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70 d) Para la esperanza de Y , primero se encuentra la f.d.p de la v.a Y y después se usa la definición de la esperanza para el caso discreto unidimensional. Función de probabilidad del número de artículos producidos por la línea II. yY = )( yYP = 0 0.25 1 0.26 2 0.25 3 0.24 Finalmente la esperanza de Y está dada por 48.1)24.0(3)25.0(226.0)()( 3 0 =++===∑ =y yYyPYE Problema 3._ La f.d.p conjunta de ),( YX está dada por 2, 1 ),( n yxf YX = para nx ,...,2 ,1= y .,,2,1 ny K= a) Verifica que la función satisface las condiciones necesarias para ser una f.d.p discreta. b) Calcula las densidades marginales X y Y . c) ¿Son independientes X y Y ? Solución a) Para que la función sea una f.d.p conjunta debe cumplir dos propiedades; la primera es que sea una función no negativa lo cual se cumple ya que 2n es un número positivo. La segunda propiedad es que la suma sobre todos los valores posibles de las variables ),( YX sea uno. ∑∑∑ == = == = == n y n y n x YX n n n nn n n n yxf 1 2 2 22 1 1 2, 1 1 )( 11 ),( b) La f.d.p marginal para X se obtiene sumando la f.d.p conjunta sobre todos los valores posibles de la v.a Y y la f.d.p marginal para Y se obtiene sumando la f.d.p conjunta sobre todos los valores posibles de la v.a X . .,...,2,1 Para 111 )( 2 1 2 nx nn n n xf n y X == ==∑ = .,...,2,1 Para 111 )( 2 1 2 ny nn n n yf n x Y == ==∑ = c) X y Y sí son independientes cuando el producto de las marginales coincide con la f.d.p conjunta. ),( 111 )()( ,2 yxfnnn yfxf YXYX == = Por lo tanto las variables aleatorias X y Y sí son independientes. 71 Problema 4._ Sea X el número de errores sintácticos, y Y el de errores lógicos, en la primera ejecución de un programa escrito en C++. Función de probabilidad conjunta de ),( YX . YX / 0 1 2 3 0 0.400 0.100 0.020 0.005 1 0.300 0.040 0.010 0.004 2 0.040 0.010 0.009 0.003 3 0.009 0.008 0.007 0.003 4 0.008 0.007 0.005 0.002 5 0.005 0.002 0.002 0.001 a) ¿Son independientes las variables X y Y ? b) Calcula )(XYE y ).( YXE + Solución a) Para averiguar la independencia de las variables aleatorias se debe verificar que para todos los valores de ambas variables se cumple que la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades, es decir: a) )()(),( yYPxXPyYxXP ===== Función de probabilidad conjunta de ),( YX . YX / 0 1 2 3 Suma 0 0.400 0.100 0.020 0.005 0.525 1 0.300 0.040 0.010 0.004 0.354 2 0.040 0.010 0.009 0.003 0.062 3 0.009 0.008 0.007 0.003 0.027 4 0.008 0.007 0.005 0.002 0.022 5 0.005 0.002 0.002 0.001 0.010 Suma 0.762 0.167 0.053 0.018 1.000 )1()0()167.0)(525.0(0.08767510.0)1,0( ====≠=== YPXPYXP Por lo tanto las variables X y Y no son independientes. b) La ∑∑ = = === 3 0 5 0 ),()( y x yYxXxyPXYE +++= )004.0)(3)(1()01.0)(2)(1()04.0)(1)(1( +++ )003.0)(3)(2()009.0)(2)(2()01.0)(1)(2( +++ )003.0)(3)(3()007.0)(2)(3()008.0)(1)(3( +++ )002.0)(3)(4()005.0)(2)(4()007.0)(1)(4( +++ )001.0)(3)(5()002.0)(2)(5()002.0)(1)(5( 376.0)( =∴ XYE 72 La ∑∑ = = ==+=+ 3 0 5 0 ),()()( y x yYxXPyxYXE = ++++++++ )005.0)(30()02.0)(20()1.0)(10()4.0)(00( ++++++++ )004.0)(31()01.0)(21()04.0)(11()3.0)(01( ++++++++ )003.0)(32()009.0)(22()01.0)(12()04.0)(02( ++++++++ )003.0)(33()007.0)(23()008.0)(13()009.0)(03( ++++++++ )002.0)(34()005.0)(24()007.0)(14()008.0)(04( ++++++++ )001.0)(35()002.0)(25()002.0)(15()005.0)(05( 024.1)( =+ YXE Problema 5._ Cuando un automóvil es detenido por una patrulla, se revisa el desgaste de cada neumático y cada faro delantero se verifica para ver si está correctamente alineado. Denotemos por X el número de faros delanteros que necesitan ajuste y por Y el numero de neumáticos defectuosos. a) Si X y Y son independientes con ,5.0)0( =Xf 1.0)1( =Xf , 4.0)2( =Xf y 6.0)0( =Yf , .1.0)1( =Yf 05.0)3()2( == YY ff , .2.0)4( =Yf Escribe la función de probabilidad conjunta de la v. a. bidimensional (X, Y) mediante una tabla. b) Calcula )1,1( ≤≤ YXP y verifica que es igual al producto )1()1( ≤≤ YPXP . c) ¿Cuál es la probabilidad de no violaciones [ ]?)0( =+ YXP Solución X: Número de faros delanteros que necesitan ajuste. Y: Número de neumáticos defectuosos. a) Primero escribimos la f.d.p marginal para cada una de las variables aleatorias X y Y . Función de probabilidad de la v.a .X Función de probabilidad de la v.a .Y 0 1 2 0.5 0.1 0.4 0 1 2 3 4 0.60 0.10 0.05 0.05 0.20 Para llenar cada una de las celdas de la f.d.p conjunta se usa el hecho de que hay independencia entre las variables, es decir ).()(),( yYPxXPyYxXP ===== Función de probabilidad conjunta de la v.a bidimensional ).,( YX X 0 1 2 )( yYP = 0 1 2 3 4 0.3 0.05 0.025 0.025 0.1 0.06 0.01 0.005 0.005 0.02 0.24 0.04 0.02 0.02 0.08 0.6 0.1 0.05 0.05 0.2 )( xXP = 0.5 0.1 0.4 1.0 X = x )( xXP = Y = y )( yYP = Y
