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CLASE #7
Métodos de integración: Integración por partes
Curso: Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
Integración por partes
En esta sección se estudiará una técnica importante de integración llamada integra-
ción por partes. Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de funciones y es
particularmente útil para integrandos que contengan productos de funciones algebraicas
y trascendentes. Por ejemplo, la integración por partes funciona bien con integrales como∫
x ln x dx,
∫
x2ex dx, y
∫
ex sen x dx,
Teorema [Integración por partes]. Si u y v son funciones de x y tienen derivadas conti-
nuas, entonces ∫
u dv = uv −
∫
v du
Observación . Esta fórmula expresa la integral original en términos de otra integral. De-
pendiendo de la elección de u y dv puede ser más fácil evaluar la segunda integral que la
original.
Como elección de u y dv es importante en la integración por el proceso de partes, se
proporcionan las pautas siguientes.
i) Intentar tomar como dv la porción más complicada del integrando que se ajuste a
una regla básica de integración y como u el factor restante del integrando.
ii) Intentar tomar como u la porción del integrando cuya derivada es una función más
simple que u, y como dv el factor restante del integrando.
iii) dv siempre incluye dx del integrando original.
Ejemplo 1. Calcular la siguiente integral
∫
xex dx
1
https://wlh.es/v2/1690385378562/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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Solución Para aplicar la integración por partes, es necesario escribir la integral en la for-
ma
∫
u dv. Hay varias maneras de hacer esto.∫
(x)︸︷︷︸
u
(ex dx)︸ ︷︷ ︸
dv
,
∫
(ex)︸︷︷︸
u
(x dx)︸ ︷︷ ︸
dv
,
∫
(1)︸︷︷︸
u
(xex dx)︸ ︷︷ ︸
dv
,
∫
(xex)︸ ︷︷ ︸
u
(dx)︸︷︷︸
dv
De acuerdocon los estrategia dada anteriormente se puede pensar en hacer la elección
de la primera opción porque la derivada de u = x es más simple que x, y dv = ex dx
es la porción más complicada del integrando que se adapta a una fórmula básica de la
integración.
Ası́,
u = x ⇒ du = dx
dv = ex dx ⇒ v =
∫
dv =
∫
ex dx = ex
Ahora, la integración por partes produce∫
u dv = uv −
∫
v du∫
xex dx = xex −
∫
ex dx
= xex − ex + C
= (x − 1)ex + C
Ejemplo 2. Calcular la siguiente integral
∫
x3ex
2
dx
Solución Note que si hacemos la sustitución w = x2, entonces dw = 2x dx. Ası́, tenemos
que ∫
x3ex
2
dx =
∫
x2xex
2
dx
=
∫
x2
1
2
(2x)ex
2
dx
=
1
2
∫
x2ex
2
(2x dx)
=
1
2
∫
wew dw
Aplicando integración por parte tenemos que
1
2
∫
wew dw =
1
2
(w − 1)ew + C
Luego, al recuperar la variable original se obtiene∫
x3ex
2
dx =
1
2
(x2 − 1)ex2 + C
=
1
2
x2ex
2 − 1
2
ex
2
+ C
2
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Ejemplo 3. Calcular la siguiente integral
∫
x2 ln x dx
Solución En este caso, x2 se integra más fácil que ln x. Además, la derivada de ln x es
más simple que ln x. Ası́,
u = ln x ⇒ du = 1
x
dx
dv = x2 dx ⇒ v =
∫
dv =
∫
x2 dx =
1
3
x3
Ahora, la integración por partes produce∫
u dv = uv −
∫
v du∫
x2 ln x dx =
1
3
x3 ln x −
∫ 1
3
x3 · 1
x
dx
=
1
3
x3 ln x − 1
3
∫
x2 dx
=
1
3
x3 ln x − 1
9
x3 + C
=
1
3
x3
(
ln x − 1
3
)
+ C
Antes de continuar con más ejemplos, es importante tener en cuenta lo siguiente: En ge-
neral, cuando decidimos escoger u y dv, usualmente tratamos de elegir u de manera que
resulte fácil de derivar (o al menos no tan complicada), y que dv sea fácil de integrar para
obtener v Para ello resulta muy útil siempre tener en cuanta el concepto de LIATE como
ayuda para escoger al elemento u en una integración por partes.
LIATE establece que orden de prioridad se debe tener a la hora de escoger a u siguien-
do la siguiente lista de funciones: logarı́tmicas, inversas, algebraicas, trigonométricas y
exponenciales.
