introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-219

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15.2 LA PRUEBA DE SUMA DE RANGO DE WILCOXON: MUESTRAS ALEATORIAS INDEPENDIENTES ❍ 631
Son equivalentes en que usan la misma información muestral. El procedimiento que pre-
sentaremos es la prueba de suma de rango de Wilcoxon, propuesto por Frank Wilcoxon, 
que está basado en la suma de los rangos de la muestra que tiene el tamaño muestral más 
pequeño.
Supongamos que tenemos n1 observaciones de la población 1 y n2 observaciones 
de la población 2. La hipótesis nula a probar es que las dos distribuciones poblaciona-
les son idénticas, contra la hipótesis alternativa de que las distribuciones poblacionales 
son diferentes. Éstas son las posibilidades para las dos poblaciones:
• Si H0 es verdadera y las observaciones han provenido de las mismas o idénticas 
poblaciones, entonces las observaciones de ambas muestras deben mezclarse 
al azar cuando conjuntamente sean de rango de pequeño a grande. La suma de 
los rangos de las observaciones de la muestra 1 debe ser similar a la suma de los 
rangos de la muestra 2.
• Si, por el contrario, las observaciones de la población 1 tienden a ser más peque-
ñas que las de la población 2, entonces estas observaciones tendrían los rangos 
más pequeños porque la mayor parte de éstas serían más pequeñas que las de la 
población 2. La suma de los rangos de ellas sería “pequeña”.
• Si las observaciones de la población 1 tienden a ser más grandes que las de la 
población 2, se les asignarían rangos más grandes. La suma de sus rangos de 
estas últimas tenderían a ser “grandes”.
Por ejemplo, supongamos que tenemos n1 � 3 observaciones de la población 1, es 
decir, 2, 4 y 6, y n2 � 4 observaciones de la población 2, o sea 3, 5, 8 y 9. La tabla 15.1 
muestra siete observaciones ordenadas de pequeñas a grandes.
TABLA 15.1 
●
 Siete observaciones en orden
Observación x1 y1 x2 y2 x3 y3 y4
Datos 2 3 4 5 6 8 9
Rango 1 2 3 4 5 6 7
A la observación más pequeña, x1 � 2, se le asigna el rango 1; a la siguiente observación 
más pequeña, y1 � 3, se le asigna el rango 2; y así sucesivamente. La suma de los rangos 
de las observaciones de la muestra 1 es 1 � 3 � 5 � 9 y la suma de rangos de la mues-
tra 2 es 2 � 4 � 6 � 7 � 19. ¿Cómo se determina si la suma de rangos de las observa-
ciones de la muestra 1 es significativamente pequeña o significativamente grande? Esto 
depende de la distribución de probabilidad de la suma de rangos de una de las muestras. 
Como los rangos para n1 � n2 � N observaciones son los primeros N enteros, se puede 
demostrar que la suma de estos rangos es N(N � 1)/2. En este sencillo ejemplo, la suma de 
N � 7 rangos es 1 � 2 � 3 � 4 � 5 � 6 � 7 �7(8)/2 o sea 28. En consecuencia, si el 
experimentador conoce la suma de rangos para una de las muestras, puede hallar la otra 
por sustracción. En nuestro ejemplo, observe que la suma de rangos para la muestra 1 
es 9, en tanto que la segunda suma de rangos es (28 � 9) � 19. Esto significa que sólo una 
de las dos sumas de rangos es necesaria para la prueba. Para simplificar la tabulación de 
valores críticos para esta prueba, debe usarse la suma de rangos de la muestra más pe-
queña como estadístico de prueba. ¿Qué ocurre si dos o más observaciones son iguales? 
A observaciones empatadas se les asigna el promedio de los rangos que tendrían las 
observaciones si hubieran sido ligeramente diferentes en valor.
Para poner en práctica la prueba de la suma de rangos de Wilcoxon, supongamos que 
las muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2 se seleccionan de las poblacio-
nes 1 y 2, respectivamente. Representemos con n1 al menor de los tamaños muestrales y 
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632 ❍ CAPÍTULO 15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
con T1 representemos la suma de los rangos de las observaciones de la muestra 1. Si la 
población 1 está a la izquierda de la población 2, T1 será “pequeña”. T1 será “grande” si 
la población 1 está a la derecha de la 2.
FÓRMULAS PARA EL ESTADÍSTICO
DE LA SUMA DE RANGOS DE WILCOXON 
(PARA MUESTRAS INDEPENDIENTES)
Sean 
T1 � Suma de rangos para la primera muestra
T *1 � n1(n1 � n2 � 1) � T1
T *1 es el valor de la suma de rangos para n1 si las observaciones se hubieran orde-
nado de grande a pequeña. (No es la suma de rangos para la segunda muestra.) 
