prueba2_2013_2014

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1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Ejercicio 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Ejercicio 2: 
a) Sea 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑦 − 𝑦3 − 1. Tenemos que: 
 i) 𝐹 0,1 = 2 − 1 − 1 = 0 
 ii) 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
,
𝜕𝐹
𝜕𝑦
 son funciones continuas en un entorno del punto (0,1) 
 iii) 
𝜕𝐹
𝜕𝑦
 0,1 = 2 − 3 = −1 ≠ 0 
por lo que se cumplen las hipótesis del teorema de la función implícita. Esto garantiza que la 
ecuación del enunciado define de forma implícita una curva 𝑦 = 𝑦(𝑥) en un entorno del punto 
(0,1). 
Por otra parte, derivando implícitamente respecto a la variable 𝑥 resulta: 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
= 2𝑥 + 2𝑦′ 𝑥 − 3𝑦2𝑦′ 𝑥 = 0 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 0,1 = −𝑦′ 0 = 0 
Esto implica que la recta tangente pedida verifica la expresión: 
𝑦 − 1 = 𝑦′ 0 𝑥 − 0 = 0 
por lo que la recta pedida es 𝑦 = 1. 
b) Como 𝑦′ 0 = 0 se sigue que la función 𝑦(𝑥) definida en un entorno del punto (0,1) podría 
tener un extremo relativo en dicho punto. Para comprobar si se trata de un extremo relativo o 
de un punto de inflexión calculamos 𝑦′′ (𝑥) derivando 
𝜕𝐹
𝜕𝑥
 implícitamente respecto a 𝑥 una vez 
mas: 
𝜕2𝐹
𝜕𝑥2
= 2 + 2𝑦′′ 𝑥 − 3(2𝑦𝑦′ 𝑥 𝑦′ 𝑥 + 𝑦2𝑦′′ 𝑥 ) = 0 
𝜕2𝐹
𝜕𝑥2
 0,1 = 2 + 2𝑦′′ 0 + 3𝑦′′ 0 = 0 
por tanto 𝑦′′ 0 = −
2
5
≠ 0. Esto implica que (0,1) es un extremo relativo.