Ejemplo 4. Calcular la siguiente integral
∫
x cos x dx
Solución Teniendo en cuenta la idea del LIATE
u = x ⇒ du = dx
dv = cos x dx ⇒ v =
∫
dv =
∫
cos x dx = sen x
Ahora, la integración por partes produce∫
u dv = uv −
∫
v du∫
x cos x dx = x sen x −
∫
sen x dx
= x sen x − (− cos x) + C
= x sen x + cos x + C
3
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∫
arctan x dx
Solución Teniendo en cuenta la idea del LIATE para aplicar la integración por partes, es
necesario escribir la integral en la forma
∫
u dvde la siguiente manera∫
(arctan x)︸ ︷︷ ︸
u
( dx)︸︷︷︸
dv
Luego,
u = arctan x = tan−1 x ⇒ du = 1
1 + x2
dx
dv = dx ⇒ v =
∫
dv =
∫
dx = x
Ahora, la integración por partes produce∫
u dv = uv −
∫
v du∫
tan−1 x dx = x tan−1 x −
∫
(x) ·
(
1
1 + x2
dx
)
∫
tan−1 x dx = x tan−1 x −
∫ x
1 + x2
dx
La integral
∫ x
1 + x2
dx se resuelve por sustitución con w = 1 + x2 y dw = 2x dx.
Ası́, ∫
tan−1 x dx = x tan−1 x −
∫ x
1 + x2
dx
= x tan−1 x − 1
2
∫ 2x
1 + x2
dx
= x tan−1 x − 1
2
∫ dw
w
= x tan−1 x − 1
2
ln w + C
= x tan−1 x − 1
2
ln(1 + x2) + C
Ejemplo 6. Calcular la siguiente integral
∫
(ln x)2 dx
Solución Teniendo en cuenta la idea del LIATE para aplicar la integración por partes, es
necesario escribir la integral en la forma
∫
u dvde la siguiente manera∫
(ln x)2︸ ︷︷ ︸
u
( dx)︸︷︷︸
dv
4
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Luego,
u = (ln x)2 ⇒ du = 2 ln x
x
dx
dv = dx ⇒ v =
∫
dv =
∫
dx = x
Ahora, la integración por partes produce∫
u dv = uv −
∫
v du∫
(ln x)2 dx = x(ln x)2 −
∫
x ·
(
2 ln x
x
dx
)
= x(ln x)2 − 2
∫
ln x dx
Ahora debemos resolver la integral
∫
ln x dx, la cual también se resuelve aplicando inte-
gración por partes
u = ln x ⇒ du = 1
x
dx
dv = dx ⇒ v =
∫
dv =
∫
dx = x
Luego, ∫
u dv = uv −
∫
v du∫
ln x dx = x ln x −
∫
x ·
(
1
x
dx
)
= x ln x −
∫
dx
= x ln x − x + C
Regresando a nuestra integral original, tenemos que∫
(ln x)2 dx = x(ln x)2 −
∫
x ·
(
2 ln x
x
dx
)
= x(ln x)2 − 2
∫
ln x dx
= x(ln x)2 − 2(x ln x − x) + C
= x(ln x)2 − 2x ln x + 2x + C
Ejemplo 7. Calcular la siguiente integral
∫
ex cos x dx
5
https://wlh.es/v2/1690385378584/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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Solución Teniendo en cuenta la idea del LIATE
u = cos x ⇒ du = − sen x dx
dv = ex dx ⇒ v =
∫
dv =
∫
ex dx = ex
Luego, ∫
u dv = uv −
∫
v du∫
ex cos x dx = ex cos x −
∫
ex(− sen x dx)
= ex cos x +
∫
ex sen x dx
La integral que obtenemos,
∫
ex sen x dx, no es más sencilla que la original, pero al menos
no es más difı́cil. Habiendo tenido éxito en el ejemplo anterior al integrar por partes dos
veces, perseveramos e integramos por partes nuevamente.
