introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-224

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646 ❍ CAPÍTULO 15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
PRUEBA DE RANGO CON SIGNO DE WILCOXON 
PARA UN EXPERIMENTO PAREADO
1. Hipótesis nula: H0 : Las dos distribuciones de frecuencia relativa poblacional son 
idénticas
2. Hipótesis alternativa: Ha : Las dos distribuciones de frecuencia relativa pobla-
cional difi eren en ubicación (una prueba de dos colas); o Ha : La distribución de 
frecuencia relativa de la población 1 se corre a la derecha de la distribución 
de frecuencia relativa para la población 2 (una prueba de una cola).
3. Estadístico de prueba
a. Para una prueba de dos colas, use T, la menor de la suma de rango para 
diferencias positivas y la suma de rango para diferencias negativas.
b. Para una prueba de una cola (detectar la hipótesis alternativa descrita líneas 
antes), use la suma de rango T – de las diferencias negativas.
4. Región de rechazo
a. Para una prueba de dos colas, rechace H0 si T � T0, donde T0 es el valor crítico 
dado en la tabla 8 del apéndice I.
b. Para una prueba de una cola (detectar la hipótesis alternativa descrita líneas 
antes), use la suma de rango T- de las diferencias negativas. Rechace H0 si 
T – � T0.
†
 �nota: Se puede demostrar que T � � T � � n(n 2
� 1)
 .�
Se realizó un experimento para comparar las densidades de pasteles elaborados de dos 
clases diferentes de mezclas de pastel, A y B. Seis charolas de pastel recibieron la masa 
A y seis recibieron la masa B. Esperando una variación en la temperatura del horno, el 
experimentador colocó un pastel A y uno B juntos en seis lugares diferentes del horno. 
Prueba la hipótesis de que no hay diferencia en las distribuciones poblacionales de den-
sidades de pastel para dos masas para pastel diferentes.
Solución Los datos (densidad en onzas por pulgada cúbica) y diferencias en densi-
dad para seis pares de pasteles se dan en la tabla 15.8. La gráfica de caja de las diferen-
cias de la figura 15.3 muestra un sesgo bastante fuerte y una diferencia muy grande en 
la cola derecha, lo cual indica que los datos pueden no satisfacer la suposición de nor-
malidad. La muestra de dos diferencias es demasiado pequeña para tomar decisiones 
válidas acerca de normalidad y varianza constante. En esta situación, la prueba de rango 
con signo de Wilcoxon puede ser la prueba más prudente a usar.
Al igual que con otras pruebas no paramétricas, la hipótesis nula a probar es que las 
dos distribuciones de frecuencia poblacionales de densidades de pastel son idénticas.
La hipótesis alternativa, que implica una prueba de dos colas, es que las distribucio-
nes son diferentes. Como la cantidad de datos es pequeña, se puede efectuar la prueba 
usando a � .10. De la tabla 8 del apéndice I, el valor crítico de T para una prueba de dos 
colas, a � .10, es T0 � 2. Por tanto, se puede rechazar H0 si T � 2.
E J E M P L O 15.5
† Para detectar un cambio de distribución 2 a la derecha de la distribución 1, use la suma de rango T � de las diferen-
cias positivas como estadístico de prueba y rechace H0 si T 
� � T0.
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Las diferencias (x1 � x2) están calculadas y ordenadas de acuerdo a sus valores abso-
lutos en la tabla 15.8. La suma de rangos positivos es T � � 2 y la suma de rangos nega-
tivos es T – � 19. El estadístico de prueba es la más pequeña de estas dos sumas de rango, 
o T � 2. Como T � 2 cae en la región de rechazo, se puede rechazar H0 y concluir que 
las dos distribuciones de frecuencia poblacional de densidades de pastel difieren.
Una salida impresa MINITAB de la prueba de rango con signo de Wilcoxon se da en 
la figura 15.4. En la sección “Mi MINITAB ”, al final de este capítulo, se encuentran ins-
trucciones para generar esta salida impresa. Se puede ver que el valor del estadístico de 
prueba concuerda con los otros cálculos y el valor p indica que se puede rechazar H0 al 
nivel de significancia de 10%.
TABLA 15.8 
●
 Densidades de seis pares de pasteles
 Diferencia
xA xB (xA � xB) Rango
.135 .129 .006 2
.102 .120 �.018 5
.098 .112 �.014 4
.141 .152 �.011 3
.131 .135 �.004 1
.144 .163 �.019 6
FIGURA 15.3
Gráfi ca de caja de 
diferencias para el ejemplo 
15.5
●
 �0.020 �0.015 �0.010 �0.005 0.000 0.005
Diferencias
FIGURA 15.4
Salida impresa MINITAB 
para el ejemplo 15.5
● Prueba de rango con signo de Wilcoxon: diferencia
Test of median = 0.000000 versus median not = 0.000000
 N for Wilcoxon Estimated
 N Test Statistic P Median
Difference 6 6 2.0 0.093 -0.01100
Aproximación normal para la prueba 
de rango con signo de Wilcoxon
Aun cuando la tabla 8 del apéndice I tiene valores críticos para n de hasta 50, T �, al igual 
que la prueba de rango con signo de Wilcoxon, estará distribuida normalmente en forma 
 15.5 LA PRUEBA DE RANGO CON SIGNO DE WILCOXON PARA UN EXPERIMENTO PAREADO ❍ 647
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648 ❍ CAPÍTULO 15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
aproximada cuando la hipótesis nula sea verdadera y n sea grande, por ejemplo 25 o 
más. Esto hace posible construir una prueba z de muestra grande, donde
E(T ) � 
n(n 
4
� 1)
 s 2T � 
n(n � 1
2
)(
4
2n � 1)
Entonces el estadístico z
z � 
T � �
s
 
