introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-210

Vista previa del material en texto

604 ❍ CAPÍTULO 14 ANÁLISIS DE DATOS CATEGÓRICOS
Consulte el ejemplo 14.3. ¿Los datos presentan sufi ciente evidencia para indicar que el 
tipo de defecto de muebles varía con el turno durante el cual la pieza se produjo?
Solución Las cantidades estimadas esperadas de celda se muestran en paréntesis en 
la tabla 14.4. Por ejemplo, la cantidad estimada esperada para un defecto tipo C produ-
cido durante el segundo turno es
Ê32 � 
r3c2 ____ n � 
(128)(96)
 ________ 
309
 � 39.77
E J E M P L O 14.4
Ahora se pueden usar los valores mostrados en la tabla 14.4 para calcular el estadístico 
de prueba como
X2 � S 
(Oij � Êij)
2
 _________ 
Êij
 
 � 
(15 �22.51)2
 ___________ 
22.51
 � 
(26 �22 .99)2
 ____________ 
22 .99
 � � � � � 
(20 �14.63)2
 ___________ 
14.63
 
 � 19.18
Cuando se indiza la distribución ji cuadrada de la tabla 5 del apéndice I con
df � (r � 1)(c � 1) � (4 � 1)(3 � 1) � 6
el estadístico de prueba observada es mayor a x 2.005 � 18.5476, lo cual indica que el valor 
p es menor a .005. Se puede rechazar H0 y declarar que los resultados son altamente 
signifi cativos (P � .005). Hay sufi ciente evidencia para indicar que las proporciones de 
tipos de defecto varían de un turno a otro.
La siguiente pregunta obvia que se debe formular comprende la naturaleza de la rela-
ción entre las dos clasifi caciones. ¿Cuál turno produce más de qué tipo de defecto? Al 
igual que con el experimento factorial del capítulo 11, una vez hallada la dependencia (o 
interacción) se debe buscar dentro de la tabla en las proporciones relativa o condicional 
para cada nivel de clasifi cación. Por ejemplo, considere el turno 1, que produjo un total 
de 94 defectos. Estos defectos se pueden dividir en tipos usando las proporciones con-
dicionales para esta muestra que aparecen en la primera columna de la tabla 14.5. Si se 
sigue el mismo procedimiento para los otros dos turnos, se pueden entonces comparar las 
distribuciones de tipos de defecto para los tres turnos, como se ve en la tabla 14.5.
Ahora comparemos los tres conjuntos de proporciones (cada uno totaliza 1). Se ve 
que los turnos 1 y 2 producen defectos en el mismo orden general, tipos C, B, A y D 
de mayor a menor, aunque en proporciones que difi eren. El turno 3 presenta un modelo 
diferente, casi todos los defectos de tipo C pero seguidos por los tipos A, D y B, en ese 
orden. Dependiendo de cuál tipo de defecto sea el más importante para el fabricante, 
TABLA 14.4 
●
 Cantidades observadas y estimadas esperadas de celda
 Turno
Tipo de defectos 1 2 3 Total
A 15 (22.51) 26 (22.99) 33 (28.50) 74
B 21 (20.99) 31 (21.44) 17 (26.57) 69
C 45 (38.94) 34 (39.77) 49 (49.29) 128
D 13 (11.56) 5 (11.81) 20 (14.63) 38
Total 94 96 119 309
Probabilidad_Mendenhall_14.indd 604Probabilidad_Mendenhall_14.indd 604 5/14/10 8:44:27 AM5/14/10 8:44:27 AM
 www.FreeLibros.me
 14.4 TABLAS DE CONTINGENCIA: UNA CLASIFICACIÓN DE DOS VÍAS ❍ 605
cada turno debe ser advertido separadamente acerca de las razones para producir dema-
siados defectos.
TABLA 14.5 
●
 Probabilidades condicionales para tipos de defecto dentro de tres turnos
 Turno
Tipos de defectos 1 2 3
A �
1
9
5
4
� � .16 �
2
9
6
6
� � .27 �
1
3
1
3
9
� � .28
B �
2
9
1
4
� � .22 �
3
9
1
6
� � .32 �
1
1
1
7
9
� � .14
C �
4
9
5
4
� � .48 �
3
9
4
6
� � .35 �
1
4
1
9
9
� � .41
D �
1
9
3
4
� � .14 �
9
5
6
� � .05 �
1
2
1
0
9
� � .17
Total 1.00 1.00 1.00
APPLETMIMI
El applet Chi-Square Test of Independence (Prueba de independencia ji cuadrada) 