u = sen x ⇒ du = cos x dx
dv = ex dx ⇒ v =
∫
dv =
∫
ex dx = ex
Luego, ∫
ex sen x dx = ex sen x −
∫
ex cos x dx
Ahora, regresando a nuestra integral original∫
ex cos x dx = ex cos x +
∫
ex sen x dx
= ex cos x +
(
ex sen x −
∫
ex cos x dx
)
= ex cos x + ex sen x −
∫
ex cos x dx
A primera vista parece que no hemos avanzado mucho, porque hemos llegado a
∫
ex cos x dx,
que es de donde partimos.∫
ex cos x dx = ex cos x + ex sen x −
∫
ex cos x dx
Sin embargo, esto puede verse como una ecuación que se resuelve para la integral incógni-
ta. Sumando
∫
ex cos x dx a ambos lados, obtenemos∫
ex cos x dx +
∫
ex cos x dx = ex cos x + ex sen x
2
∫
ex cos x dx = ex cos x + ex sen x + C
6
https://wlh.es/v2/1690385378586/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_c3Q9UERGJm9pZD11bmRlZmluZWQmbGlkPTU5NDA4OTM4OTEmY2lkPXVuZGVmaW5lZCZzaWQ9ODYyODE1NiZ1Yj0zJnNwb25zb3JlZD11bmRlZmluZWQmc2Q9NGUxMTFmOGEtZmQ4OC00NDM0LWJlNDEtZWI2NzE4MTViMTBjJnVpZD0zODQyMjU3JnVybD1odHRwcyUzQSUyRiUyRmFkY2xpY2suZy5kb3VibGVjbGljay5uZXQlMkZwY3MlMkZjbGljayUyNTI1M0Z4YWklMjUyNTNEQUtBT2pzc0dSeFA0MDlXQ2Y1NmE3NzhfTzEyQWFvdGIxdnpJbUVaeFJsUlIzNVlzZ1I4R0ZqN0dfTmZ0aU04ODVzVmRDSGZwME5TVXZhald5SjRuaFJnUGxtZi1RY0V4MDN1YkdwZmtTNjdaakVzMFluYjBVc2FNenFvbFNFN0VDT05NR0ZzZXFUcy1tWE12ZVBNSHdfVDB6cjk3d3hVcWJPQ09YdFFzd0hnWWp1WGl3bWRKRlE1NHNaT3pYYWo2NFNLN3Y0RnpqRDZ1ZFElMjUyNTI2c2lnJTI1MjUzRENnMEFyS0pTekRwWVM3QVlCd2s5RUFFJTI1MjUyNmZic19hZWlkJTI1MjUzRCUyNTI1NUJnd19mYnNhZWlkJTI1MjU1RCUyNTI1MjZ1cmxmaXglMjUyNTNEMSUyNTI1MjZhZHVybCUyNTI1M0RodHRwcyUzQSUyRiUyRmxpbmt0ci5lZSUyRnd1b2xhaCUyNTNGdXRtX3NvdXJjZSUyNTNEd3VvbGFoJTI1MjZ1dG1fbWVkaXVtJTI1M0RhcHVudGVzJTI1MjZ1dG1fY2FtcGFpZ24lMjUzRGZvb3RlciUyNnQlM0RiZDg4NjIyNy04NDg3LTQ3ZmItYTcyNS1jNDVlZDg4ZjA3YTE
Por lo tanto, ∫
ex cos x dx =
1
2
ex (cos x + sen x) + C
Observación . La forma en la que se aplica la integración por parte es muy importante
ya que por ejemplo ∫
ex cos x dx = ex cos x +
∫
ex sen x dx
si la integral resultante la integramos intercambiando el orden con el que habı́amos em-
pezado, entonces tenemos que
u = ex ⇒ du = ex dx
dv = sen x dx ⇒ v =
∫
dv =
∫
sen x dx = − cos x
Se sigue ∫
exsenx dx = −ex cos x +
∫
ex cos x dx
Reemplazando en la ecuación original∫
ex cos x dx = ex cos x +
∫
ex sen x dx
= ex cos x +
(
−ex cos x +
∫
ex cos x dx
)
= ���
��ex cos x −�����ex cos x +
∫
ex cos x dx
=
∫
ex cos x dx
Lo cual por supuesto es correcto, pero no conduce a ninguna parte, es decir, no se dá una
solución al ejercicio.
Integración por partes para integrales definidas
∫ b
a
udv = uv]ba −
∫ b
a
vdu
Ejemplo 8. Calcular la siguiente integral
∫ 1
0
arcsin x dx
Solución Primero resolveremos la integral indefinida
∫
arcsin x dx
u = sen−1 x ⇒ du = 1√
1 − x2
dx
dv = dx ⇒ v =
∫
dv =
∫
dx = x
7
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sen−1 x dx = x sen−1 x −
∫ x√
1 − x2
dx
= x sen−1 x +
1
2
∫ 1√
u
dx donde u = 1 − x2
= x sen−1 x +
√
u dx + C
= x sen−1 x +
√
1 − x2 + C
Ası́, ∫ b
a
udv = uv]ba −
∫ b
a
vdu∫ 1
0
sen−1 x dx =
[
x sen−1 x +
√
1 − x2
]x=1
x=0
=
π
2
− 1
Ejemplo 9. Calcular las siguientes integrales
1.
∫
x sen x dx
2.
∫
t2et dt
3.
∫
ex sen x dx
4.
