Resumen (Seminara)

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Número a    de 
estados y densidad 
de estados g(k) 
 3
V
dV dp integrando en una porción                          determinada del espacio de las fasesh

 a   
k
0
g(k)dk a  ,     donde  dg(k) dk a   
ó  
0
g( )d

   a  ,      donde  d dk dkg( ) g(k)dk d d   a  
Siendo   la degeneración correspondiente 
Distribución de 
estados ocupados 
( )/KT
a 1 si son FERMIONES   1
n( )       con  a 1 si son BOSONES    
e a a 0  si son part. clasicas

    
 
Número total de 
partículas del 
sistema  0
N n( ).g( )d

      
Energía del 
sistema 
Fermiónico o 
bosónico 
0
.n( ).g( )d

        
A partir de este cálculo de la energía, se puede calcular el Cv del 
sistema, mediante la ecuación: 
vC
T



 
Densidad de 
estados (forma 
más general) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3D  

2
2
Vk
g(k)
2
 
2D  

Ak
g(k)
2
 
1D  

L
g(k)  
Densidad de 
estados para  
bosones masivos y 
fermiones 
en función de e 
 
3D    
 
3/2
1/2
2 3
V(2m)
g( )
4
 
2D  2
mA
g( )
2
 

 
1D 
1/2
1/2L mg( )
2
      
 
Ecuación de 
Estado de un gas 
ideal cuántico 
 
 
Para bosones masivos 
y fermiones 

2
PV E
3
 
Para bosones no masivos  
1
PV E
3
 
Parámetro de 
degeneración 
El límite clásico se caracteriza por:   /KTe 1    ó     3T
V
N
 
El término           
3/2
3 3
T T
N h
.n n.
V 2m KT
 es llamado parámetro 
de degeneración. 
Cuando  1 , estamos en el límite clásico. Entonces, para 
densidades muy chicas, ó temperaturas muy altas, ó masas muy 
grandes, estamos en el límite clásico. 
 
Ecuación de 
estado de un gas 
ideal débilmente 
degenerado 
(ligeramente 
cuántico) 
             
    
3
T
5/2 5/2
N
PV NKT 1 PV NKT 1
V2 2
 
Energía de Fermi       
2/32
F
h 3n
2m 4
 
Energía cinética 
promedio 
por partícula a T=0 
F
3
N 5

 
 
Temperatura de 
Fermi 
La temperatura de Fermi sirve como medida de cuán cuántico o 
clásico es mi sistema. Cuando TF es muy grande, entonces, para la 
temperatura ambiente e incluso más altas, prácticamente no se 
podrán excitar fermiones puesto que los que son factibles de 
excitarse son la fracción T/TF. Es decir que el sistema está casi 
totalmente en el límite degenerado y se debe, por consiguiente, 
aplicar la estadística cuántica. 
2/32
F
F F
h 3n
T T
k 2mk 4
         
Estimación del Cv 
de un gas de 
fermiones 
degenerado 
Como estamos en la región degenerada    T 0 
 
 
Los únicos fermiones afectados por un cambio de T son los que 
ocupan estados cercanos a eF. 
v
(T) (T 0)
C
T T T 0 T
      
   
  
 
El número de electrones que se excitan es: 
(NTOTAL) X (fracción de electrones excitados)=
F F
TkT
N N
kT T
  
Pero, los electrones que se excitan, adquieren una energía 
F
v
F
T
KT    N KT
T
T K T
C N
T T
  

 

T
v
F
T
 C NK
T
 
 
 
 
Temperatura de 
Bose 
2/32
B
h n
T
2 mk 2,6
       
Densidad de 
ocupación máxima 
de los niveles 
excitados 
Para los bosones, existe un valor máximo para la densidad de 
ocupación de los niveles excitados  
ex 3
T
2,612
n 
  
Cv de un gas de 
bosones a T<<TB 
3/2 3/2
2 3 /KT
0 0
3/2 5/2 3/2
5/2 5/2
3/22 3 x 2 3
0
3/2
B
V(2m)
.n( ).g( )d d
4 e 1
Haciendo la sustitución x= KT ,  resulta:
V(2m) x V(2m)
(KT) dx (KT) I
4 e 1 4
T
Cv     Cv 1,92KN
T T
 



       
 

  
  
  
      
 


 
 
Fotones  
(bosón sin masa) 
ρ(ω)= densidad de energía por unidad de volumen y de frecuencia 
c
Emisividad   I( ) ( )
4
    
 
 
4I( ) T      Ley de Stefan‐Boltzmann  
 3
B
A
I( )     Ley de Wien
e 

  
 
2 2
2 2 3
Vk V
g(k)  y como  =c k   g( )
2 2 c
2

    
 
 


