Análisis Matemático I

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Funciones 
Prof. Esp. Ing. I. Demaldé 
Prof. Lic. M. Lastra 
Prof. Lic. A. Nieto 
2022 
Una función es una regla de correspondencia 
entre dos conjuntos de tal manera que a cada 
elemento del primer conjunto le corresponde 
uno y sólo un elemento del segundo conjunto. 
 
 
 
 
El primer conjunto D se llama Dominio y el 
segundo conjunto Y se llama Rango o Imagen 
Una función de un conjunto D a un conjunto Y es 
una regla que asigna un elemento único ƒ(x) e Y 
a cada elemento x e D. 
Una función f se puede pensar como una especie 
de máquina que produce un valor ƒ(x) en su 
rango siempre que la “alimentemos” con un valor 
de entrada x de su dominio 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una función también puede ilustrarse 
como un diagrama de flechas. Cada 
flecha asocia un elemento del dominio D 
con un único elemento del conjunto Y. 
Las flechas indican que ƒ(a) está asociada 
con a, ƒ(x) está asociada con x, y así 
sucesivamente 
 
 
 
 
Cuando se define una función y el dominio no se 
da explícitamente o está restringido por el 
contexto, suponemos que el Conjunto de valores 
reales de x que nos devuelve un valor real de Y 
es el máximo, y se llama dominio natural. 
Si se quiere restringir el dominio se debe 
especificar, caso contrario es todo el conjunto de 
números reales 
 
 
 
 
Para restringir el dominio de una función, se 
cambia el dominio donde aplicamos la fórmula, y 
por lo general también cambia el rango. 
Los dominios y rangos de muchas funciones 
reales de una variable real son intervalos o 
uniones de intervalos. 
Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados o 
semiabiertos, y finitos o infinito 
 
 
 
Ejemplos 
 
 
 
Otra manera de visualizar una función es a 
través de una gráfica. 
Si f es una función con dominio D, su gráfica 
consiste en el conjunto de todos los puntos en 
el plano cartesiano cuyas coordenadas son los 
pares (ordenados). 
La gráfica de la función es el conjunto de todos 
los puntos en el plano cartesiano con 
coordenadas (x, y) 
La gráfica es un representación visual de su 
comportamiento 
 
 
 
 
Representación numérica de una función 
mediante una tabla de valores. 
La gráfica que se obtiene empleando 
únicamente los puntos determinados en una 
tabla se conoce como diagrama de 
dispersión 
 
 
 
Datos númericos 
 
 
 
Representación numérica de una función 
 
 
 
Para que una relación se considere una 
función, se deben cumplir dos condiciones 
elementales 
Unicidad 
Existencia 
Unicidad: Ningún elemento del conjunto 
de salida puede estar relacionado con 
dos elementos del conjunto de entrada, 
es decir, si se calcula el valor f(x) para 
un mismo x, el resultado debe único. 
También conocido como la prueba de la 
recta vertical, en el ejemplo no 
constituye una función 
 
Existencia, en la figura se puede observar que la 
gráfica de la función no está definida para todo 
el conjunto de números reales 
 
Para que cumpla con la existencia, se debe 
restringir el dominio 
 
 
Para que cumpla con la existencia, se debe 
restringir el dominio, la función no tiene valores 
para ׀x1<׀ 
D ={ x/x e R ∧ ׀x1<׀} 
 
 
 
 
 
Indicar dominio e imagen de las siguientes 
funciones 
a. f(x)= 2 x + 3 
b. y = (x-1)/x 
c. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 
d. 𝑓 𝑥 = −5𝑥
3
 
 
 
 
Indicar si la siguiente gráfica corresponde a 
una función 
 
 
 
 
Indicar si la siguiente gráfica corresponde a 
una función 
 
 
 
 
Indicar si la siguiente gráfica corresponde a 
una función