 598 5/14/10 8:44:26 AM5/14/10 8:44:26 AM
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 14.3 PRUEBA DE PROBABILIDADES DE CELDA ESPECIFICADA: LA PRUEBA DE BONDAD DEL AJUSTE ❍ 599
Las proporciones de tipos de sangre A, B, AB y O en la población de todos los cauca-
sianos en Estados Unidos son .41, .10, .04 y .45, respectivamente. Para determinar si las 
proporciones poblacionales reales se ajustan o no se ajustan a este conjunto de probabi-
lidades reportadas, se seleccionó una muestra de 200 estadounidenses y se registraron 
sus fenotipos sanguíneos. Las cantidades de celda observadas y esperadas se muestran 
en la tabla 14.2. Las cantidades de celda esperadas se calculan como Ei � 200pi. Prueba 
la bondad de ajuste de estas proporciones de fenotipo sanguíneas.
E J E M P L O 14.2
Solución La hipótesis a probar está determinada por las probabilidades del modelo:
H0 : p1 � .41; p2 � .10; p3 � .04; p4 � .45
contra
Ha : Al menos una de las cuatro probabilidades es diferente del valor esperado
Entonces
X2 � S 
(Oi � Ei)
2
 _________ Ei
 
 � 
(89 � 82)2 _________ 
82
 � � � � � 
(81 � 90)2
 _________ 
90
 � 3.70
De la tabla 5 del apéndice I, indizando df � (k � 1) � 3, se puede hallar que el valor 
observado del estadístico de prueba es menor a x 2.100 � 6.25, de modo que el valor p es 
mayor a .10. No es necesario tener evidencia para rechazar H0; esto es, no se puede de-
clarar que los fenotipos sanguíneos de caucasianos estadounidenses sean diferentes de 
los reportados ya antes. Los resultados son no signifi cativos.
Se pueden hallar instrucciones en la sección “Mi MINITAB ” al fi nal de este capítulo 
para efectuar la prueba de bondad del ajuste ji cuadrada y generar los resultados. Este 
procedimiento es nuevo en el MINITAB 15. Si se usa una versión previa del MINITAB, 
todavía se pueden generar resultados usando la función de calculadora.
Observe la diferencia en la hipótesis de bondad de ajuste comparada con otras hipó-
tesis que se hayan probado. En la prueba de bondad de ajuste, el investigador usa la 
hipótesis nula para especifi car el modelo que crea ser verdadero, más que un modelo que 
espera demostrar que sea falso. Cuando no pueda rechazar H0 en el ejemplo del tipo de 
sangre, los resultados fueron como se esperaba. Es necesario tener cuidado, no obstante, 
cuando se reporten resultados para pruebas de bondad de ajuste. No se puede declarar 
con confi anza que el modelo sea absolutamente correcto sin reportar el valor de b para 
algunas alternativas prácticas.
TABLA 14.2 
●
 Cantidades de fenotipos sanguíneos
 A B AB O
Observadas (Oi) 89 18 12 81
Esperadas (Ei) 82 20 8 90
TÉCNICAS BÁSICAS
14.1 Haga una lista de las características de un 
experimento multinomial.
 EJERCICIOS14.3
14.2 Use la tabla 5 del apéndice I para hallar el valor de 
x2 con la siguiente área a a su derecha: 
a. a � .05, df � 3 b. a � .01, df � 8
Grados de libertad para un 
ajuste simple de una prueba 
de bondad: df � k � 1.
CONSEJOMIMI
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600 ❍ CAPÍTULO 14 ANÁLISIS DE DATOS CATEGÓRICOS
14.3 Dé la región de rechazo para una prueba ji 
cuadrada de probabilidades si el experimento contiene k 
categorías en estos casos: 
a. k � 7, a � .05 b. k � 10, a � .01
14.4 Use la tabla 5 del apéndice I para limitar el valor p 
para una prueba ji cuadrada: 
a. X2 � 4.29, df � 5 b. X2 � 20.62, df � 6
14.5 Suponga que una respuesta puede caer en una de 
k � 5 categorías con probabilidades p1, p2, …, p5 y 
que n � 300 respuestas produjeron estas cantidades de 
categoría:
Categoría 1 2 3 4 5
Cantidad observada 47 63 74 51 65
a. ¿Es igualmente probable que ocurran las cinco 
categorías? ¿Cómo se probaría esta hipótesis?
b. Si se fuera a probar esta hipótesis usando la estadística 
ji cuadrada, ¿cuántos grados de libertad tendría la 
prueba?
c. Encuentre el valor crítico de x 2 que defi na la región de 
rechazo con a � .05.
d. Calcule el valor observado del estadístico de prueba.
e. Efectúe la prueba y exprese sus conclusiones.