2
/KT
degeneración
por  la polarización
del fotón
1 V
. .
e 1 2




3
2 3 /KT2 3
0 0 ( )
3
2 3 /KT
3
2 2 /KT
3
2 2 /KT
3 3
2 2 /KT 2 2 /KT
0 0
d     . d
V c e 1c
  ( )= .
c e 1
c
I( ) ( ) .  
4 4 c e 1
 Si  1   I( ) .    Ley de Wien
KT 4 c e
I= I( )d . d d
4 c e 1 4 c e 1
 

 



 
 
 
   
 

  
 

    
 
 
   

 
   
   
 
 




 




 
 
4
0
4 3
2 2 x
0 /15
4 4 4 4
4 4
2 2 3 2 2
KT x
d
4 c e 1
KT k
I    I T T  Ley de Boltzmann
4 c 15 60 c





     
          

  

 
 
Potencial químico 
Para bosones a bajas temperaturas 
KT
N
  
 
El potencial químico en este caso tiene un límite superior, como 
máximo puede igualarse a cero (siempre es negativo) 
Para fermiones 
A T=0 el potencial químico toma su valor máximo μ=εF y para 
temperaturas mayores, disminuye. 
 
 
 
Temperatura de 
Debye
  
La temperatura de Debye es un parámetro que nos provee un 
indicador de la temperatura a la cual podemos utilizar el enfoque 
clásico (Dulong‐Petit)  
max
DT
k



 
Cv de un sólido con 
el modelo de 
Debye 
El calor específico de un sólido se explica utilizando el modelo de 
Debye.  En el mismo, se piensa que los átomos que componen el 
material están unidos por resortes de constante elástica k. En este 
caso, la relación de dispersión 
es  k    y 
2
2 3
V
g( )
2

 
 
 
max
2
/KT 2 3
0 0
1 V
.n( ).g( )d 3 . . d
e 1 2



        
      
Haciendo la sustitución  x
KT



, se llega a: 
DT /T
3
4
2 3 3 x
0
3 V x
(KT) dx
2 e 1
 
    
Donde La integral se estudia a T bajas y a T altas: 
A T altas: 
x
x
4 3
D
2 3 3
Si  T    x 0   e 1 x
 e 1 1 x 1 x
Vk T
  = T 3NKT    Cv=3NK   Dulong ‐ Petit
2
      
      
    
 



 
A T bajas:
3 4
x
0
34 4
4 4 4 4
2 3 3
D D
x
Si  T 0   x     dx
e 1 15
T3Vk 3 NK 12
= (KT) T     Cv= NK  
2 15 5 T 5 T


    

  
          


 
 
 
 
 
 
 
 
Pero CUIDADO! En el caso de los metales, los átomos forman una 
red que se representa como un gas de bosones 
(fonones) y los electrones de conducción son un gas de fermiones 
metal electrones Fonones 3
v v v
Gasde  de Fermi Debye
 C = C +C cte.T cte.T     
 
Param
d
 
magnetismo
de Pauli 
o 
La ecuac
Curie: 
H
M C
T
  
tempera
Pero exi
Todos lo
indepen
conocido
campo m
magnéti
antipara
 
 
 
 
 
Puesto q
es difere
paralelo
paralelo
BH , m
aumenta
antipara
ocupació
electron
total, so
La susce
ción de estad
    donde C=
aturas) 
ste otro tipo
os metales e
ndiente de la
o como Para
magnético a 
icos de los e
alela a la dire
que la energ
ente, esto co
o y antiparale
o a la direcció
mientras que
arán su ener
alelos puede
ón de estado
nes que pued
on los que es
eptibilidad de
do del param
=constante d
o de parama
xhiben un p
a temperatu
amagnetism
un metal, la
lectrones es
ección del ca
gía del electr
onduce a la d
elo. Los elec
ón del camp
e aquellos co
rgía en  BH .
en reducir la 
os paralelos 
de cambiar s
stán a  BH  d
e Pauli es pr
magneto ide
de Curie (Vál
agnetismo!
aramagnetis
ura. Este tipo
o de  Pauli. C
a orientación
stá restringid
ampo.
 
rón, en cada
división de lo
trones con m
po aplicado r
on orientació
. Algunos de
energía del 
de menor e
su orientació
de la  F , en a
roporcional a
eal es la llam
lida para alta
smo débil qu
o de magnet
Cuando se a
n de los mom
da a ser para
una de las o
os estados d
momento m
reducen su e
ón antiparale
e estos electr
sistema me
energía. El nú
ón y reducir 
ausencia de 
a T/TF
ada Ley de 
as 
ue es 
tismo es 
aplica un 
mentos 
alela o 
orientacione
de energía 
magnético m
energía en  
ela 
rones 
diante la 
úmero de 
la energía 
campo.   
es,