P_sem02_ ses06_intervalo de confianza diferencia medias

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SESIÓN 6
Estadística Inferencial
SUMARIO
1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE
MEDIAS CON VARIANZA CONOCIDA Y DESCONOCIDA.
LOGRO
EL ALUMNO CONOCE LOS PRICIPALES CONCEPTOS Y CALCULOS
REFERENTES A INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE
MEDIAS CON VARIANZA CONOCIDA Y DESCONOCIDA.
1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE 
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL 
CONOCIDA
Si ത𝑋1 − ത𝑋2 son las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaño 𝑛1 − 𝑛2 , 
tomadas de poblaciones que tiene varianzas conocidas 𝜎1
2, 𝜎2
2, respectivamente, entonces 
el intervalo de confianza para 𝜇1 − 𝜇2 es:
𝐼𝐶(𝜇1 − 𝜇2)= ത𝑋1 − ത𝑋2 ± 𝑍 1−𝛼
2
⋅
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒:
( ത𝑋1− ത𝑋2) − 𝑍 1−𝛼
2
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ ( ത𝑋1− ത𝑋2) + 𝑍 1−𝛼
2
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎2
2
𝑛2
1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE 
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL 
CONOCIDA
2. MUESTRAS PEQUEÑAS (n1 < 30, n2 < 30)
VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS: σ21, σ
2
2
POBLACIONES NORMALES
1. MUESTRAS GRANDES (n1 > 30, n2 > 30).
VARIANZAS POBLACIONALES CONOCIDAS: σ21, σ
2
2
POBLACIONES NORMALES O NO.
Usamos Z:
NC: 
𝟏 − 𝜶
𝒁
𝟏−
𝜶
𝟐
90% 𝑍0.95 =1.645
95% 𝑍0.975 =1.96
98% 𝑍0.99=2.33
99% 𝑍0.995 =2.578
Compruébalo usando tu tabla Z!!
Valores tabla Z aproximados
Para nivel de confianza (NC)
1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE 
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL 
CONOCIDA
Si IC=(+,+), P(+ <1 - 2 < +)=1-α
Si IC=(-,-), P(- < 1 - 2 < - )=1-α
Si IC=(-,+), P(- < 1 - 2 < +)=1-α
A > B
A < B
A = B (Las medias de 1 - 2 son iguales)
Interpretaciones adicionales según los intervalos obtenidos 
1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE 
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL 
CONOCIDA
En un estudio para determinar el gasto medio mensual en
arbitrios en las ciudades A y B con desviaciones estándar de 15
y 10 soles respectivamente. Se toma una muestra al azar de 200
hogares de A arrojando un gasto medio de S/. Una muestra al
azar de 180 hogares de la ciudad B da una gasto medio de 235.
a) Determine un intervalo de confianza del 99 % para la
diferencia del gasto medio en las ciudades A y B.
b) ¿Es diferente el gasto medio mensual en arbitrios en las
ciudades A y B?
VARIANZA CONOCIDA
1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE 
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL 
CONOCIDA
Datos población
𝑁𝐶 = 1 − 𝛼 = 0.99
𝛼 = 0.01
Datos Muestra
𝑍
1−
0.05
2
→ 𝑍 0.995 =2.58
𝑋𝑖:Gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades…
1. A
𝑛1 = 200
ത𝑋1 = 250
2. B
𝑛2 = 180
ത𝑋2 = 235
IC 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 = 𝟐𝟓𝟎 − 𝟐𝟑𝟓 ± 2.578 ∙
152
200
+
102
180
⋅
11.66 ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ 18.34
Con el 99% de confianza, la diferencia del gasto medio mensual 
en arbitrios en las ciudades A y B se encuentra entre S/. 11.66 y 18.34. 