∫ 1
0
tan−1 x dx
Solución Ver Stewart, 7ma ed páginas 464 a la 467. .
Ejemplo 7. Demostrar que∫
senn x dx = − 1
n
cos x senn−1 x +
n − 1
n
∫
senn−2 x dx
donde n ≥ 2 es un número entero.
Solución Ver Stewart, 7ma ed páginas 467 a la 468. .
8
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Ejercicios . Para practicar
Calcular las siguientes integrales
1.
∫
xe3x dx
2.
∫
x cos(2x) dx
3.
∫
x sec x tan x dx
4.
∫
x3x dx
5.
∫
ln(5x) dx
6.
∫
x sec( x) dx
7.
∫
x tan−1 dx
8.
∫
ln(1 + x2) dx
9.
∫ xex
(x + 1)2
dx
10.
∫
x2 sen(3x) dx
11.
∫
sen(ln x) dx
12.
∫
sen x ln(cos x) dx
13.
∫
x5ex
2
dx
14.
∫ x5dx√
1 − x2
15.
∫ sen(2x)
ex
dx
16.
∫
x2 senh x dx
17.
∫ cot−1(√x)√
x
dx
18.
∫
cos−1(2x) dx
19.
∫
tan−1(
√
x) dx
20.
∫
cos(
√
x) dx
21.
∫
xe−2x dx
22.
∫ 2x
ex
dx
23.
∫ xe2x
(2x + 1)2
dx
24.
∫ x√
5 + 4x
dx
25.
∫
x
√
x − 5 dx
Evaluar la integral definida
1.
∫ 3
0
xex/2 dx
2.
∫ 1/2
0
cos−1 x dx
3.
∫ 1/1
0
x sen−1 x2 dx
4.
∫ 2
0
e−x cos x dx
5.
∫ 2
1
√
x ln x dx
6.
∫ 1
0
ln(4 + x2) dx
9
https://wlh.es/v2/1690385378605/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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Referencias
[1] Larson, R., and Edwards, B. H. (2010). Cálculo I de una variable (9.a ed., Vol. 1).
McGraw-Hill Education.
[2] Leithold, L. (1995).El cálculo (7.a ed., Vol. 1). Harpercollins College Division.
[3] Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7.a ed., Vol. 1). Cengage Learning Editores.
10
https://wlh.es/v2/1690385378607/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_c3Q9UERGJm9pZD11bmRlZmluZWQmbGlkPTU5NDA4OTM4OTEmY2lkPXVuZGVmaW5lZCZzaWQ9ODYyODE1NiZ1Yj0zJnNwb25zb3JlZD11bmRlZmluZWQmc2Q9NGUxMTFmOGEtZmQ4OC00NDM0LWJlNDEtZWI2NzE4MTViMTBjJnVpZD0zODQyMjU3JnVybD1odHRwcyUzQSUyRiUyRmFkY2xpY2suZy5kb3VibGVjbGljay5uZXQlMkZwY3MlMkZjbGljayUyNTI1M0Z4YWklMjUyNTNEQUtBT2pzc0dSeFA0MDlXQ2Y1NmE3NzhfTzEyQWFvdGIxdnpJbUVaeFJsUlIzNVlzZ1I4R0ZqN0dfTmZ0aU04ODVzVmRDSGZwME5TVXZhald5SjRuaFJnUGxtZi1RY0V4MDN1YkdwZmtTNjdaakVzMFluYjBVc2FNenFvbFNFN0VDT05NR0ZzZXFUcy1tWE12ZVBNSHdfVDB6cjk3d3hVcWJPQ09YdFFzd0hnWWp1WGl3bWRKRlE1NHNaT3pYYWo2NFNLN3Y0RnpqRDZ1ZFElMjUyNTI2c2lnJTI1MjUzRENnMEFyS0pTekRwWVM3QVlCd2s5RUFFJTI1MjUyNmZic19hZWlkJTI1MjUzRCUyNTI1NUJnd19mYnNhZWlkJTI1MjU1RCUyNTI1MjZ1cmxmaXglMjUyNTNEMSUyNTI1MjZhZHVybCUyNTI1M0RodHRwcyUzQSUyRiUyRmxpbmt0ci5lZSUyRnd1b2xhaCUyNTNGdXRtX3NvdXJjZSUyNTNEd3VvbGFoJTI1MjZ1dG1fbWVkaXVtJTI1M0RhcHVudGVzJTI1MjZ1dG1fY2FtcGFpZ24lMjUzRGZvb3RlciUyNnQlM0QxYjIwNzI2Yi05N2Q4LTQ3YzgtOGUxNy02OGVhYWFiNWFiOWM