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b) 42.001.005.006.03.0),()1,1(
1
0
1
0
=+++====≤≤ ∑∑
= =y x
yYxXPYXP
Por otro lado tenemos que:
6.01.05.0)1()0()1( =+==+==≤ XPXPXP
7.01.06.0)1()0()1( =+==+==≤ YPYPYP
Entonces 42.0)7.0(6.0)1()1( ==≤≤ YPXP
Por lo tanto )1()1()1,1( ≤≤=≤≤ YPXPYXP
c) La probabilidad de no violaciones es 3.0)0,0()0( =====+ YXPYXP
Problema 6._ Un maestro acaba de entregar un largo artículo a una mecanógrafa y otro, un poco más
corto a otra. Sea X el número de errores de mecanografía del primer artículo y Y el número de errores
de mecanografía del segundo artículo. Supón que X tiene una distribución de Poisson con parámetro
λ y Y tiene una distribución de Poisson con parámetro µ y que X y Y son independientes.
a) ¿Cuál es la función de probabilidad conjunta para la v. a. bidimensional (X, Y)?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo sumo se cometa un error en ambos artículos combinados?
c) Obtén una expresión general para la probabilidad de que el número total de errores de los dos
artículos sea m , donde m es un entero no negativo.
Sugerencia: ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }mmmmmyxyxA ,0,1,1,...,1 ,1,0, , −−==+=
Ahora suma la f.d.p conjunta sobre )( Ax, y ∈ y utiliza el Teorema del binomio que dice
∑
=
− +=
m
k
mkmk baba
k
m
0
)( para cualquier ( )a, b .
Solución
X: Número de errores del artículo I. );( λxPX ∼
Y: Número de errores del artículo II. );( µyPY ∼ YX ⊥
a) ( )
!!!!
)()(),(,
yx
e
y
e
x
eyfxfyxf
yxyx
YXYX
µλµλ µλµλ +−−− ===
b)
)0()0()0()1()1()0( YXYXYX ffffff ++=
( ) ( ) ( )µλµλµλµλµλµλ λµλµλ +−+−+−−−−−−− ++=++= eeeeeeeee
!0
0
( )µλµλ +−++= e)1(
)0,0()0,1()1,0()1( ==+==+===≤+ YXPYXPYXPYXP
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c) Para calcular la probabilidad de que el número total de errores de los dos artículos sea m es
necesario conocer todas las combinaciones de valores para las variables X y Y , para tal propósito
resulta de gran ayuda el cuadro siguiente.
Valores de las variables que suman m .
)2()2()1()1()0()()( YXYXYX fmffmffmfmYXP −+−+==+
)()0()1()1( mffmff YXYX +−++L
∑
=
−
−−
−
==
m
i
imi
im
e
i
e
0 )!(!
µλ µλ imim
i
m
i
imi
imi
m
m
e
imi
e −
=
+−
=
−
+− ∑∑ −
=
−
= µλµλ
µλ
µλ
0
)(
0
)(
)!(!
!
!
)!(!
imi
m
i i
m
m
e −
=
+−
∑
= µλ
µλ
! 0
)(
m
m
e
)(
!
)(
µλ
µλ
+=
+−
!
)()(
m
e
mµλµλ += +−
Problema 7._ Supón que una máquina se usa para un trabajo especifico en la mañana y para otro
diferente en la tarde. X es el número de veces que la máquina falla en la mañana y Y el número de
veces que la máquina falla en la tarde. En la tabla se muestra la distribución de probabilidad conjunta.
¿Son independientes las variables aleatorias X y Y ?
Función de probabilidad conjunta ).,( YXP
Y X 0 1 2
Suma
)( yYP =
0 0.10 0.20 0.20 0.5
1 0.04 0.08 0.08 0.2
2 0.06 0.12 0.12 0.3
Suma
)( xXP = 0.20 0.40 0.40 1.00
Solución
Para que sean independientes se debe cumplir que la conjunta sea el producto de las marginales,
entonces:
)0()0()0,0( ===== YPXPYXP
)2.0(5.01.0 =
)2.0(2.004.0
)1()0()1,0(
=
===== YPXPYXP
)3.0(2.006.0
)2()0()2,0(
=
===== YPXPYXP
X Y
m
m-1
m-2
M
1
0
0
1
2
M
m-1
m
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Continuando así por columnas se tiene que:
0.4(0.5) 0.2 = 0.4(0.5)0.2 =
0.4(0.2)0.08 = 0.4(0.2)0.08 =
0.4(0.3)0.12 = 0.4(0.3)0.12 =
Por lo tanto X y Y sí son independientes.
Problema 8: La distribución conjunta para 1Y , el número de contratos asignados a la empresa A, y 2Y ,
el número de contratos asignados a la empresa B, está dado por las entradas de la tabla siguiente.
Función de probabilidad de la ( ). , 21 YY
1Y
2Y
0 1 2
Suma
0 1/9 2/9 1/9 4/9
1 2/9 2/9 0 4/9
2 1/9 0 0 1/9
Suma 4/9 4/9 1/9 1
a) Demuestra que la marginal para 1Y es
==
3
1
,2 ,1 pnybin .
b) Encuentra ( ). 21 YYE −
Solución
a) Función de probabilidad de .1Y
11 yY = ( )11 yYP =
0 4/9
1 4/9
2 1/9
La binomial con parámetros n y p está dada por ( ) 11
1
11
yny qp
y
n
yYP −
==
De la tabla se tiene que ( )
9
4
01 ==YP y de la fórmula se tiene que
=
9
4 nqp
n
0
0
con 2=n
2
9
4
q= entonces
3
2
9
4 ==q y por lo tanto
3
1=p