Guia General Exani II Ingenieros

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Índice 
Índice 
ÍNDICE ......................................................................................................................................................... 2 
1. PENSAMIENTO MATEMÁTICO- MATEMÁTICAS .......................................................................................... 6 
1.1 LENGUAJE ALGEBRAICO ............................................................................................................................. 6 
1.1.1 JERARQUÍA DE OPERACIONES ..................................................................................................................................7 
1.1.2 RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD .......................................................................................................................7 
1.2 ARITMÉTICA ............................................................................................................................................ 12 
1.2.1 NÚMEROS REALES ............................................................................................................................................. 12 
1.2.2 OPERACIONES DE NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS ................................................................................................ 13 
1.2.3 OPERACIONES DE NÚMEROS REALES Y NOTACIÓN CIENTÍFICA .................................................................................... 13 
1.2.4 SIGNOS DE AGRUPACIÓN .................................................................................................................................... 14 
1.2.5 LEY DE LOS SIGNOS ............................................................................................................................................ 14 
1.3 ÁLGEBRA ................................................................................................................................................ 18 
1.3.1 LEY DE LOS EXPONENTES ..................................................................................................................................... 19 
1.3.2 MONOMIO Y POLINOMIO ................................................................................................................................... 20 
1.3.3 OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS ...................................................................................................... 20 
1.3.2.1 Suma .......................................................................................................................................................... 20 
1.3.2.2 Resta .......................................................................................................................................................... 20 
1.3.2.3 Multiplicación ............................................................................................................................................ 20 
1.3.2.4 División ...................................................................................................................................................... 20 
1.3.4 OPERACIONES BÁSICAS CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES .......................................................................... 21 
1.3.4.1 Operaciones con fracciones ...................................................................................................................... 21 
1.3.5 LEYES DE LOS LOGARITMOS. ................................................................................................................................ 22 
1.3.5.1 Propiedades ............................................................................................................................................... 23 
1.3.5.2 Logaritmos naturales ................................................................................................................................. 23 
1.4 FACTORIZACIÓN........................................................................................................................................ 28 
1.4.1 FACTOR COMÚN ................................................................................................................................................ 28 
1.4.2 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR(MCD). ............................................................... 28 
1.4.3TRINOMIOS ....................................................................................................................................................... 30 
1.4.3.1 Trinomio Cuadrado Perfecto ..................................................................................................................... 30 
1.4.3.2 Trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ........................................................................................................... 30 
1.4.3.4 Trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ......................................................................................................... 31 
1.4.4 DIFERENCIA DE CUADRADOS ................................................................................................................................ 31 
1.4.5 SUMA DE CUBOS ............................................................................................................................................... 31 
1.4.6 DIFERENCIA DE CUBOS ........................................................................................................................................ 31 
1.5 ECUACIONES ............................................................................................................................................ 38 
1.5.1 ECUACIONES DE PRIMER GRADO........................................................................................................................... 38 
 
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Índice 
1.5.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ....................................................................................................................... 38 
1.5.2.1 Solución de una ecuación cuadrática completa. ....................................................................................... 39 
1.5.2.2 Solución de una ecuación Mixta incompleta ............................................................................................. 39 
1.5.2.3 Solución de una ecuación Pura incompleta. ............................................................................................. 40 
1.5.3 SISTEMAS DE ECUACIONES .................................................................................................................................. 40 
1.5.3.1 Métodos de resolución .............................................................................................................................. 40 
1.6 PRODUCTOS NOTABLES .............................................................................................................................. 45 
1.6.2 BINOMIO AL CUADRADO ..................................................................................................................................... 45 
1.6.3 BINOMIOS CONJUGADOS .................................................................................................................................... 46 
1.6.4 BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN ........................................................................................................................ 46 
1.6.4 BINOMIOS AL CUBO ........................................................................................................................................... 46 
1.6.5 BINOMIO DE NEWTON ....................................................................................................................................... 47 
1.7 REPRESENTACIONES GRÁFICAS ..................................................................................................................... 52 
1.7.1 EL PLANO CARTESIANO .......................................................................................................................................52 
1.7.2 FUNCIONES. ..................................................................................................................................................... 54 
1.7.3 RELACIONES ..................................................................................................................................................... 54 
1.7.4 GRÁFICAS DE ECUACIONES .................................................................................................................................. 54 
1.7.4.1 Traslación de una parábola ....................................................................................................................... 55 
1.7.4.2 Funciones polinómicas. ............................................................................................................................. 56 
1.8 GEOMETRÍA ............................................................................................................................................. 60 
1.8.1 PARALELISMO Y CONGRUENCIA ............................................................................................................................ 60 
1.8.1.1 Paralelismo ................................................................................................................................................ 60 
1.8.1.2 Congruencia ............................................................................................................................................... 61 
1.8.2 TEOREMA DE THALES Y RECTAS (MEDIATRIZ Y BISECTRIZ) .......................................................................................... 64 
1.8.2.1 Mediatriz ................................................................................................................................................... 65 
1.8.2.2 Bisectriz ..................................................................................................................................................... 65 
1.8.3 FIGURAS GEOMÉTRICAS: PERÍMETRO, ÁREA Y VOLUMEN ........................................................................................... 66 
1.8.4 LA RECTA ......................................................................................................................................................... 69 
1.8.4.1 Ecuación de la recta ................................................................................................................................... 70 
1.8.4.2 Pendiente de la recta y ángulo entre rectas ............................................................................................. 70 
1.8.6 ECUACIONES Y GRÁFICAS DE LA CIRCUNFERENCIA, LA PARÁBOLA, LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA ........................................... 72 
1.8.6.1Circunferencia ............................................................................................................................................ 72 
1.8.6.2 Parábola ..................................................................................................................................................... 73 
1.8.6.3 Elipse .......................................................................................................................................................... 75 
1.8.6.4 Hipérbola ................................................................................................................................................... 77 
1.9 CÁLCULO ................................................................................................................................................ 83 
1.9.1 DOMINO Y CONTRADOMINO ............................................................................................................................... 83 
1.9.2 OPERACIONES CON FUNCIONES ............................................................................................................................ 83 
1.9.3 LÍMITES DE LAS FUNCIONES: POLINOMIALES, RACIONALES, TRIGONOMÉTRICAS............................................................. 84 
1.9.4 DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Y NO ALGEBRAICAS ...................................................................................... 85 
2. PENSAMIENTO ANALÍTICO ...................................................................................................................... 89 
 
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Índice 
2.1 INTEGRACIÓN DE INFORMACIÓN ................................................................................................................... 89 
2.1.1 INFORMACIÓN IMPLÍCITA VS EXPLICITA ................................................................................................................. 89 
2.1.1.1 Conclusiones a partir de dos textos .......................................................................................................... 90 
2.1.2 INFORMACIÓN GRÁFICA ................................................................................................................................... 107 
2.1.2.1 Conclusiones a partir de un texto y una tabla, imagen o mapa .............................................................. 107 
2.2 INTERPRETACIÓN DE RELACIONES LÓGICAS .................................................................................................... 114 
2.2.1 ANALOGÍAS .................................................................................................................................................... 114 
2.3 RECONOCIMIENTO DE PATRONES ................................................................................................................ 118 
2.3.1 SUCESIONES NUMÉRICAS .................................................................................................................................. 118 
2.3.1.1 Sucesión Cuadrática ................................................................................................................................ 119 
2.3.2 SUCESIONES ALFANUMÉRICAS ........................................................................................................................... 119 
2.3.3 SUCESIONES DE FIGURAS ................................................................................................................................... 121 
2.3.4 CRIPTOARITMÉTICA .......................................................................................................................................... 130 
2.4 REPRESENTACIÓN ESPACIAL ....................................................................................................................... 133 
2.4.1 FIGURAS Y OBJETOS ......................................................................................................................................... 133 
2.4.1.1 Perspectiva: sombras, reflejos, vistas y rotación. ................................................................................... 133 
2.4.1.2 Combinación de figuras ........................................................................................................................... 134 
2.4.2 MODIFICACIONES A OBJETOS ............................................................................................................................. 135 
2.4.2.1 Armado y desarmado .............................................................................................................................. 135 
2.4.3 OPERACIONES CON FIGURAS Y OBJETOS ............................................................................................................... 136 
2.4.3.1 Número de elementos que integran o faltan en figuras y objetos ......................................................... 136 
2.4.3.3 Conteo de unidades sombreadas ............................................................................................................ 136 
3.FÍSICA ................................................................................................................................................... 1453.1 UNIDADES DE CONVERSIÓN ....................................................................................................................... 145 
3.1.2 SUMA DE VECTORES ......................................................................................................................................... 148 
3.2 EQUILIBRIO TRASLACIONAL Y FRICCIÓN ......................................................................................................... 150 
3.2.1 PRIMERA LEY DE NEWTON (LEY DE LA INERCIA)..................................................................................................... 150 
3.2.2 SEGUNDA LEY DE NEWTON (LEY DE FUERZA) ........................................................................................................ 150 
3.2.3 TERCERA LEY DE NEWTON (ACCIÓN Y REACCIÓN) .................................................................................................. 151 
3.2.4 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE ............................................................................................................................ 151 
3.2.5 EQUILIBRIO .................................................................................................................................................... 152 
3.2.6 FRICCIÓN ....................................................................................................................................................... 154 
3.3 TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA ................................................................................................................. 157 
3.3.1 TRABAJO ........................................................................................................................................................ 157 
3.3.1.1 Trabajo resultante ................................................................................................................................... 158 
3.3.2 ENERGÍA ........................................................................................................................................................ 161 
3.3.2.1 Energía cinética ....................................................................................................................................... 161 
Ejercicios 3.3.2.1 Energía cinética ....................................................................................................................... 162 
3.3.2 ENERGÍA POTENCIAL ........................................................................................................................................ 163 
3.3.3. POTENCIA ..................................................................................................................................................... 164 
 
