Polinomios

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Teoría y Práctica de Polinomios 
 
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A2
Teoría 
Elementos de un Término Algebraico 
T(x; y) = 3 x y 
Donde: 
Variables: x , y 
Coeficiente: 3 
Bases: x, y 
Exponentes: 2, 3 
No olvidar que en este ejemplo, las variables son "x" 
e "y", por ello si apareciera "z", esta no sería una 
variable, sería una constante. 
 
Monomio 
Expresión algebraica racional entera, la cual consta 
de un sólo término; y teniendo en cuenta que los 
exponentes de sus variables son números enteros 
mayores o iguales a cero. 
Ejemplo: M(x;y)=−9 
 
Grado Absoluto de un Monomio 
Es la suma de los exponentes de sus variables, por 
ejemplo: 
( , ) = 3 
Tiene G.A. = 2+3 = 5 
 
 
 
Grado Relativo de un Monomio 
Es el grado que tiene cada una de las variables, por 
ejemplo: 
( , ) = −2 
Tiene G.R. (x) = 3 
Tiene G.R. (z) = 4 
 
Polinomio 
Expresión algebraica racional entera, la cual consta 
de 2 o más términos; y teniendo en cuenta que los 
exponentes de sus variables son números enteros 
mayores o iguales a cero. 
Ejemplo: P(x; y) = 2x + 3xy + 4y 
 
Grado Absoluto de Polinomio 
Es el mayor grado absoluto que tiene uno de sus 
términos, por ejemplo: 
( , ) = 2 + 2 − 3 
Entonces, G.A. = 7 
 
Grado Relativo de Polinomio 
Se calcula por cada variable, y es el mayor 
exponente que tiene dicha variable en el polinomio, 
por ejemplo: 
( , ) = 2 + 2 − 3 
G.R.(x) = 4 | G.R.(y) = 4 
Polinomio Ordenado 
Es el polinomio que presenta los exponentes de una 
determinada variable, colocados en valores 
crecientes o decrecientes; por ejemplo: 
( ) = 3 + 2 − 2 ; 
Es un polinomio ordenado respecto a "x". 
 
Polinomio Completo 
Es el polinomio que presenta los exponentes de una 
variable desde la mayor potencia hasta el cero; 
(este último es el término independiente), sin tomar 
en cuenta el orden. 
( ) = 4 + 3 + 2 − 2 
P(x) es un polinomio completo. 
 
Polinomio Homogéneo 
Es aquél que se caracteriza porque todos sus 
términos presentan el mismo grado absoluto, por 
ejemplo: 
( ; ) = 2 − 3 − 5 
Podemos ver que todos los términos tienen grado 8.
 
Polinomios Idénticos 
Dos o más polinomios son idénticos cuando tienen 
los mismos coeficientes para términos semejantes; 
por ello tienen el mismo valor numérico para 
cualquier valor que se le asigne a sus variables, por 
ejemplo: 
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A2
( ) = 3 + 2 − 4 ; ( ) = + + 
Sabiendo que Q(x) y P(x) son idénticos, entonces: 
a=4 | b=2 | c= - 4 
 
Polinomio Idénticamente Nulo 
Es aquel que se caracteriza porque sus coeficientes 
son cero, por ello, para cualquier valor de sus 
variables, el valor del polinomio es cero, por 
ejemplo: 
( ) = + + 
Sabiendo que Q(x) es idénticamente nulo, entonces 
a=b=c=0. 
 
Ejercicios 
 
1. Hallar (a + b)(ab), sabiendo que el polinomio: 
822 215);( yxyxyxyxP baabbbaba   es 
homogéneo. 
2. Hallar el valor de n , para que el grado de : 
(2 ) sea 18. 
3. Hallar el grado absoluto de la siguiente 
expresión:   nnnnnn xxxxxx 354433 26  
4. Determinar el valor de “n” de modo que el 
monomio sea de primer grado. 
( ) = .√
√
 
5. Hallar el grado del siguiente polinomio: 
  2223)( yxxyxP  . 
6. Hallar el valor de “a” para que el siguiente 
polinomio sea de grado 9. 
221 543)( xyxxxP aaa   
7. Sabiendo que ( ) = ; calcular 
P(P(x)). 
8. Si el grado de la expresión reducida 
equivalente a: ( ) = .√ , es uno; 
entonces hallar el grado de: 
( ) = + + + … . .
"n" é
 
9. Si ( ) = − + 1 , entonces hallar el valor 
de: (1 − ) − (1 + ) 
10. Si ( ) = − 1 ; ( + 2) = + + ; 
calcular entonces a.b 
11. Si el siguiente polinomio es idénticamente 
nulo, hallar el valor de a+b+c+d. 
  2)(2)( 22  ddcxbxxxbxaxxxP
12. ¿Si un polinomio está función de una sola 
variable y es de grado 25; cuál es el máximo 
número de términos que puede tener, sabiendo 
que este polinomio no está ordenado? 
13. Calcular la suma de coeficientes del 
polinomio P(x), sabiendo que es homogéneo. 
bannn yxybxyaxyxP   25172327
225
),( 
14. Hallar el término independiente del 
polinomio del ejercicio anterior. 
15. Hallar m+n, sabiendo que: 
)4()3(516 xnxmx  
16. Si el polinomio 
  13126,   nmnm yxyxyxP es homogéneo 
el grado relativo de “x” es el triple de su menor 
exponente. Hallar el grado relativo de “y”. 
17. Si se cumple la siguiente identidad: 
   31302  xnxmx , hallar los valores 
de “m” y “n”.