IC 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 = (ഥ𝑿𝟏−ഥ𝑿𝟐) ± 𝑍 1−𝛼2
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
Solución a:
1. A
𝜎1 = 15
2. B
𝜎2 = 10
1. INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE 
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL 
CONOCIDA
Responder a la pregunta ¿Es diferente el gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B? 
implica responder si ¿ A ≠ B? o también ¿A - B ≠ 0? Si apreciamos el intervalo de confianza 
construido no puede ser cero.
𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 no puede ser cero, es decir, el gasto medio mensual en arbitrios 
en ambas ciudades es diferente. 
11.66 ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ 18.34
Si IC=(+,+), P(+ <1 - 1 < +)=1-α A > B
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE 
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL 
DESCONOCIDA
 Muestras pequeñas (n1 < 30, n2 < 30)
 Varianzas poblacionales desconocidas e iguales. (1
2 =2
2)
 Poblaciones normales
Cuya distribución es la de t-Student con (𝑔𝑙 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2)
( ത𝑋1− ത𝑋2) − 𝑇 1−𝛼2, 𝑔𝑙
𝑆𝑃
2 1
𝑛1
+
1
𝑛2
≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ ( ത𝑋1− ത𝑋2) + 𝑇 1−𝛼2,𝑔𝑙
𝑆𝑃
2 1
𝑛1
+
1
𝑛2
𝑆𝑃
2 =
𝑛1 − 1 𝑆1
2 + (𝑛2 − 1)𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
Caso 1:
VARIANZA DESCONOCIDA
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE 
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL 
DESCONOCIDA
PROBLEMA 1:
En un proceso químico, se comparan dos catalizadores para
verificar su efecto en el resultado de la reacción del proceso. Se
preparó una muestra de 12 procesos utilizando el catalizador 1
y una de 10 con el catalizador 2, en el primer caso se obtuvo un
rendimiento promedio de 85 con una desviación estándar
muestral de 4, mientras que el promedio para la segunda
muestra fue 81 y la desviación estándar muestral de 5.
Encuentre un intervalo de confianza del 90% para la diferencia
entre las medias poblacionales, suponiendo que las
poblaciones están distribuidas aproximadamente en forma
normal, con varianzas iguales.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE 
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL 
DESCONOCIDA
SOLUCIÓN:
Datos del problema:
Población
Datos Muestra
1. Catalizador 1
𝑛1 = 12
ത𝑋1=85
𝑆1 = 4
2. Catalizador 2
𝑛2 = 10
ത𝑋2=81
𝑆2 = 5
1. Catalizador 1
σ1
2: Desconoc.
2. Catalizador 2
σ2
2: Desconoc.
𝑆𝑃
2 =
42(12 − 1) + 52(10 − 1)
12 + 10 − 2
= 20.05
𝑇
1−
𝛼
2, 𝑔𝑙
= 𝑇 0.95, 20 = 1.725
𝑔𝑙 = 12 + 10 − 2 = 20
Confianza: 1 − 𝛼 = 0.90 → 𝛼 = 0.10
Reemplazando en la Fórmula:
𝑆𝑃
2 =
𝑛1 − 1 𝑆1
2 + (𝑛2 − 1)𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
σ1
2= σ2
2
VARIANZA DESCONOCIDA
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE 
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL 
DESCONOCIDA
85 − 81 − 1.725 20.05
1
12
+
1
10
< 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 < 85 − 81 + 1.725 20.05
1
12
+
1
10
0.69 < 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 < 7.31
( ത𝑋1− ത𝑋2) − 𝑇 1−𝛼2, 𝑔𝑙
𝑆𝑃
2 1
𝑛1
+
1
𝑛2
≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ ( ത𝑋1− ത𝑋2) + 𝑇 1−𝛼2,𝑔𝑙
𝑆𝑃
2 1
𝑛1
+
1
𝑛2
Interpretación:
Con un nivel de confianza del 90% la diferencia de medias del rendimiento del catalizador 
1 y 2 está comprendido de 0.69 a 7.31 , nota: tienen un rendimiento diferente
Reemplazando en la Fórmula:
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE 
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL 
DESCONOCIDA
Muestras pequeñas (n1 < 30, n2 < 30).