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Índice 
3.4 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ............................................................................................................ 165 
3.4.1 ACELERACIÓN CENTRÍPETA ................................................................................................................................ 165 
3.4.2 FUERZA CENTRÍPETA ........................................................................................................................................ 166 
3.4.3 PERALTE DE CURVAS ........................................................................................................................................ 167 
3.5 TEMPERATURA Y EXPANSIÓN ..................................................................................................................... 168 
3.5.1 CONDUCTIVIDAD TÉRMICA ................................................................................................................................ 171 
3.5.2 RADIACIÓN TÉRMICA ........................................................................................................................................ 173 
3.5.2 PROPIEDADES TÉRMICAS DE LA MATERIA ............................................................................................................. 174 
3.6 TERMODINÁMICA ................................................................................................................................... 177 
3.6.1 PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA ................................................................................................................. 177 
3.6.2 PROCESO TERMODINÁMICO .............................................................................................................................. 178 
3.6.3 PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA ................................................................................................................. 179 
3.6.3 SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA ................................................................................................................ 179 
3.7 LA FUERZA ELÉCTRICA .............................................................................................................................. 180 
3.7.1 LEY DE COULOMB ............................................................................................................................................ 180 
3.7.2 POTENCIAL ELÉCTRICO ...................................................................................................................................... 182 
3.7.3 POTENCIAL ELÉCTRICO Y DIFERENCIA DE POTENCIA ................................................................................................ 184 
3.8 CORRIENTE Y RESISTENCIA ........................................................................................................................ 186 
3.10.2 RESISTIVIDAD ................................................................................................................................................ 187 
3.10.3 COEFICIENTE DE TEMPERATURA DE LA RESISTENCIA ............................................................................................. 188 
3.9 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA ........................................................................................................... 189 
 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
 Podemos referirnos a pensamiento matemático a todo análisis, síntesis y abstracción 
del conocimiento de las matemáticas. También podemos verlo como la herramienta necesaria 
para la comprensión y resolución de problemas matemáticos. 
1.1 Lenguaje algebraico 
El lenguaje algebraico consta de símbolos y signos. Los símbolos representan cantidades 
y pueden ser números o letras mientras que los signos pueden ser de operación, de relación 
o de agrupación. 
La siguiente tabla muestras algunas equivalencias entre el lenguaje verbal y cotidiano y 
el lenguaje algebraico. 
ADICION 
( + ) 
SUSTRACCION 
( - ) 
MULTIPLICACION 
( * ) 
IGUAL 
( = ) 
Suma 
Añadir 
Más 
Aumentar 
Agregar 
Incrementar 
Ganar 
“Mayor que” 
Resta 
Diferencia 
Menos 
Disminuir 
Sustraer 
Quitar 
Perder 
“Menor que” 
Multiplicado 
Producto 
Veces 
Por 
Factor 
Doble (x 2) 
Triple (x 3) 
Cuádruplo ( x 4 ) 
Es 
Da 
Resulta 
Se obtiene 
Equivale 
 
 
 Por ejemplo, en la expresión “El doble de un número aumentado en 3” podemos deducir 
que la respuesta sería 2x+3 donde “x” representa el número. Dicho esto, sí: 
Incógnita Respuesta 
x=2 2(2)+3=7 
x=3 2(3)+3=9 
x=4 2(4)+3=11 
x=5 2(5)+3=13 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.1.1 Jerarquía de operaciones 
También llamado jerarquización de operaciones, es un método algebraico empleado para 
resolver operaciones con múltiples operadores dentro de una estructura con prioridades de 
acuerdo con el operador. Los operadores son: 
❖ Suma (+) 
❖ Resta (-) 
❖ Multiplicación (*) 
❖ División (/) 
❖ Potencia (xn) 
❖ Raíz √ 
La jerarquía de operaciones nos dice que primero se realizan las potencias y raíces, luego 
los productos ycocientes y al final las sumas y restas. Esto se puede ver así: 
1 Raíz √ y Potencia (xn) 
2 Multiplicación (*) y División (/) 
3 Suma (+) y Resta (-) 
1.1.2 Relaciones de proporcionalidad 
 Primero definamos la relación de proporcionalidad, como una relación o razón constante 
de cambio que engloba a dos o más magnitudes que pueden ser medidas. Dicha 
proporcionalidad puede ser directa o indirecta. 
• Directa: En esta existen variaciones lineales, ya que si al incrementarse o disminuir 
una de ellas, la otra lo hace en la misma proporción. Dicho esto, se puede decir que 
son directamente proporcionales. 
 
• Inversa: Cuando una de las magnitudes aumenta en una proporción, la otra disminuye 
en la misma proporción. A esto también se le conoce como relación inversamente 
proporcional. 
 
 
 
 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
Ejercicios 1.1 Lenguaje algebraico 
Lee con atención los siguientes ejercicios realiza lo que se pide y subraya la respuesta 
correcta. 
1) La edad de una persona hace cinco años se puede representar por: 
a) 5-X 
b) X-5 
c) 10-5 
d) X+Y 
 
2) Interprete algebraicamente el siguiente enunciado verbal: “Agregar el doble de b al 
cuadrado del triple de a” 
a) 2𝑏 + 3𝑎 
b) 3𝑏 + 2𝑎2 
c) 2𝑏 + (3𝑎)2 
d) 2𝑏 + (𝑎)2 
 
 
3) El enunciado correspondiente con: 2(3+5) 
a) Dos veces el producto de tres más cinco 
b) El doble producto de la sustracción de tres y cinco 
c) El doble de tres al que se le suma cinco 
d) La suma de tres más cinco 
 
4) La edad de Rosy es el triple de la de Luis ¿Cómo se expresa la suma de sus edades? 
a) 3L 
b) 3+L 
c) L+3L 
d) L+
1
3
L 
 
 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
5) El largo de un rectángulo es 8 metros mayor que su ancho. Si el ancho del rectángulo es 
x metros, la expresión algebraica que representa su perímetro es: 
a) 2(x+8) 
b) 4x+16x 
c) 2x+(x+8) 
d) 4x+16 
 
6) El área de un rectángulo es A = x2 − 2x − 35. ¿Cuáles son las expresiones que 
representan las medidas de la base y la altura? 
a) (x − 7)(x + 5) 
b) (x + 7)(x − 5) 
c) (x − 7)(x − 5) 
d) (x − 7)(x + 7) 
 
7) Dos ruedas están unidas por una correa transmisora. La primera tiene un radio de 20 cm 
y la segunda de 80 cm. Cuando la primera ha dado 400 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá 
dado la segunda? 
a) 900 vueltas 
b) 100 vueltas 
c) 90 vueltas 
d) 400 vueltas 
 
8) 10 obreros labran un campo rectangular de 200 m de largo y 60m de ancho en 7 días. 
¿Cuántos días tardarán 20 obreros para labrar otro campo de 300 m de largo por 50 m de 
ancho? 
a) 2 días 
b) 3 días 
c) 4 días 
d) 7 días 
 
 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
9) Resuelve x = 7 ∗ 3 + 5 − 22 
a) 24 
b) 22 
c) 23 
d) 26 
 
10) ¿Durante cuánto tiempo ha de imponerse un capital de 25 000 € al 5% de interés para 
que se convierta en 30 000 €? 
a) 6 Años 
b) 3 Años 
c) 20 Años 
d) 4 Años 
 
11) Resuelve 𝑝 = √81 + 4 − 22(2) 
a) p= -3 
b) p= 3 
c) p= 5 
d) p= -5 
 
12) Rosa pesa 40kilos y José pesa 60 kilos. Dividir una barra de chocolate de 200 gramos en 
la misma razón que sus pesos. 
a) Rosa: 80g José: 120g 
b) Rosa: 96g José: 104g 
c) Rosa: 70g José: 130g 
d) Rosa: 12g José: 80g 
 
13) Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 500 m³ de capacidad. ¿Cuántas 
horas tardarán ocho grifos en llenar 1 depósitos de 1000 m³ ? 
a) x= 20 horas 
b) x= 16.6 horas 
c) x= 15 horas 
d) x= 36 horas 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
14) Resuelve 𝑍 =
√144−24+4(2)
2
 
a) Z= 28 
b) Z= -28 
c) Z= -2 
d) Z=2 
 
15) Con 12 botes conteniendo cada uno 1/2 kg de pintura se han pintado 90 m de verja de 80 
cm de altura. Calcular cuántos botes de 2 kg de pintura serán necesarios para pintar una 
verja similar de 120 cm de altura y 200 metros de longitud. 
a) y= 12 botes 
b) y= 10 botes 
c) y= 11 botes 
d) y= 9 botes 
 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.2 Aritmética 
 Es la más antigua y simple de las ramas de la matemática en la que se han desarrollado 
las principales operaciones matemáticas conocidas por el hombre, a saber: adición 
(suma), sustracción (resta), multiplicación y división. Se encarga de realizar con números y 
simbología en conjunto con las operaciones antes mencionadas, el desarrollo de propiedades 
y habilidades las cuales pueden ser usadas en la vida cotidiana y materias de estudio que 
impliquen a la matemática como base fundamental de aprendizaje 
1.2.1 Números Reales 
El cálculo se basa en las propiedades de los números reales. Pero para poder 
comprender estas propiedades primero debemos definir que es un número real. Todo aquel 
número entero o fraccionario, sim importar su signo. 
El campo de los números reales está compuesto por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los irracionales son aquellos números que no pueden expresarse mediante el cociente 
de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales aperiódicas. 
 
 
 
Irracionales 
Racionales 
Π, 𝑒, √3 , Π3 
Enteros 
 
Fraccionarios 
Naturales, 0 y negativos 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.2.2 Operaciones de números naturales y enteros 
 Los números enteros son todos los números no fraccionarios, en otras palabras, son 
todos los números del 0 al infinito. 
 
