Problemario_ProbEstadistica-33

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ii) Igualando a cero y resolviendo encontramos el estimador máximo verosímil. 
 
0
ˆ
1
ˆ
2
1
2
=+− ∑
=
n
i
iy
n
θθ 
∴
 n
y
n
i
i
2
ˆ 1
∑
==θ 
 
Ahora sean ,1201 =y 1302 =y y 1283 =y . 
 
Sustituyendo tenemos que: 63
)3(2
128130120ˆ =++=θ 
 
b) Para calcular la esperanza y la varianza del estimador primero debemos obtener la media y la 
varianza de la f.d.p. 
Para la esperanza se tiene: ∫
∞
−=
0
/2
2
1
)( dyeyYE y θ
θ
 
 
Integrando por partes: 
∞
−−−



 −−−=
0
///2 22
1
)( θθθ θ
θ
yyy eyeeyYE ∴ θ2)( =YE 
 
Para la varianza: ∫
∞
−=
0
/3
2
2 1)( dyeyYE y θ
θ
 
∞
−−−−



 −−−−=
0
/2//2/32 663
1
)( θθθθ θθ
θ
yyyy eyeeyeyYE ∴ 22 6)( θ=YE 
 
22222 246))(()()( θθθ =−=−= YEYEYV ∴ 22)( θ=YV 
 
Finalmente tenemos que la media y la varianza del estimador están dados por: 
 
( ) ( ) ∑∑
∑
==
= ===












=
n
i
n
i
i
n
i
i
n
yE
nn
y
EE
11
1 2
2
1
2
1
2
ˆ θθθ por lo tanto ( ) θθ =ˆE 
( ) ( )∑ ∑
∑
= =
= ===












=
n
i
n
i
i
n
i
i
nn
yV
nn
y
VV
1 1
2
2
22
1
2
2
4
1
4
1
2
ˆ θθθ 
por lo tanto ( )
n
V
2
ˆ
2θθ = 
c) ( ) ( ) 0
2
limˆlimˆlim
2
===
∞→∞→∞→ n
VECM
nnn
θθθ entonces θ̂ sí es un estimador consistente para θ . 
 
 
 
98 
II) INTERVALOS DE CONFIANZA. 
 
Problema 1._ Se desea un intervalo de confianza (IC) para el promedio verdadero de pérdida de carga 
µ (watts) para cierto tipo de motor de inducción cuando la corriente de línea se mantiene en 10 Amps. 
Para una velocidad de 1500 rpm. Supón que la pérdida de carga está normalmente distribuida con 
.30=σ 
a) Calcula un IC de 95% para µ cuando 25=n y .3.58=x 
b) Calcula un IC de 95% para µ cuando 100=n y .3.58=x 
c) Calcula un IC de 99% para µ cuando 100=n y .3.58=x 
d) Calcula un IC de 82% para µ cuando 100=n y .3.58=x 
 
Solución 
 
El IC para la media de una distribución normal con varianza conocida, es de la forma: 
 





 +−
n
zx
n
zx
σσ
αα 2/2/ , 
 
a) La confianza es del 95%, es decir, 95.01 =− α por lo tanto 05.0=α y 025.02/ =α , buscando en la 
tabla de la distribución normal tenemos que 96.1025.0 =z . Sustituyendo los datos en la expresión del IC 
se tiene que: 
]06.70 ,54.46[
25
30
)96.1(3.58 ,
25
30
)96.1(3.58 =




 +− 
 
Podemos asegurar con una confianza del 95% que el promedio de pérdida de carga para cierto tipo de 
motor de inducción cuando la corriente de línea se mantiene en 10 Amps está entre 46.54 y 70.06 
watts. 
 
b) Sustituyendo en la expresión del IC se tiene que: 
]18.64 ,42.52[
100
30
)96.1(3.58 ,
100
30
)96.1(3.58 =




 +− 
 
 
c) Para una confianza de 99% tenemos que 575.2005.02/ == zzα , sustituyendo los datos para este inciso 
en la expresión del IC se tiene que: 
 
]025.66 ,575.50[
100
30
)575.2(3.58 ,
100
30
)575.2(3.58 =




 +− 
 
 
d) Para una confianza de 82% tenemos que 34.109.02/ == zzα . Entonces el intervalo de confianza es de 
la forma. 
]82.62,28.54[
100
30
)34.1(3.58 ,
100
30
)34.1(3.58 =




 +− 
 
99 
Problema 2._ Para cada una de 18 muestras de perforación de depósitos de carbonato impregnado de 
petróleo, se midió la cantidad de saturación de gas residual después de una inyección de solvente de un 
flujo de agua. Las observaciones, en porcentaje de volumen de poros, fueron: 
 
23.5 31.5 34.0 46.7 45.6 32.5 
41.4 37.2 42.5 46.9 51.5 36.4 
44.5 35.7 33.5 39.3 22.0 51.2 
 
Calcula un intervalo de confianza al 98% para el verdadero promedio de cantidad de saturación de gas 
residual. 
 
Solución 
 
Para el caso de una muestra pequeña con varianza desconocida el intervalo de confianza es de la forma: 





 −− −−
n
s
tx
n
s
tx nn 1,2/1,2/ , αα 
 
Primero calculamos la media muestral y la varianza muestral. 
 
66.38)9.695(
18
1
18
1 18
1
=== ∑
=i
ixx 
 





 −
−
= ∑
=
n
i
i xnx
n
s
1
222
1
1
 
 [ ]2)66.38(1852.1220
17
1 −=
 795.712 =s 
47.8=s 
 
La confianza del intervalo es del 98% así que 567.217,01.01,2/ ==− tt nα , sustituyendo los datos en la 
expresión para el IC tenemos que: 
 
]79.43,53.33[
18
47.8
567.2661.38,
18
47.8
567.266.38 =




 +−