S15 s2 - Material

Vista previa del material en texto

Nivelación de Matemáticas 
para Ingeniería
¿Que forma tienen las Figuras
que se aprecian mas en las
siguientes fotos?
Puente hiperbólico de Manchester
Torre de control del Aeropuerto de Barcelona
La Torre de Kobe
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el alumno resuelve
problemas con autonomía y seguridad, cuya solución
requiera del uso de propiedades de elipse e hipérbola.
Esquema de la unidad
CÓNICAS
CÓNICAS I:
-Circunferencia
-Parábola
CÓNICAS II:
Elipse
Hipérbola
La elipse
DEFINICIÓN:
Una elipse es el conjunto
de puntos cuya suma de
sus distancias a dos puntos
fijos llamados focos es
constante e igual a 𝟐𝒂.
𝑃𝐹 + 𝑃𝐹′ = 2𝑎 = 𝑘
La elipse - elementos
FOCOS: 𝑭 𝒚 𝑭’
CENTRO DE LA ELIPSE: 𝑶
VÉRTICES: 𝑨 𝒚 𝑨’
SEMIEJE MAYOR: 𝑶𝑨 = 𝑶𝑨’ = 𝒂
SEMIEJE MENOR: 𝑶𝑩 = 𝑶𝑩’ = 𝒃
SEMIDISTANCIA FOCAL:
𝑶𝑭 = 𝑶𝑭’ = 𝒄
Se cumple: 2 2 2a b c 
a
O
b
c
Ecuación canónica de la elipse
1) Centro en el Origen y eje Focal 
en el eje x ; su ecuación es:
1
b
y
a
x
2
2
2
2

2) Centro en el Origen y eje Focal 
en el eje y su ecuación es:
1
a
y
b
x
2
2
2
2

Ecuación ordinaria de la elipse
1) Centro (h;k) y eje Focal paralelo 
al eje x ; su ecuación es:
2) Centro (h;k) y eje Focal paralelo 
al eje y su ecuación es
V2V1
F2F1
Y
B2
B1
O
C(h,k)
k
h
V1
V2
F
1
F2
X
Y
B1 B2
C(h;k)
h
k
X
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
= 1
(𝑥−ℎ)2
𝑏2
+
(𝑦−𝑘)2
𝑎2
= 1
Hipérbola
DEFINICIÓN:
Una hipérbola es el
conjunto de puntos cuya
diferencia de distancias a
dos puntos fijos llamados
focos es constante e igual
a 2𝑎.
𝑃𝐹 − 𝑃𝐹′ = 2𝑎 = 𝑘
V’ VF´ F
B
B´
oFocos: F y F´
oDistancia focal=2c
oVértices: V y V´
oCentro: C
oLados Rectos: 
LR y L´R´.
C
oAsíntotas
E
L
E
M
E
N
T
O
S
L´
R´
L
R Excentricidad
2 2 2c a b 
Se cumple:
Eje real (transverso):
VV’=2a
c
Hipérbola
Ecuaciones canónicas de la hipérbola
V’(−a, 0) V(a, 0)F´(−c, 0) F(c, 0)
B(0, b)
B´(0, −b)
Ecuación:
1) CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN EL EJE X
2 2
2 2
1
x y
a b
 
Ecuaciones canónicas de la hipérbola
Ecuación:
2) CON CENTRO EN EL ORIGEN Y FOCOS EN EL EJE Y
2 2
2 2
1
y x
a b
 
Ecuación ordinaria de la hipérbola
Eje Focal paralelo al eje X Eje Focal paralelo al eje Y
Ecuación
Centro C(h, k) C(h, k)
Ejercicios explicativos
1. Determine las coordenadas del vértice y focos, de la elipse de ecuación
9x2 + 4y2 = 36
Solución
1
4
𝑥2 +
1
9
𝑦2 =1
Dividendo ambos miembros por 36 nos queda
1
22
𝑥2 +
1
32
𝑦2 =1
a= 2 y b = 3
𝐴 = (−2,0)
𝐴′ = (2,0)
𝐵 = (0,3)
𝐵′ = (−3,0)
Ejercicios explicativos
2. Dada la ecuación de la elipse, verificar que el eje focal es paralelo al eje x
Agrupamos y completamos cuadrados:
4
2
2
3y42)1x( 




 
1
21
2
2
3y
22
2)1x(






 


Por lo tanto la elipse tiene su eje focal paralelo al
eje x. Porque: “a” es denominador de x
Siendo: a = 2  b = 1.
𝑥2+4𝑦2 + 2𝑥 − 12𝑦 + 6 = 0
Ejercicios explicativos
3. Determine el centro, vértices y focos de la ecuación
5𝑥2 + 9𝑦2 + 50𝑥 − 18𝑦 + 89 = 0.
Ejercicio
1. Grafique la 
hipérbola de 
ecuación:
(𝑥−3)2
16
−
(𝑦−2)2
9
= 1
determine las 
coordenadas de sus 
focos. 
Ejercicio
2. Represente gráficamente y determine las coordenadas de los focos, de los
vértices de la siguiente hipérbola: 𝑥2
144
−
𝑦2
81
= 1
Ejercicio
3. Determine las coordenadas de los vértices y los focos de la hipérbola de
ecuación 4𝑥2 − 9𝑦2 = 36