 Mientras, que los números naturales son todos aquellos números enteros mayores a 0, 
con esto debemos a aclarar que el 0 no es un número natural, solo es entero. Se puede ver 
como x > 0. 
 
Operaciones: 
• Suma 
• Resta 
• Multiplicación 
• División 
• Potencia 
• Raíz 
1.2.3 Operaciones de números reales y notación científica 
 Los números reales son todos los números racionales (positivos, negativos y el cero) y 
todos los números irracionales. Se representan con una , el resultado de sumar o restar dos 
números reales es otro número real. 
La notación científica es una forma de representar números de valores demasiado 
grandes o demasiado pequeños, para ser escritos de manera convencional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nombre Factor Símbolo 
Deca 101 D 
Hecto 102 h 
Kilo 103 K 
Mega 106 M 
Giga 109 G 
Tera 1012 T 
Nombre Factor Símbolo 
deci 10−1 d 
centi 10−2 c 
mili 10−3 m 
micro 10−6 µ 
nano 10−9 n 
pico 10−12 p 
-∞ ∞ 
∞ 
1.2.4 Signos de agrupación 
Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos 
deben considerarse como un todo, como una sola cantidad. Dicho esto, primero deben 
resolverse las operaciones encerradas en ellos. Comenzando con los de más adentro hacia 
afuera; los signos de agrupación son los siguientes: el paréntesis ( ), el corchete [ ] y las llaves 
{ }. 
 
1.2.5 Ley de los signos 
 Cuando realizamos operaciones matemáticas, siempre podemos encontrarnos con 
números tanto positivos (+) como negativos (-) y es muy importante saber qué hacer en cada 
caso. Para el producto de dos números de igual signo el resultado siempre será positivo; pero, 
si los signos son distintos el resultado será negativo. 
(+) (+) + 
(+) (-) - 
(-) (-) + 
(-) (+) - 
 
 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
Ejercicios 1.2 Aritmética 
1) Clasifica los números: -5,3,0 según sea su caso. 
a) Negativo, Natural, Cero 
b) Racional, Negativo, Cero, Racional 
c) Negativo, Racional, Cero 
d) Cero, Natural,Racional 
 
2) Resuelve x − (x − 8{x − 3} − [x + 3])= 
a) 9x 
b) 9x-6 
c) 11x-21 
d) 9x-21 
 
3) Resuelve −(−3{2 − 2(y − 2)} − [1 − 3y] − y) + 3 − y 
a) -9y+16 
b) -9+22 
c) 22-9y 
d) 9y+16 
 
4) Simplifica 7a + 4[b − 3(2b − a)] 
a) 19a - 20b 
b) 5a – 9b 
c) 9a – 20b 
d) 19a + 20b 
 
5) Simplifica −{−(x + 1) − (x2 + x − 3) + 2(x − 2)} 
a) −x2 − 2 
b) x2 − 2 
c) −x2 + 2 
d)x2 + 2 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
6) Resuelve p =
−(x2+x−3)+2(x−2)
(2x2−4)−(6x+2)
 
a) p =
−2x2+x+1
2x2−6x−2
 
b) p =
2x2−x−1
2x2−6x−2
 
c) p =
−x2+x+1
2x2−6x+2
 
d) p =
−2x2+x+1
−6x−2
 
 
7) Resuelve −1{−[2(a − 3) + a2] + 3a} + 3a² 
a) 2a2 + 5a − 6 
b) 4a2 + a + 6 
c) −2a2 + a + 6 
d) 4a2 − a − 6 
 
8) Resuelve 3a + {−5x − [−a + (9x − a − x)]} 
a) 3𝑎 − 4𝑥 
b) 5𝑎 − 4𝑥 
c) 5𝑎 − 13𝑥 
d) 3𝑎 + 4𝑥 
 
9) Resuelve p=−[−3a − {b + [−a + (2a − b) − (−a + b)] + 3b} + 4a] 
a) a+2b 
b) b-a 
c) -a – 2b 
d) 3a-2b 
 
 
 
 
 
P á g i n a 17 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
10) Si tenemos el número 0.0000456¿Cúal es su número en notación científica? 
a) 45.6μ 
b) 45.6m 
c) 4.5μ 
d) 0.45m 
 
11) Resuelve x= 
2a−[3b+(4a−b)]
2b+{3a−(4b−2a)+2}
 
a) x =
−2a+2b
5a+2b+2
 
b) x =
−2a−2b
5a−2b−2
 
c) x =
2a+2b
5a−2b+2
 
d) x =
−2a−2b
5a−2b+2
 
 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a 18 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.3 Álgebra 
Una Expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una o más 
operaciones algebraicas. 
Término: toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o –. En 
todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte 
literal y el exponente. Así a, 3b, 2xy, 
4a
3x
 son términos. 
 
 
 
Los elementos de un término son cuatro: 
• Signo: Tenemos dos signos más (+) y menos (-), son términos positivos los que van 
precedidos del signo + y negativos los que van precedidos del signo −. Así, +a, +8x, 
+9ab son términos positivos y −x, −5bc y −
3a
2b
 son términos negativos. 
El signo + suele omitirse delante de los términos positivos. Así, a = +a; 3ab equivale a 
+3ab. Por tanto, cuando un término no va precedido de algún signo es positivo. 
 
• Coeficiente: El coeficiente como se dijo antes, es uno cualquiera, generalmente el 
primero, de los factores del término. Así, en el término 5a el coeficiente es 5; −3a2x3 el 
coeficiente es −3. 
 
• Literal o incógnita: La parte literal la constituyen las letras que haya en el término. 
Así, en 5xy la parte literal es xy; en 
3x2y4
2ab
 la parte literal es 
x2y4
ab
. 
 
• Exponente: El exponente o grado de un término puede ser de dos clases; absoluto y 
con relación a una letra. 
 
 
 
P á g i n a 19 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.3.1 Ley de los exponentes 
El número que se multiplica por sí mismo tantas veces como indica el exponente se 
llama base de la potencia. El exponente es un número colocado a la derecha y arriba de la 
base. 
Base → 23 ←Exponente 
23 = (2)(2)(2) ∴ 23 = 8 
Ley Ejemplo Descripción 
1. 𝑎𝑚 ∗ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 (32)(35) = 32+5 = 37 
Para multiplicar dos potencias del mismo 
número, sume los exponentes. 
2.
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛 
35
32
= 35−2 = 33 
Para dividir dos potencias del mismo número, 
reste los exponentes. 
3. (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∗𝑛 (32)5 = 32∗5 → 310 
Para elevar una potencia a una nueva 
potencia, multiplique los exponentes. 
4. (𝑎 ∗ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛𝑏𝑛 
Para elevar un producto a una potencia, eleve 
los factores individualmente a la potencia. 
5. 
Para elevar un cociente a una potencia, eleve 
tanto el numerador y denominador a la 
potencia. 
6. a−n =
1
an
 4−3 =
1
43
 
Para elevar un número a una potencia 
negativa, invierta al número y cambie el signo 
del exponte. 
7. 
𝑎−𝑛
𝑏−𝑚
=
𝑏𝑚
𝑎𝑛
 
 
Para pasar un número elevado a una potencia 
desde el numerador al denominador o desde 
el denominador al numerador, cambie el signo 
del exponente. 
8. 𝑎0 = 1 50 = 1
 
Toda expresión, número o variable elevada a 
una potencia 0 es igual a 1. 
 
222 43)43( 
n
nn
b
a
b
a






2
22
4
3
4
3






2
5
5
2
3
4
4
3



1.3.2 Monomio y polinomio 
 EL monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término, como podemos 
intuir por la palabra mono. Cuando se suman o se restan se llaman binomio (porque son 2 
expresiones). 
 El polinomio consta de 2 o más términos que pueden ser semejantes entre ellos o 
distintos. 
Ejemplo: 
𝐱𝐲𝐳 𝐚𝐱 + 𝐲 + 𝐳 
1.3.3 Operaciones con monomios y polinomios 
 Antes de realizar cualquier operación, primero debemos identificar los términos 
semejantes, son aquellos términos algebraicos que tienen las mismas literales y exponentes 
entre sí. Solo difieren en el signo o el coeficiente. 
1.3.2.1 Suma 
La suma o adición, es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones 
algebraicas en una sola suma. Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben 
unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes 
si los hay. 
1.3.2.2 Resta 
Una resta consta de dos elementos: el minuendo y el sustraendo. Para efectuar una 
resta algebraica, debemos determinar quién es el minuendo y quién el sustraendo que es aquel 
que se encuentra después del signo menos. Para restar dos polinomios, se le cambia de signo 
a todos los términos del sustraendo y se efectúa una suma algebraica. 
1.3.2.3 Multiplicación 
Para multiplicar expresiones algebraicas se multiplican todos los términos del 
multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta las leyes de 
los signos y exponentes para luego reducir los términos semejantes. 
1.3.2.4 División 
 Para dividir expresiones algebraicas, se dividen los términos del numerador entre el 
denominador teniendo en cuenta la ley de los signos y de los exponentes para luego reducir 
los términos. 
 