puede ayudar a visualizar la distribución de las frecuencias observadas. En la fi gura 
14.2a), las barras azules (azul en la fi gura 14.2a)) representan categorías que tienen 
un exceso de defectos con respecto a las celdas esperadas y las rojas (grises en la 
fi gura 14.2a)) indican un défi cit de defectos con respecto a lo esperado. La intensidad 
del color refl eja la magnitud de la discrepancia. En la fi gura 14.2b), usamos el botón 
 para ver la distribución esperada de piezas defectuosas si la hipótesis nula es 
verdadera. Las alturas relativas de los rectángulos en cada una de las tres columnas 
corresponden a la distribución condicional de piezas defectuosas por turno dadas en 
la tabla 14.5. Usaremos este applet para los Ejercicios Mi Applet al fi nal del capí-
tulo.
FIGURA 14.2
Applet Chi-Square 
Test of Independence 
(Prueba de 
independencia 
ji cuadrada)
●
a) b)
Probabilidad_Mendenhall_14.indd 605Probabilidad_Mendenhall_14.indd 605 5/14/10 8:44:27 AM5/14/10 8:44:27 AM
 www.FreeLibros.me
606 ❍ CAPÍTULO 14 ANÁLISIS DE DATOS CATEGÓRICOS
Se realizó un estudio para evaluar la efectividad de una nueva vacuna contra la gripe que 
había sido administrada en una pequeña comunidad. La vacuna fue aplicada sin carga 
en una secuencia de dos vacunas en un periodo de 2 semanas. Algunas personas reci-
bieron la secuencia de dos vacunas, algunas se presentaron sólo para una vacuna y las 
otras no recibieron ninguna. Un estudio de mil residentes locales a la primavera siguiente 
dio la información que se ve en la tabla 14.6. ¿Los datos presentan sufi ciente evidencia 
para indicar que la vacuna tuvo éxito para reducir el número de casos de gripe en la 
comunidad?
¿Cómo determino el número apropiado de grados 
de libertad?
Recuerde el procedimiento general para determinar grados de libertad:
1. Empiece con k � rc categorías o celdas en la tabla de contingencia.
2. Reste un grado de libertad porque todas las probabilidades de celda rc deben 
sumar 1.
3. Tuvo que estimar (r � 1) probabilidades de renglón y (c � 1) probabilidades de 
columna para calcular las cantidades estimadas esperadas de celda. (La última 
de las probabilidades de renglón y de columna está determinada porque las 
probabilidades marginales de renglón y columna también totalizan 1.) Reste 
(r � c) y (c � 1) grados de libertad (df ).
El total de grados de libertad para la tabla r � c es
df � rc � 1 � (r � 1) � (c � 1) � rc � r � c � 1 � (r � 1)(c � 1)
ENTRENADOR PERSONALMIMI
E J E M P L O 14.5
TABLA 14.6 
●
 Tabla de contingencia de 2 � 3
 Sin vacuna Una vacuna Dos vacunas Total
Gripe 24 9 13 46
Sin gripe 289 100 565 954
Total 313 109 578 1000
Solución El éxito de la vacuna para reducir el número de casos de gripe se puede 
evaluar en dos partes:
• Si la vacuna tiene éxito, las proporciones de personas que contraen gripe debería 
variar, dependiendo de cuál de los tres tratamientos recibieron.
• Esta dependencia no sólo debe existir, sino que la proporción de personas que 
contraen gripe debería disminuir a medida que aumenta el tratamiento de preven-
ción de la gripe, de cero a una o dos vacunas.
La primera parte se puede probar usando la prueba ji cuadrada con estas hipótesis:
H0 : No hay relación entre tratamiento e incidencia de gripe
Ha : La incidencia de gripe depende de la cantidad de tratamiento contra la gripe
Como de costumbre, paquetes de software pueden eliminar todos los tediosos cálculos 
y, si los datos se introducen correctamente, dan la salida correcta que contiene el valor 
Probabilidad_Mendenhall_14.indd 606Probabilidad_Mendenhall_14.indd 606 5/14/10 8:44:27 AM5/14/10 8:44:27 AM
 www.FreeLibros.me