 Varianzas poblacionales desconocidas y diferentes. (1
2 ≠ 2
2)
 Poblaciones normales
Caso 2:
( ത𝑋1− ത𝑋2) − 𝑇 1−𝛼2,𝑉
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ ( ത𝑋1− ത𝑋2) + 𝑇 1−𝛼2,𝑉
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
Donde 𝑇
1−
𝛼
2
es el valor de T con V grados de libertad. 𝑉 =
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
2
𝑠12
𝑛1
2
𝑛1 − 1
+
𝑆2
2
𝑛2
2
𝑛2 − 1
VARIANZA DESCONOCIDA
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE 
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL 
DESCONOCIDA
PROBLEMA 2:
Se registraron los siguientes datos en días, que representan los
tiempos de recuperación de pacientes tratados aleatoriamente con
dos medicamentos para aliviarlos de graves infecciones en la vesícula:
Medicamento 1 Medicamento 2
𝑛1 = 14
ത𝑋1=17
𝑆1
2 = 1.5
𝑛2 = 14
ത𝑋2=19
𝑆2
2 = 1.8
Encuentre un intervalo de confianza del 99% para la diferencia µ1-µ2 en el tiempo
promedio de recuperación para los medicamentos, suponiendo poblaciones normales
con varianzas diferentes.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE 
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL 
DESCONOCIDA
Población
Datos Muestra
1. Medicam 1
𝑛1 = 14
ത𝑋1=17
𝑆1
2 = 1.5
2. Medicam 2
𝑛2 = 14
ത𝑋2=19
𝑆2
2 = 1.8
1. Medicam. 1
σ1
2: Desconoc.
2. Medicam 2
σ2
2: Desconoc.
SOLUCIÓN:
𝑇
1−
𝛼
2, 𝑉
= 𝑇 0.995, 𝑉
Confianza: 1 − 𝛼 = 0.99 → 𝛼 = 0.01
Reemplazando en la Fórmula:
𝑣 =
1.5
14 +
1.8
14
2
1.5
14
2
14 − 1 +
1.8
14
2
14 − 1
= 25.787 ෥= 26𝑉 =
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
2
𝑠12
𝑛1
2
𝑛1 − 1
+
𝑆2
2
𝑛2
2
𝑛2 − 1
𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎: 𝑇 0.995, 26 =2.779
σ1
2 ≠ σ2
2
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE 
MEDIAS MUESTRALES CON VARIANZA POBLACIONAL 
DESCONOCIDA
( ത𝑋1− ത𝑋2) − 𝑇 1−𝛼2,𝑉
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ ( ത𝑋1− ത𝑋2) + 𝑇 1−𝛼2,𝑉
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
19 − 17 − 2.779
1.5
14
+
1.8
14
< 𝝁𝟐 − 𝝁𝟏 < 19 − 17 + 2.779
1.5
14
+
1.8
14Reemplazando en la Fórmula:
Con nivel de confianza del 99% la verdadera diferencia del tiempo medio de recuperación para los 
medicamentos esta comprendido de 0.651 a 3.349
2 − 1.349 < 𝝁𝟐 − 𝝁𝟏 < 2 + 1.015
0.651 < 𝝁𝟐 − 𝝁𝟏 < 3.349
Grupos de 4 Estudiantes
Vamos a los 
ejercicios propuestos 
de la separata!!
TALLER GRUPAL
TALLER GRUPAL
ES FUNDAMENTAL QUE TODOS PARTICIPEN EN LAS
DELIBERACIONES, EXPONIENDO SUS PUNTOS DEL VISTA.
EVITANDO QUE ALGÚIEN SE ADJUDIQUE UN
PROTAGONISMO DESMEDIDO, O TOME UNILATERALMENTE
DECISIONES QUE AFECTAN A TODOS.
CIERRE
¿QUÉ HEMOS APRENDIDO?
1. ¿Cuándo aplicar la distribución Z?
2. ¿Cuándo aplicar la distribución t-student?