 
Monomio Polinomio 
 
P á g i n a 21 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.3.4 Operaciones básicas con fracciones algebraicas y radicales 
 Las fracciones son consecuencia de expresar cantidades en las que los objetos están 
partidos en partes iguales. Una fracción es el cociente de dos números. Es decir, es una 
división sin realizar. Una fracción representa el valor o número que resulta al realizar esa 
división. 
 Los elementos que forman la fracción son: 
El numerador. Es el número de arriba, indica las partes que tenemos. 
El denominador. Es el número de abajo, indica el número de partes en que dividimos a cada 
unidad. 
Nuerador 
Denominador 
 
 Las fracciones pueden ser englobadas en dos tipos: las propias y las impropias. Las 
fracciones propias son aquellas donde el numerador es menor que le denominador. 
2
3
 ó 
7
4
 
Mientras que las impropias son aquellas donde el numerador es mayor que el 
denominador. 
9
4
 ó 
8
7
 
1.3.4.1 Operaciones con fracciones 
Suma/Resta: 
Cuando todos los denominadores son iguales se hace la suma de los numeradores 
directamente y se conserva el denominador. 
Cuando los denominadores son diferentes entre sí, para esto basta que uno no cumpla 
la igualdad, lo que tenemos que hacer es: 
a) Sacar el m. c. m. (mínimo común múltiplo) de los denominadores involucrados en la suma-
resta, éste será el denominador del resultado. 
b) Dividir el m. c. m. entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por el 
numerador de esta. 
c) Se pone el signo y se repite el inciso b, pero con la segunda fracción. Así se hace para todas 
las fracciones contenidas en la operación. 
 
 
Multiplicación: 
Para efectuar una multiplicación con fracciones, se debe multiplicar el numerador (A) 
por el numerador (B) y el denominador (A) por el denominador (B). 
 
División: 
Para efectuar una división con fracciones, se multiplica como vimos en el método 
anterior, pero en este caso, el segundo término se invierte y luego se multiplican las fracciones 
de forma lineal. 
 
1.3.5 Leyes de los logaritmos. 
 El logaritmo sirve para indicar la relación entre la base, el exponente y la potencia. En 
otras palabras, el logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base paraobtener el número propuesto. Su abreviatura es log y el número que indica la base, se coloca 
como índice. 
logby = x b
x = y 
log416 = x 
4x = 16 
x=2 
 
 
 
 
P á g i n a 23 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.3.5.1 Propiedades 
• La base de un sistema de logaritmo es cualquier número positivo. 
• La base de un sistema de logaritmo no puede ser un número negativo, ya que sus 
potencias pares serían positivas y las impares negativas, por lo tanto, habría números 
que no tendrían logaritmo. 
• Los números negativos no tienen logaritmo, ya que, si la base es positiva, todas sus 
potencias, pares o impares, son positivas, nunca negativas. 
• En todo sistema de logaritmos, el logaritmo 1 es cero. Porque todo número a elevado a 
la cero es 0. 
• Los números mayores de 1 tienen logaritmos positivos, mientras que los menores a 1 
tienen logaritmos negativos. 
1.3.5.2 Logaritmos naturales 
Los logaritmos naturales, neperianos o hiperbólicos fueron inventados por NEPER, usan 
como base el número cuyo valor aproximado es 2.7182818284590452… 
Son de uso frecuente en el cálculo diferencial e integral y se rigen por las propiedades 
generales y fundamentales de los logaritmos. Para resolver operaciones y ecuaciones se 
utilizan las leyes de los logaritmos. 
Formula Descripción 
LnbAB = lnbA + lnbB 
El logaritmo de un producto de varios 
factores es igual a la suma de los logaritmos 
de los factores 
Lnb
A
B
= lnbA − lnbB 
El logaritmo de un cociente de dos números 
es igual a la diferencia del logaritmo del 
dividendo menos el logaritmo del divisor. 
LnbA
n = n(lnbA) 
El logaritmo de una potencia es igual al 
producto del exponente de la potencia por el 
logaritmo del número 
Lnb √A
n
=
(lnbA)
n
 
El logaritmo de una raíz es igual al cociente 
del logaritmo del sub radical entre el índice 
de la raíz 
 
 
 
P á g i n a 24 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
Ejercicios 1.3 Álgebra 
Resuelve las siguientes operaciones con fracciones 
1) 
7x
8
−
2
3
−
4x
12
= 
 
2) 
3
8
9
4
11
5 xx
 
 
3) −
17
12
+
32
18
+
5
3
+
6
7
−
5
9
+
14
15
−
19
11
= 
 
4) (
6
5
) (
25
2
) (
13
7
) (
14
3
) = 
5) 
6
17
÷ (
9
2
) (
27
2
) = 
6) 

6
1
4
3
10
21
13
61
 
 
7) Determina la suma de: (y4 − 9y3 + 6y2 − 31) + ( −11y4 + 31y3 − 8y2 − 19y) 
a) 10y4 + 22y3 − 2y2 − 19y − 31 
b) −10y4 + 22y3 + 2y2 − 19y + 31 
c) −10y4 + 22y3 − 2y2 − 19y − 31 
d) 10y4 + 22y3 − 2y2 + 19y − 31 
 
8) Determina la suma de:(3cb2 − 2xy) + ( 3x2 − 4cb2 + xy) + ( −7x2) 
a) 4x2 − xy − cb2 
b) −4x2 − xy − cb2 
c) 4x2 − xy + cb2 
d) −4x2 + xy + cb2 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a 25 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
9) Determina la suma de: (x3 − x2 + 6) + ( 5x2 − 4x + 6) 
a) x3 + 6x2 − 4x + 12 
b) x3 + 4x2 + 4x + 12 
c) 4x2 − 4x + 12 
d) x3 + 4x2 − 4x + 12 
 
10) Resuelve la multiplicación: (2a2 − b)(−3ab2) 
a) 6a3b2 + 3ab3 
b) 6a3b2 − 3ab3 
c) 6a3b2 − 3ab2 
d) 6a2b2 + 3ab2 
 
11) Resuelve la multiplicación (−4xy2z)(−2x2yz)(xyz2) 
a) −8x4y4z4 
b) 8x6y6z6 
c) 8x4y4z4 
d) −8x6y6z4 
 
12) Resuelve la multiplicación a2b(2ax − 3by − 2ab2) 
a) 2a3bx − 3a2b2y − 2a3b3 
b) −2a3bx − 3a2b2y − 2a3b3 
c) 2a3bx + 3a2b2y + 2a3b3 
d) 2a3bx + 3a2b2y − 2a3b3 
13) Resuelve la división: 
6x4y−9x3y2+12x2y3−6xy4
3xy
 
a) 2x4y − 3x3y2 + 4x2y3 − 2xy4 
b) 2x3y − 3x2y2 + 4xy7 − 2y3 
c) 2x3y − 3x3y2 + 4xy3 − 2y4 
d) 2x4 − 3x3y2 + 4xy3 − 2xy4 
 
 
 
P á g i n a 26 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
14) Restar y4 − 2y3 + 2y2 + y + 1 del polinomio 6y3 − 7y2 − y + 2. 
a) −y4 + 8y3 − 9y2 − y + 1 
b) −y4 − 8y3 + 9y2 + 2y + 1 
c) −y4 + 8y3 + 9y2 − 2y + 1 
d) −y4 + 8y3 − 9y2 − 2y + 1 
 
15) Del polinomio (x3 + 5x2 − 6x − 2) − (x3 − x2 + x − 5) 
a) 6x2 + 7x + 3 
b) −6x2 + 7x + 3 
c) 6x2 − 7x − 3 
d) 6x2 − 7x + 3 
 
16) De (m3 + 5m2 − m + 2) − (2m3 + 5m − 3) 
a) m3 + 5m2 − 6m + 5 
b) m3 − 5m2 − 6m + 5 
c) −m3 + 5m2 − 6m − 5 
d) −m3 + 5m2 − 6m + 5 
 
17) Resuelve log1
2
1
4
= x 
a) x = 1/2 
b) x = 1 
c) x = 2 
d) x = 3 
 
18) Resuelve log5 25 = p 
a) p = 5 
b) p = 3 
c) p = 2 
d) p = −5 
 
 
 
 
 
P á g i n a 27 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
19) Resuelve 
2
2
+
1
4
/
5
6
+
1
3
= 
a) −
7
2
 
b) 
7
2
 
c) 
3
2
 
d) 
2
7
 
 
 
20)Resuelve (3x +
1
4
) − (2x +
1
6
) = 
a) 
12x+1
12
 
b) 
13
12
 
c) 
x+12
12
 
d) 1 
 
 
 
 
P á g i n a 28 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.4 Factorización 
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual 
a la expresión propuesta. 
Puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de 
ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que, en la factorización, se 
buscan los factores de un producto dado. 
 
1.4.1 Factor común 
Si los términos de una expresión tienen un factor común entonces es posible 
descomponerla en al menos dos factores. Uno de ellos será nuestro factor común y el otro el 
cociente que resulta al dividir la expresión original entre el factor común. 
 Si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor 
común diferente en cada grupo. Primero se agrupan entre sí, sin afectar la ecuación y luego 
se factorizan. 
1.4.2 Mínimo Común Múltiplo (MCM) y Máximo Común Divisor(MCD). 
 
 El mínimo común múltiplo (MCM) es el menor número natural, más pequeño que es 
distinto a 0 y que resulta ser múltiplo de cada uno de los números involucrados. Para calcular 
el MCM de dos o más números es necesario descomponerlos en factores primos, agruparlos 
entre ellos y multiplicar. Por ejemplo, si tenemos:
1
72
+
1
108
+
1
60
=
y
x
 
 Entonces sabemos que antes de resolver la división tenemos que encontrar el mcm 
entre los tres, para esto aplicamos el síguete procedimiento. 
72 108 60 2 
36 54 30 3 
12 18 10 2 
6 9 5 3 
2 3 5 3 
2 1 5 2 
1 5 5 
 1 
 
P á g i n a 29 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
 Si multiplicamos todos entre si obtenemos 1,080 como el mcm de los 3 números, una 
forma en la que podemos ver esto es: (23)(33)(5) = 1,080. Y así la operación nos quedaría 
como: 
15+10+18
1080
=
43
1080
 
 Mientras que el máximo común divisor (M.C.D) de dos o más números naturales, es el 
mayor de los divisores comunes entre ellos. Si los números son grandes seguimos las 
siguientes reglas: 
1. Se anotan los números en un mismo renglón. 
2. Se dividen todos los números entre los factores primos comunes. 
3. El m.c.d es el producto de los factores primos comunes tomados con su menor 
exponente. 
 Donde en este caso el 10 es el divisor más grande que tienen en común estos 2 
números. Normalmente el mcd no puede ser mayor que el número más pequeño, si en vez de 
dos utilizaos tres números: 5-10-20, el mcd se vuelve 5. 
 