14.6 Suponga que una respuesta puede caer en una de 
k � 3 categorías con probabilidades p1 � .4, p2 � .3 y 
p3 � .3 y n � 300 respuestas produjo estas cantidades 
de categoría:
Categoría 1 2 3
Cantidad observada 130 98 72
¿Los datos dan sufi ciente evidencia para indicar que las 
probabilidades de celda son diferentes respecto de las 
especifi cadas para las tres categorías? Encuentre el valor 
p aproximado y úselo para tomar su decisión.
APLICACIONES
14.7 Su carril preferido Una autopista de cuatro 
carriles en cada dirección fue estudiada para ver si los 
automovilistas prefi eren ir en los carriles interiores. 
Se observaron un total de mil automóviles, durante un 
intenso tránsito matutino y se registró el número de autos 
en cada carril:
Carril 1 2 3 4
Cantidad observada 294 276 238 192
¿Los datos presentan sufi ciente evidencia para indicar 
que algunos carriles son preferidos sobre otros? Pruebe 
usando a � .05. Si hay algunas diferencias, analice la 
naturaleza de los diferencias.
14.8 Peonias Una peonia con pétalos rojos fue 
cruzada con otra planta con pétalos de franjas. Un 
genetista dice que 75% de los descendientes de esta cruza 
tendrán fl ores rojas. Para probar esta afi rmación, cien 
semillas de esta cruza se recolectaron y germinaron, y 58 
plantas tenían pétalos rojos. Use la prueba de bondad del 
ajuste ji cuadrada para determinar si los datos muestralesconfi rman la predicción del genetista.
14.9 Ataques al corazón los lunes ¿Odia usted 
los lunes? Investigadores de Alemania han dado otra 
razón: concluyeron que el riesgo de un ataque al corazón 
para un trabajador puede ser hasta 50% mayor los lunes 
que en cualquier otro día.1 Los investigadores dieron 
seguimiento a ataques al corazón y paros coronarios en 
un periodo de 5 años entre 330 mil personas que vivían 
cerca de Augsburg, Alemania. En un intento por verifi car 
este dicho, se hizo un estudio de 200 trabajadores que 
habían tenido recientemente ataques al corazón y se 
registró el día en que ocurrieron estos ataques al corazón:
Día Cantidad observada
Domingo 24
Lunes 36
Martes 27
Miércoles 26
Jueves 32
Viernes 26
Sábado 29
¿Los datos presentan sufi ciente evidencia para indicar 
que hay diferencia en la incidencia de ataques al corazón, 
dependiendo del día de la semana? Pruebe usando 
a � .05.
14.10 Estadísticas de mortalidad Unas estadísticas 
médicas muestran que los fallecimientos debidos a 
cuatro enfermedades principales, llamadas A, B, C y D, 
constituyen 15%, 21%, 18% y 14%, respectivamente, de 
todos los fallecimientos no accidentales. Un estudio de 
las causas de 308 fallecimientos no accidentales en un 
hospital dieron las siguientes cantidades:
Enfermedad A B C D Otro
Fallecimientos 43 76 85 21 83
¿Estos datos dan sufi ciente evidencia para indicar que las 
proporciones de personas, que fallecen de enfermedades 
A, B, C y D en este hospital, a la larga difi eren de las 
proporciones acumuladas para la población?
14.11 Esquizofrenia Investigaciones realizadas 
han sugerido que hay un vínculo entre la prevalencia 
de esquizofrenia y el nacimiento durante meses 
particulares del año en que prevalecen infecciones 
virales. Supongamos que estamos trabajando en un 
problema similar y sospechamos que hay un vínculo 
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