Dependiendo de la naturaleza de la hipótesis alternativa, uno de estos dos valores 
se escogerá como estadístico de prueba, T.
La tabla 7 del apéndice I se puede usar con el fin de localizar valores críticos para el esta-
dístico de prueba para cuatro valores diferentes de pruebas de una cola con a � .05, .025, 
.01 y .005. Para usar la tabla 7 para una prueba de dos colas, los valores de a se duplican, 
es decir, a � .10, .05, .02 y .01. La entrada de la tabla da el valor de a tal que P(T � a) 
� a. Con la intención de ver cómo localizar un valor crítico para la prueba de suma de 
rango de Wilcoxon, suponga que n1 � 8 y n2 � 10 para una prueba de una cola con a � 
.05. Se puede usar la tabla 7a), una parte de la cual se reproduce en la tabla 15.2. Observe 
que la tabla está construida suponiendo que n1 � n2. Es por esta razón que designamos la 
población con el tamaño muestral más pequeño como población 1. Los valores de n1 se 
muestran en sentido horizontal en la parte superior de la tabla y los de n2 se muestran en 
sentido vertical al lado izquierdo. La entrada a � 56, sombreada, es el valor crítico para 
rechazar H0. La hipótesis nula de igualdad de las dos distribuciones debe ser rechazada 
si el valor observado del estadístico de prueba T es menor o igual a 56.
PRUEBA DE LA SUMA DE RANGO DE WILCOXON
Con n1 denotemos la más pequeña de las dos muestras. Esta muestra proviene de la 
población 1. Las hipótesis a probar son
H0 : Las distribuciones para las poblaciones 1 y 2 son idénticas
versus una de las tres hipótesis alternativas:
 Parte de los valores críticos de cola izquierda al 5%, 
TABLA 15.2 
●
 tabla 7 del apéndice I
 n1
n2 2 3 4 5 6 7 8
 3 — 6
 4 — 6 11
 5 3 7 12 19
 6 3 8 13 20 28
 7 3 8 14 21 29 39
 8 4 9 15 23 31 41 51
 9 4 10 16 24 33 43 54
10 4 10 17 26 35 45 56
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Ha : Las distribuciones para las poblaciones 1 y 2 son diferentes (una prueba de 
dos colas)
Ha : La distribución para la población 1 está a la izquierda de la de la población 2 
(una prueba de cola izquierda)
Ha : La distribución para la población 1 está a la derecha de la de la población 2 
(una prueba de cola derecha)
1. Ordene todas las n1 � n2 observaciones de pequeña a grande.
2. Encuentre T1, la suma de rangos para las observaciones de la muestra 1. Éste es 
el estadístico de prueba para la prueba de cola izquierda.
3. Encuentre T *1 � n1(n1 � n2 � 1) � T1, la suma de los rangos de las observacio-
nes de la población 1 si los rangos asignados se hubieran invertido de grandes a 
pequeños. (El valor de T *1 no es la suma de los rangos de las observaciones de 
la muestra 2.) Éste es el estadístico de prueba para una prueba de cola derecha.
4. El estadístico de prueba para una prueba de dos colas es T, la mínima de T1 y T
*
1.
5. H0 es rechazada si el estadístico de prueba observado es menor o igual al valor 
crítico hallado usando la tabla 7 del apéndice I.
Ilustramos el uso de la tabla 7 con el siguiente ejemplo.
Las frecuencias de aleteo de dos especies de abejas Euglossine fueron registradas para 
una muestra de n1 � 4 Euglossa mandibularis Friese (especie 1) y n2 � 6 Euglossa 
imperialis Cockerell (especie 2).1 Las frecuencias se detallan en la tabla 15.3. ¿Puede 
usted concluir que las distribuciones de aleteo difi eren para estas dos especies? Prue-
be usando a � .05.
Solución Primero es necesario ordenar las frecuencias de pequeña a grande, como 
se observa en la tabla 15.4.
E J E M P L O 15.1
TABLA 15.3 
●
 Frecuencias de aleteo para dos especiesde abejas
Especie 1 Especie 2
 235 180
 225 169
 190 180
 188 185
 178
 182
TABLA 15.4 
●
 Frecuencias de aleteo ordenadas de pequeña a grande
Datos Especie Orden
 169 2 1
 178 2 2
 180 2 3
 180 2 4
 182 2 5
 185 2 6
 188 1 7
 190 1 8
 225 1 9
 235 1 10
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