 
 
P á g i n a 30 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.4.3Trinomios 
1.4.3.1 Trinomio Cuadrado Perfecto 
Es un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) si al estar ordenado cumple que el primer y el 
tercer término, tienen raíz cuadrada exacta y el segundo es el doble del producto de estas 
raíces. La factorización de un TCP es el cuadrado del binomio formado por las raíces 
cuadradas del primero por el segundo término. El signo queda determinado por el signo del 
segundo término de la expresión original. 
Si tenemos: 
a + b + c = 0 
Entonces podemos verlo como: 
(√𝑎)
2
± 2[(√a)(√c)] + (√𝑐)
2
 
(√a + √c)
2
 
𝑏 = ±2[(√a)(√c)] 
1.4.3.2 Trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 
Tiene un término literal positivo y cuadrático con coeficiente 1, posee un término lineal 
“b” con las misma literal y un término independiente “c”. 
 Para factorizar un trinomio de esta forma tenemos que encontrar dos números, m y n 
cuya suma sea el coeficiente del términolineal y su producto sea el termino independiente “c”. 
- - x
2 − bx + c 
+ + x
2 + bx + c 
- + x
2 ± bx ± c 
+ - x
2 ± bx ± c 
 
x2 + bx + c = (x + m)(x + n) 
 
 
 
 
P á g i n a 31 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.4.3.4 Trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Tiene un término literal positivo y cuadrático con coeficiente “a”, posee un término lineal 
“b” con las misma literal y un término independiente “c”. Para resolver este trinomio hay que 
encontrar dos números que multiplicados den a, otros dos que multiplicados den c y cuyos 
productos cruzados sumen b. 
 Otro método es convertirlo a la forma x2 + bx + c, lo único que hay que hacer es 
factorizar con el término “a”. 
 
1.4.4 Diferencia de cuadrados 
Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados y se forma un producto de la suma de las 
raíces multiplicada por la diferencia de ellas, esto solo se puede sí ambos números poseen 
raíz cuadrada exacta. 
 
1.4.5 Suma de cubos 
Es la suma de un binomio donde cada uno de sus términos posee una raíz cúbica 
perfecta (también se les puede llamar cubos perfectos). Se descompone en las 2 raíces y es 
igual al producto de la suma de las raíces cúbicas de los términos, por el polinomio, cuyos 
términos son el cuadrado de la raíz cubica del primer término, menos el producto de las raíces 
cubicas, más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo. 
1.4.6 Diferencia de cubos 
Es la resta de un binomio donde cada uno de sus términos posee una raíz cúbica 
perfecta (también se les puede llamar cubos perfectos). Se descompone en las 2 raíces y es 
igual al producto de la resta de las raíces cúbicas de los términos, por el polinomio, cuyos 
términos son el cuadrado de la raíz cubica del primer término, más el producto de las raíces 
cubicas, más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo. 
 
 
P á g i n a 32 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
Ejercicios 1.4 Factorización 
Factoriza correctamente los siguientes polinomios y subraya la respuesta correcta. 
1) Resuelve m(x+2)-x-2+3(x+2) 
a) (x + 2)(m + 3 − 2) 
b) (x + 2)(m + 3 − 1) 
c) (x + 2)(m + 3 + 2) 
d) (x + 2)(m + 3 − 4) 
 
2) Resuelve 8mx + 18x2y − 258x3y2 
a) (x + 2)(m + 3 − 2) 
b) (x + 2)(m + 3 − 1) 
c) (x + 2)(m + 3)(x + 2) 
d) (x + 2)(m + 3) − 2 
 
3) Resuelve x6 − 21x3m + 98m2 
a) (x3 − 7m)(x3 − 14m) 
b) (x3 + 7m)(x3 − 14m) 
c) (x3 − 7m)(x3 + 14m) 
d) (x3 + 7m)(x3 + 14m) 
 
4) Encuentra el m.c.m. de 32,128,14. 
a) 888 
b) 698 
c) 896 
d) 400 
 
5) Encuentra el m.c.d. de 32, 128, 16 es: 
a) 8 
b) 32 
c) -16 
d) 16 
 
P á g i n a 33 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
6) Resuelve 30f 2 − 29f − 7 
a) (5f − 1)(6f + 7) 
b) (5f + 1)(6f + 7) 
c) (5f + 1)(6f − 7) 
d) (5f − 1)(6f − 7) 
 
7) Resuelve x2 + 4x − 21 
a) (x + 3)(x + 7) 
b) (x − 3)(x − 7) 
c) (x − 3)(x + 7) 
d) (x + 3)(x − 7) 
 
8) Resuelve a4 − 12a2m2 + 36m4 
a) (a2 + 6m2)2 
b) (a2 − 6m2)2 
c) a(a − 6m2)2 
d) (a2 − 6m)2 
 
9) Resuelve 16 − 8a3 + a6 
a) (2 − a3)(4 − a3) 
b) (2 + a3)(4 − a3) 
c) (4 − a3)(4 − a3) 
d) (4 + a3)(4 + a3) 
 
10) Resuelve 4by + 8by2 − 12by3 
a) 4b(1 + 2y − 3y2) 
b) 4by(1 − 2y + 3y2) 
c) (1 + 2y + 3y2) 
d) 4by(1 + 2y − 3y2) 
 
 
P á g i n a 34 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
11) Resuelve 8x4 − 6x2 − 9 
a) (4x2 + 3)(2x2 − 3) 
b) (4x2 + 3)2 
c) (4x2 − 3)(2x2 + 3) 
d) (2x2 + 3)(2x2 − 3) 
 
12) Resuelve 24m3n2 − 12m3n3 
a) 6m3n2(4 − 2n) 
b) 12m3n2(2 − 2n) 
c) 12m3n2(2 − n) 
d) 6m3n2(4m − 2n) 
 
13) Resuelve t6 − 7t3 + 6 
a) (t3 + 6)(t3 + 1) 
b) (t3 − 3)(t3 + 1) 
c) (t3 + 3)(t3 − 1) 
d) (t3 − 6)(t3 − 1) 
 
14) Resuelve t2x2 + 6tx + 8 
a) (tx + 8)(tx + 1) 
b) (tx − 4)(tx − 2) 
c) (tx + 4)(tx + 2) 
d) (tx − 8)(tx − 1) 
 
15) Resuelve 25t2 + 20t + 4 
a) (5t + 2)2 
b) (5t + 2)3 
c) (5t − 2)2 
d) (5t − 2)3 
 
 
 
P á g i n a 35 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
16) Resuelve 49x2 + 42xy + 9y2 
a) (7x − 3y)2 
b) (7x + 3y)2 
c) (7x + y)(7x + 9y) 
d) (7x − 3y)(7x + 3y) 
 
17) Resuelve 15x2 + 17xy + 4y2 
a) (−5x + 4y)(3x + y) 
b) (5x − 4y)(3x − y) 
c) (−5x + 4y)(−3x + y) 
d) (5x + 4y)(3x + y) 
Identifica correctamente los siguientes polinomios y subraya la respuesta correcta. 
18) 4x2 − 12x + 9 
a) Trinomio cuadrado perfecto 
b) Trinomio de la forma ax2 + bx + c 
c) Trinomio de la forma x2 + bx + c 
d) Trinomio de la forma x2 + b + c 
 
19) 3z2 − 30z + 27 
a) Trinomio cuadrado perfecto 
b) Trinomio de la forma ax2 + bx + c 
c) Trinomio de la forma x2 + bx + c 
d) Trinomio de la forma x2 + b + c 
 
 
20) 8z5 − 14z3 − 4z 
a) Trinomio cuadrado perfecto 
b) Trinomio de la forma ax2 + bx + c 
c) Trinomio de la forma x2 + bx + c 
d) Factor común 
 
P á g i n a 36 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
Lee con atención y resuelve los siguientes ejercicios. 
21) 27m3 − 343n6 
a) (3m − 7n2)(9m2 + 21mn2 − 49n4) 
b) (3 − 7n2)(−9m2 + 21mn2 − 49n4) 
c) (3m + 7n2)(9m2 + 21mn2 + 49n4) 
d) (3m − 7n2)(9m2 − 21mn2 + 49n2) 
 
22) 8a9 + 125b6 
a) (2a3 + 5b2)(4a6 − 10a3b2 + 25b4) 
b) (2a3 + 5b2)(4a6 − 10a3b2 + 25b4) 
c) (2a3 + 5b2)(4a6 − 10a3b2 + 25b4) 
d) (2a3 + 5b2)(4a6 − 10a3b2 + 25b4) 
 
23) 343a3 − 412b9 
a) (7a − 8b3)(49a2 − 56b3 + 64b6) 
b) (7a − 8b3)(49a2 − 56b3 − 64b6) 
c) (7a − 8b3)(49a2 + 56b3 + 64b6) 
d) (7a − 8b3)(49a2 − 56b3 − 64b5) 
 
24) El área de un cuadrado es A= 16a2 − 8a + 1.¿Cuál es la expresión que representa la 
medida de la base? 
a) 4a − 8 
b) 4a − 1 
c) 4a(x + 2) 
d) a(4a + 20) 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a 37 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
25) Un crucero tiene habitaciones dobles (2 camas) y sencillas (1 cama). En total tiene 47 
habitaciones y 79 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? 
a) 15 dobles y 32 sencillas 
b) 30 dobles y 17 sencillas 
c) 34 dobles y 14 sencillas 
d) 32 dobles y 15 sencillas 
 