T
E
�
(T �)
 � 
 
T � � n(n � 1)
 _____________ 
4
 
 ________________ 
 �
_______________
 
n(n � 1)(2n � 1)
 _______________ 
24
 
 
se puede usar como estadístico de prueba. Entonces, para una prueba de dos colas y 
a � .05, se puede rechazar la hipótesis de distribuciones poblacionales idénticas cuando 
�z� � 1.96.
PRUEBA DE MUESTRA GRANDE DE RANGO 
CON SIGNO DE WILCOXON PARA UN 
EXPERIMENTO PAREADO: n W 25
1. Hipótesis nula: H0 : Las distribuciones 1 y 2 de frecuencia relativa poblacional 
son idénticas.
2. Hipótesis alternativa: Ha : Las dos distribuciones de frecuencia relativa poblacio-
nal difi eren en ubicación (una prueba de dos colas); o bien, Ha : La distribución 
de frecuencia relativa poblacional 1 está corrida a la derecha (o izquierda) de la 
distribución de frecuencia relativa para la población 2 (una prueba de una cola).
3. Estadístico de prueba: z � 
T � � [n(n � 1)/4]
 ____________________ 
 �
___________________
 [n(n � 1)(2n � 1)/24] 
 
4. Región de rechazo: Rechazar H0 si z � za/2 o z � �za/2 para una prueba de dos 
colas. Para una prueba de una cola, pónganse todas las a en una cola de la 
distribución z. Para detectar un cambio en la distribución 1 a la derecha de 
la distribución 2, rechazar H0 cuando z � za. Para detectar un cambio en la 
dirección opuesta, rechace H0 si z � �za.
Los valores tabulados de z se dan en la tabla 3, apéndice I.
 EJERCICIOS15.5
TÉCNICAS BÁSICAS
15.21 Suponga que se desea detectar una diferencia en las 
ubicaciones de dos distribuciones poblacionales, basadas en 
un experimento de diferencia pareada de n � 30 pares.
a. Dé la hipótesis nula y alternativa para la prueba de 
rango con signo de Wilcoxon.
b. Dé el estadístico de prueba.
c. Dé la región de rechazo para la prueba para a � .05.
d. Si T � � 249, ¿cuáles son sus conclusiones? [nota: 
T � � T � � n(n � 1)/2.]
15.22 Consulte el ejercicio 15.21. Supongamos que 
se desea detectar sólo un cambio en la distribución 1 
a la derecha de la distribución 2.
a. Dé la hipótesis nula y alternativa para la prueba de 
rango con signo de Wilcoxon.
b. Dé el estadístico de prueba.
c. Dé la región de rechazo para la prueba para a � .05.
d. Si T � � 249, ¿cuáles son sus conclusiones? [nota: 
T � � T � � n(n � 1)/2.]
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	15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
	15.5 La prueba de rango con signo de Wilcoxon para un experimento pareado
	Aproximación normal para la prueba de rango con signode Wilcoxon
	Ejercicios