26) x²+4x-21 
a) (𝑥 − 3)(𝑥 + 7) 
b) (𝑥 − 3)(𝑥 + 7) 
c) (𝑥 − 3)(𝑥 + 7) 
d) (𝑥 − 3)(𝑥 + 7) 
 
27) t6 − 7t3 + 6 
a) (𝑡3 + 6)(𝑡3 + 1) 
b) (𝑡3 − 3)(𝑡3 − 2) 
c) (𝑡3 + 3)(𝑡3 − 2) 
d) (𝑡3 − 6)(𝑡3 − 1) 
 
28) 4a4 − 9b2c2 
a) (2𝑎2 + 3𝑏𝑐)(2𝑎2 − 3𝑏𝑐) 
b) (2𝑎2 + 3𝑏𝑐)(2𝑎2 + 3𝑏𝑐) 
c) (2𝑎2 + 3)(2𝑎2 − 3) 
d) (2𝑎2 − 3)(2𝑎2 − 3) 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.5 Ecuaciones 
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, 
llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha 
incógnita. Para hallar el valor que hace que esa ecuación se cumpla tenemos que despejar 
la variable”. Cabe recalcar que el resultado de una ecuación lineal es un único valor. 
1.5.1 Ecuaciones de primer grado 
 Una ecuación de primer grado (o ecuación lineal) es una igualdad que involucra 
una más incógnitas cuyo exponente es “1” y no posee productos entre las variables, es 
decir, una ecuación que solo involucra sumas y restas. 
 Una ecuación es numérica si tiene más menos letras que sus incógnitas y es literal 
si además de las incógnitas tiene otras letras que representan cantidades conocidas. 
Para encontrar el resultado o raíces de una ecuación es necesario reducir los 
términos semejantes cuanto sea posible, después se aplica la transposición de términos 
los que contengan la incógnita se ubican en el lado izquierdo de la igualdad y los que 
carezcan de ella en el lado derecho. Por último, se despeja la incógnita dividiendo ambos 
miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita y se simplifica. 
1.5.2 Ecuaciones de segundo grado 
 Una ecuación de segundo grado es una igualdad con una sola variable o incógnita 
y el grado de la literal es dos. La ecuación de segundo grado se representa como 
Ax² + Bx + C = 0, donde Ax² representa el termino cuadrático, Bx el termino literal y C el 
termino independiente. Toda ecuación de segundo grado tiene a lomás dos soluciones, 
esto significa que la ecuación se cumplirá para máximo dos valores de la incógnita. 
Clasificación de las ecuaciones de segundo grado. 
Completa Incompleta 
Mixta Pura 
αx² + bx + c = 0 αx² + bx = 0 ax² + c = 0 
Ejemplo: 6x² + 3x – 4 Ejemplo: 9x² - 3x = 0 Ejemplo: 5x² - 15 = 0 
 
 
P á g i n a 39 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.5.2.1 Solución de una ecuación cuadrática completa. 
-Cuando la expresión es factorizable: 
1. Factorizar la ecuación. 
2. Igualar a cero cada factor. 
3. Despejar la incógnita en cada factor, para obtener las dos soluciones que cumplan 
la ecuación. 
-Cuando la expresión no es factorizable: 
1. Identificar los valores a, b y c. 
2. Sustituir cada uno de los valores a, b y c en la fórmula general: 
𝑥1,2 =
−b ± √b2 − 4ac
2a
 
Para así obtener los dos valores de la incógnita que cumplen con la ecuación. Siempre 
se debe recordar que el resultado de una raíz posee un término positivo y uno negativo. 
La discriminante (√b2 − 4ac ) determina el número y el tipo de soluciones que posee 
nuestra ecuación. Si la discriminante es positiva, nos dará dos soluciones reales una 
positiva y una negativa. Si la discriminante es negativa, el resultado perteneciente a los 
números imaginarios. Cuando nos referimos a factorizar raíces, nos referimos a un simple 
método de simplificación para poder trabajar de forma más eficaz. El proceso consiste en 
encontrar 2 números que multiplicados me den el original; donde uno de ellos posea raíz 
cuadrada exacta el cual lo representaremos como un cuadrado para cancelar la raíz. 
1.5.2.2 Solución de una ecuación Mixta incompleta 
1. Factorizamos la expresión por factor común. 
2. Igualamos a cero cada factor. 
3. Despejar la incógnita en cada factor para obtener las dos soluciones que 
cumplan la ecuación (una de las soluciones siempre es cero). 
 
P á g i n a 40 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.5.2.3 Solución de una ecuación Pura incompleta. 
Una ecuación pura es aquella que posee el término cuadrático y un término 
independiente y para resolverla vasta con despejar el valor de la incógnita (se obtendrá 
una solución positiva y una negativa por ser el resultado de una raíz). 
 
1.5.3 Sistemas de ecuaciones 
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen una 
o más incógnitas. La solución del sistema es el conjunto de valores de las incógnitas que 
satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones. Un sistema de dos ecuaciones lineales 
con dos variables “x” y “y” puede describirse de la forma a1x + b1y = c1; a2x + b2y = c2 o 
también: {
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
 donde a1, a2, b1, b2, c1 y c2 son constantes. 
1.5.3.1 Métodos de resolución 
 
Método de sustitución 
1.- Se despeja una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. La que sea más fácil. 
2.-Se sustituye en la otra ecuación la incógnita despejada. 
3.- Se resuelve la ecuación resultante, que es de primer grado, obteniendo el valor de 
una de las incógnitas. 
4.- Se sustituye el valor obtenido en la ecuación despejada al principio para obtener el 
valor de la otra incógnita. 
 
Método de igualación 
a) Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. 
b) Se igualan las dos expresiones 
c) Se resuelve la ecuación resultante, obteniendo el valor de una de las incógnitas. 
d) Se sustituye el valor de la incógnita obtenida en cualquiera de las dos ecuaciones 
despejadas al principio para obtener el valor de la otra incógnita. 
 
P á g i n a 41 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
Método de reducción 
Consiste en conseguir que al sumar las dos ecuaciones del sistema resulte una 
ecuación con una sola incógnita. Para ello será necesario multiplicar los dos miembros de 
una ecuación y en algunos casos los de las dos ecuaciones por números convenientes 
para que en las dos ecuaciones los coeficientes de una de las incógnitas sean números 
opuestos. 
 
 
 
P á g i n a 42 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
Ejercicios 1.5 Ecuaciones 
1) La solución de la ecuación 5(x-3)+3x-1=x-2 es: 
a) 
2
7
 
b) 2 
c) 
1
2
 
d) −2 
 
2) Resuelve la siguiente ecuación 3x-2=6(x-1) 
a) 4/3 (Respuesta correcta) 
b) 3/4 
c) −
4
3
 
d) −3/4 
 
3) La suma de las edades de tres personas es 88 años. La mayor tiene 20 años que la 
menor y la del medio 18 años menos que la mayor. Hallar las edades respectivas. 
a) 88, 20 y 18 años 
b) 41, 23 y 24 años 
c) 42, 22 y 24 años 
d) 40, 28 y 20 años 
 
4) La edad de Enrique es la mitad de la de Pedro; y la de Juan es el triple de la de Enrique 
y la de Eugenio es el doble de la de juan. Si las cuatro suman 132 años ¿qué edad 
tiene cada uno? 
a) Pedro 11, Enrique 22, Juan 33, Eugenio 66 
b) Enrique 11, Pedro 22, Juan 33, Eugenio 66 
c) Eugenio 11, Juan 22, Enrique 33, Pedro 66 
d) Juan 11, Eugenio 22, Enrique 30, Pedro 60 
 
 
 
P á g i n a 43 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
5) Preguntando un hombre por su edad, responde si al doble de mi edad, se restan 17 
años, se tendrá lo que me falta para tener100 años, ¿qué edad tiene el hombre? 
a) 25 años 
b) 32 años 
c) 39 años 
d) 61 años 
6) La edad de Pedro es el triple que la de Ana. Hace 10 años, la suma de sus edades era 
de 36 años, ¿Cuál es la edad de Ana ahora? 
a) 15 años 
b) 14 años 
c) 16 años 
d) 19 años 
 
7) Resuelve la siguiente ecuación: 2x² - 18 = 0 
a) x1 = 9, x2 = 0 
b) x1 = −3, x2 = 3 
c) x1 = 3 
d) x1 = −3, x2 = −3 
 
8) Resuelve la siguiente ecuación: x ( x – 1 ) – 5 ( x – 2 ) = 2 
a) x1 = 2, x2 = −4 
b) x1 = −2, x2 = −4 
c) x1 = 2, x2 = 4 
d) x1 = −2, x2 = 4 
 
 
 
 
 
P á g i n a 44 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
9) La solución del sistema 
x
2
+ 3y = 1; y x + 2y = 1. 
a) x1 =
1
2
 x2 =
1
4
 
b) x1 =
1
4
 x2 = −
1
2
 
c) x1 = −
1
2
 x2 =
1
4
 
d) x1 = −
1
2
 x2 =
1
2
 
 
10) La solución del sistema 4x + 3(y − 1) = 5; y 3(y − 1) = 2x − 7. 
a) x = 2 y = 0 
b) x = −2 y = 0 
c) x = 0 y = 2 
d) x = 0 y = −2 
 
11) 
35x
8
+
12
5
= 8 − x 
a) x =
215
224
 
b) x =
200
215
 
c) x =
224
215
 
d) x =
260
215
 
 
12) La solución del sistema 10x-3y=36 y 2x+5y= -4 
a) x = −2 y = 3 
b) x = 3 y = −2 
c) x = 3 y = 2 
d) x = −3 y = 2 
 
 
 
P á g i n a 45 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
13) La solución del sistema 3x+2y=7 y 4x-3y=-2 
a) x = −5 y = 2 
b) x = −2 y = 5 
c) x = 1 y = 2 
d) x = −2 y = 1 
 
1.6 Productos notables 
 Es el nombre que reciben las multiplicaciones con expresiones algebraicas que 
cumplen ciertas reglas y cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin 
verificar la multiplicación. Cada producto notable corresponde a una fórmula de 
factorización. 
1.6.1 Factor común 
 El resultado de multiplicar un binomio (a+b) por un término “c”, se obtiene aplicando 
la propiedad distributiva, esta nos dice que: (𝑐)(𝑎 + 𝑏) = (𝑐𝑎) + (𝑐𝑏). 
Esto puede aplicarse para la resolución de problemas. 
 
1.6.2 Binomio al cuadrado 
 Es aquel que se multiplica por sí mimo y siempre da como resultado un trinomio 
cuadrado perfecto. Para resolver un binomio al cuadrado hay que recordar unas simples 
reglas: 
1. El cuadrado del primer término 
2. El doble producto del primer término por el segundo 
3. El cuadrado del segundo término 
(a ± b)2 
a2 ± 2(ab) ± b2 
 
P á g i n a 46 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.6.3 Binomios conjugados 
 Son dos binomios con los mismos términos, pero con signos contrarios. 
(x + y)(x − y) 
x2 − xy + xy − y2 
x2 − y2 
1.6.4 Binomios con término común 
 El producto de dos binomios del tipo (x + a)(x + b) es igual al cuadrado del primer 
término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, 
más el producto de lossegundos términos. 
x2 + x(a + b) + ab 
 
1.6.4 Binomios al cubo 
 El binomio al cubo o el cubo de un binomio se puede definir como: la suma o la 
resta de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple producto del 
primero por el cuadrado del segundo, más el triple producto del segundo por el cuadrado 
del primero, más el cubo del segundo. 
(x + y)3 
(x2 + 2(xy) + y2)(x + y) 
(x3 + 2x2y + xy2 + x2y + 2xy2 + y3) 
(x3 + [2x2y + x2y] + [xy2 + 2xy2] + y3) 
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 
 
 
 
 
P á g i n a 47 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.6.5 Binomio de Newton 
 Un binomio corresponde a un polinomio que se encuentra formado por dos 
términos. Newton desarrolló la fórmula para así proceder al cálculo de las potencias de un 
binomio usando para esto números combinatorios. Por medio de esta fórmula se puede 
formular la potencia que se requiere como la suma de varios términos, cuyos coeficientes 
se pueden hallar utilizando el triángulo de Tartaglia o Pascal. 
 
Ilustración 1 Triangulo de Tartaglia 
 Para entender esto más a fondo trabajemos con el binomio (a+b) a diferentes 
potencias. 
(a + b)1 = a1 + b1 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3b2a + b3 
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 
 Ahora plantearemos la fórmula del binomio de newton, para hallar las potencias 
de cada binomio, donde el número de términos será n+1. 
(a ± b)n = (
n
0
) anb0 ± (
n
1
) an−1b ± (
n
2
) an−2b2 ± (
n
3
) an−3b3 ± ⋯ ± (
n
n
) bn 
 
Con esto podemos observas que: 
 
P á g i n a 48 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
 
Ilustración 2 Triangulo para n=5 
 
 
 
n=0 
n=1 
n=2 
n=3 
n=4 
n=5 
n=6 
n=7 
n=8 
 
P á g i n a 49 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
Ejercicios 1.6 Productos notables 
Resuelve los siguientes binomios 
1) (8z + 3w)2 
a) 4𝑧2 + 48𝑧𝑤 + 9𝑤2 
b) 4𝑧2 + 48𝑧𝑤 + 9𝑤 
c) 64𝑧2 + 48𝑧𝑤 + 9𝑤2 
d) 64𝑧2 + 48𝑧𝑤 + 9𝑤 
 
2) (3x2 − 4z3)6 
a) −729𝑥12 + 5832𝑥10𝑧3 − 199440𝑥8𝑧6 − 34560𝑥6𝑧9 + 34560𝑥4𝑧12 − 18432𝑥2𝑧15 + 4096𝑧18 
b) 729𝑥12 + 5832𝑥10𝑧3 + 199440𝑥8𝑧6 − 34560𝑥6𝑧9 + 34560𝑥4𝑧12 + 18432𝑥2𝑧15 + 4096𝑧18 
c) 79𝑥12 − 5832𝑥10𝑧3 + 199440𝑥8𝑧6 − 34560𝑥6𝑧9 + 34560𝑥4𝑧12 − 18432𝑥2𝑧15 + 4096𝑧18 
d) −79𝑥12 − 5832𝑥10𝑧3 + 199440𝑥8𝑧6 − 34560𝑥6𝑧9 + 34560𝑥4𝑧12 − 18432𝑥2𝑧15 + 4096𝑧18 
 
3) (2y + 4p)4 
a) 4𝑦4 + 16𝑦3𝑝 + 16𝑦2𝑝2 + 8𝑦𝑝3 + 16𝑝4 
b) 16𝑦4 − 128𝑦3𝑝 − 384𝑦2𝑝2 − 512𝑦𝑝3 + 256𝑝4 
c) 16𝑦4 + 128𝑦3𝑝 + 384𝑦2𝑝2 + 512𝑦𝑝3 + 256𝑝4 
d) 4𝑦4 + 16𝑦3𝑝 + 16𝑦2𝑝2 + 8𝑦𝑝3 + 16𝑝4 
 
4) (82x2 + 84d2) (82x2 − 84d2) 
a) 4096x4 − 16777216d4 
b) 4096x2 − 32d2 
c) 16x2 − 62d2 
d) 4096x4 + 16777216d4 
 
 
 
 
 
 
P á g i n a 50 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
5) (3x2 + 6y)3 
a) 27x6 + 81x4y + 324x2y2 + 216y3 
b) 27x6 + 81x4y + 324x2y2 − 216y3 
c) 27x6 + 162x4y + 324x2y2 + 216y3 
d) 27x6 − 162x4y + 324x2y2 − 216y3 
 
6) (x + 4)(x − 4) 
a) 𝑥2 + 16 
b) 𝑥2 − 16 
c) 𝑥2 − 8𝑥 + 16 
d) 𝑥2 + 8𝑥 + 16 
 
7) (2t − w4)4 
a) 16𝑤4 + 24𝑡2𝑤8 − 8𝑡𝑤12 + 𝑤16 
b) 6𝑡4 + 24𝑡2𝑤8 − 8𝑡𝑤12 + 𝑤16 
c) 6𝑡4 − 32𝑡3𝑤4 + 24𝑡2𝑤8 − 8𝑡𝑤12 + 𝑤16 
d) 16𝑡4 + 32𝑡3𝑤4 + 24𝑡2𝑤8 − 8𝑡𝑤12 + 𝑤16 
 
8) (a2 + b)(a2 − b) 
a) 𝑎4 − 𝑏 
b) 𝑎4 − 𝑏4 
c) 𝑎4 + 𝑏4 
d) 𝑎4 − 𝑏2 
 
9) (2a3 + c3)3 
a) 𝑎9 + 12𝑎6𝑐3 + 6𝑎3𝑐6 + 𝑐9 
b) 8𝑎9 + 12𝑎6𝑐3 + 6𝑎3𝑐6 + 𝑐9 
c) 𝑎9 + 12𝑎6𝑐3 + 6𝑎3𝑐6 + 8𝑐9 
d) 8𝑎9 + 12𝑎6𝑐3 + 6𝑎3𝑐6 + 8𝑐9 
 
 
P á g i n a 51 | 191 
 
1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
10) (3𝑥 + 𝑦)4 
a) 81𝑥4 + 108𝑥3𝑦 + 54𝑥2𝑦2 + 12𝑥𝑦3 + 𝑦4 
b) 81𝑥4 − 108𝑥3𝑦 + 54𝑥2𝑦2 + 12𝑥𝑦3 − 𝑦4 
c) 9𝑥4 + 54𝑥3𝑦 + 12𝑥2𝑦2 + 𝑦4 
d) 9𝑥4 + 54𝑥3𝑦 + 54𝑥2𝑦2 + 𝑦4 
 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
Ilustración 3 Plano cartesiano 
1.7 Representaciones gráficas 
1.7.1 El plano cartesiano 
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra 
vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas (X), 
y la vertical, eje de las ordenadas (Y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. 
Tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por 
sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del 
eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar 
en el plano cartesiano con base en sus coordenadas. Los valores del plano cartesiano se 
extienden desde el infinito negativo (-∞) hasta el infinito positivo (∞) en ambos ejes. 
Cuando se mueven en el eje de las X se le denomina “Rango” y cuando se mueven en el 
eje de las Y se le denomina “Dominio”. 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
Un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus 
coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y). Si tenemos los siguientes puntos: 
P1(2,1), P2(-3,-3) y P3(-1,5) y los deseamos poner en un plano, solo hacemos lo siguiente. 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
Ilustración 5 Uniendo los puntos 
 
Ilustración 4 Puntos en un plano 
 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.7.2 Funciones. 
 Es una relación entre el dominio (conjunto de X) y el rango (el conjunto de Y). Esto 
nos dice que, a cada elemento en X le corresponde un único elemento de Y. Para referirse 
a una función como regla general se utiliza la letra “f”, como, por ejemplo: f(x) o f(y)o f(t). 
 Otra forma más fácil de ver una función es pensar en ella como una regla que 
asigna a cada elemento de un conjunto A un único elemento de un conjunto B. 
1.7.3 Relaciones 
 Se refiere a la correspondencia que existe entre dos conjuntos, a cada elemento 
del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto. Esto 
quiere decir que toda función matemática es una relación, pero no toda relación es una 
función. 
 Las relaciones matemáticas se representan de la siguiente forma 
Rn = {(x, y)/ "La relación que existe ente ellos"} 
1.7.4 Gráficas de ecuaciones 
Si se quiere graficar una ecuación se deben tomar distintos valores para x, tanto 
positivos como negativos para observar cómo se comporta y sustituir en la función. La 
función cuadrática más básica y simple tiene la ecuación . Si hacemos una tabla con 
los valores de esta función, vemos que el rango no se comporta como una función lineal. 
En una función lineal, el valor de “Y “cambia por la misma cantidad cada vez que el valor 
de “X” aumenta por 1. Eso no sucede con una función cuadrática: f(x)=x2 
Si x=-3, entonces f(-3)=−32 
 
 
 
 
 
 
x y = x2 
-3 9 
-2 4 
-1 1 
0 0 
1 1 
2 4 
3 9 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
Ilustración 7.- 𝒚 = 𝒙𝟐(verde) 𝒚 = 𝟐𝒙𝟐(roja) 
Una vez obtenidos los puntos los representamos en un plano cartesiano y los 
unimos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.7.4.1 Traslación de una parábola 
 Cuando hablamos de parábolas si tomamos x2 como ejemplo, tendremos una 
gráfica como la anterior que se extenderá tanto como valores le demos, pero si a esta 
simple ecuación le agregamos un complemento ax2. El valor de “a” nos dirá que tanto se 
agranda o se reduce la parábola. 
 
Ilustración 8.- 𝒚 = 𝒙𝟐 
 
Ilustración 6 Parábola 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
Ilustración 9 Valor de a negativo 
 Si en dado caso el valor de a fuese negativo, la forma de la parábola será la misma, 
pero se invertiría como en un espejo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.7.4.2 Funciones polinómicas. 
Son funciones que constan de un polinomio de grado n, donde n es un entero 
positivo. Resulta evidente, que el coeficiente del grado mayor no puede ser cero, o sea, a 
tiene que ser diferente de cero, para que el gradodel polinomio se n. 
f(x) = axn + bxn−1 + cx + d 
 En una función polinómica el número máximo de intersecciones con el eje de las 
“X” lo determina el grado de esta. Si hablamos de una función de tercer grado, el número 
máximo de intersecciones es de 3. 
 Dependiendo del grado del polinomio es la forma de la gráfica que se obtendrá. 
 
 
 
 
 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
 
Ilustración 10 Primer grado x 
 
 
Ilustración 11 Segundo grado 𝒙𝟐 
 
Ilustración 12 Tercer grado 𝒙𝟑 
 
Ilustración 13 Cuarto grado 𝒙𝟒 
 
 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
Ejercicios 1.7 Representaciones gráficas 
1) Si el punto "a" gira 90° en el sentido del reloj y el punto "b" se mantiene en el mismo 
lugar, ¿cuáles son las nuevas coordenadas del punto "a"? Dibuja la respuesta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Cuál será el valor de las coordenadas del punto "b" y "c", si el triángulo (ilustración 14) se 
mueve tres unidades a la izquierda y dos hacia arriba. 
3) De acuerdo con la siguiente imagen, en el eje de las "x", ¿qué coordenadas indican los 
extremos del diámetro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) De acuerdo con la imagen anterior, si el círculo se moviera tres unidades a la izquierda, y 
dos abajo ¿cuál sería su punto medio? 
5) Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por 
la regla “ y es el doble de x ” o “ y = 2 x ”, encontrar dominio y rango de la relación. 
Ilustración 14 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
6) Grafique f(x) = x2 + 4 
7) Grafique f(x) = 2x2 + x 
8) Grafique f(x) = x2 − x + 1 
9) Grafique f(x) = x3 + 2x2 − 3x + 5 
10) Grafique f(x) = (x² + 4𝑥 − 6) / 2 
 
 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.8 Geometría 
1.8.1 Paralelismo y congruencia 
1.8.1.1 Paralelismo 
 En la geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre 
cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiper planos y 
demás). Recordamos que en el plano cartesiano dos rectas son paralelas si tienen la 
misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes. 
 
En la figura podemos ver la recta roja y la negra, ambas tienen la misma pendiente 
porque el coeficiente en x vale uno en ambas ecuaciones, esto quiere decir que la 
pendiente es: m =
1
1
, que cuando ambas rectas suben una unidad sobre el eje de “y” 
hacia la derecha, también crecen sobre el eje “x” otra unidad, por lo que forman 45° 
respecto al eje x. 
 
 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
 
1.8.1.2 Congruencia 
 Se dice que dos figuras geométricas son congruentes si tienen el mismo tamaño y 
forma, sim importar su posición u orientación. En otras palabras, si ambas figuras son 
iguales. 
 
 
La congruencia no solo aplica a las figuras geométricas, también se puede aplicar 
a los ángulos. Se denominan ángulos congruentes a todos aquellos que tienen la misma 
medida en grados, sin importar la dirección a la que apuntan o la longitud de las líneas 
entre las que se encuentran. Esto aplica cuando dos rectas paralelas se cortan por una 
recta secante, determinan ocho ángulos. 
Ilustración 15 Rectas paralelas, tienen la misma pendiente 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
 
Ilustración 16 Ángulos congruentes entre paralelas 
Observando la ilustración anterior podemos notar a simple vista que los ángulos 1 
y 5 miden lo mismo al igual que las parejas de ángulos 7 y 3, 6 y 2, 8 y 4. Este teorema es 
muy útil, cuando necesitamos obtener la medida de cierto ángulo que no conocemos. Si 
la recta secante es perpendicular a ambas rectas se formar 8 ángulos de 90° 
También podemos aplicar los teoremas de congruencia a las figuras 
geométricas. El teorema nos dice que dos figuras geométricas son congruentes si tienen 
los lados iguales y el mismo tamaño; si existe una isometría que los relaciona. Los criterios 
son: 
Lado-Lado-Lado(LLL).- Son congruentes si tres lados son respectivamente iguales 
a = a’ 
b = b’ 
c = c’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ilustración 17 triángulo ABC = triángulo A’B'C’ 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
Ilustración 19 triángulo ABC = triángulo A’B'C’ 
Ilustración 20triángulo ABC = triángulo A’B'C’ 
Lado-Ángulo-Lado(LAL). - Son congruentes si 2 lados y el ángulo comprendido entre 
ellos son iguales. 
b = b’ 
c = c’ 
α = α’ 
 
 
 
 
Ángulo-Lado-Ángulo(ALA). - Son congruentes si, uno de sus lados y los ángulos en los 
extremos de este, son iguales. A dichos ángulos se les denomina adyacentes al lado. 
b = b’ 
α = α’ 
β = β’ 
 
 
 
 
 
Lado-Lado-Ángulo(LLA).- Son congruentes si tienen dos lados iguales el ángulo opuesto 
al mayor también es igual. 
a = a’ 
b = b’ 
β = β’ 
 
 
 
 
 
Ilustración 18 triángulo ABC = triángulo A’B'C’ 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.8.2 Teorema de Thales y rectas (mediatriz y bisectriz) 
 Si tenemos dos rectas “r” y “s” en un plano y tres rectas paralelas entre sí que corten 
a las anteriores determinan segmentos correspondientes proporcionales. Es decir 
AB
BC
=
A´B´
B´C´
 ó bien 
AB
A´B´
=
B´C´
B´C´
. Supongamos que los segmentos AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅̅̅ tienen una unidad común 
(u), la cual está contenida “p” veces en AB y “q” veces en BC, siendo p y q números 
naturales. En ese caso: 
AB̅̅ ̅̅
BC̅̅̅̅
=
(p)(u)
(q)(u)
=
p
q
 
 Si llevamos la unidad de medida común sobre AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅̅̅ , y trazamos paralelas, por 
los puntos de división, estas interceptarán “p” segmentos iguales en A´B´̅̅ ̅̅ ̅̅ y “q” segmentos 
iguales en B´C´̅̅ ̅̅ ̅ como consecuencia del teorema anterior. Además, serán todos ellos 
iguales entre sí y de amplitud u´, por lo tanto 
AB
BC
=
A´B´
B´C´
. Esta igualdad será cierta cualquiera 
que sea la unidad de medida común. 
 Cuando las unidades no son las mismas y tenemos dos rectas cuales quieras y se 
cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de 
las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, 
B’C’). 
 
 
 
 
 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.8.2.1 Mediatriz 
Se llama mediatriz al segmento perpendicular al lado de 
un triángulo por su punto medio. Para trazar la mediatriz de un 
segmento, en nuestro caso, del segmento AB̅̅ ̅̅ debes dibujar dos 
semicírculos, con el mismo radio, haciendo centro en A y en B. 
Ambas curvas se cortarán en dos puntos que son 
suficientes para trazar una recta que pase por dichos puntos. 
En el caso de un triángulo debemos dibujar las tres 
mediatrices, una por cada lado siguiendo el mismo 
procedimiento: 
 
 
 
 
 
1.8.2.2 Bisectriz 
En un triángulo, las rectas que dividen por la mitad los ángulos internos se llaman 
bisectrices. El Teorema de la Bisectriz enuncia que las bisectrices internas y externas de 
un ángulo en un triángulo cortan al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados 
adyacentes a dicho ángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
Ilustración 21 Mediatriz 
Ilustración 23 Ángulo de bisectriz 
Ilustración 22 Mediatriz de un triángulo 
Ilustración 24 Bisectriz 
 
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1. Pensamiento matemático- Matemáticas 
1.8.3 Figuras geométricas: perímetro, área y volumen 
Por medio de las fórmulas podemos calcular, medir, resolver los problemas que se nos 
presentan con las figuras y sus propiedades en el plano y el espacio. Las fórmulas son las 
expresiones matemáticas por medio de las cuales se pretende resolver o representar un 
problema; en el caso de la geometría se aplican a las figuras y sus propiedades. 
Las fórmulas básicas de geometría son: 
• El área (A): es la medida de la región interior de una figura, o su superficie.