Razones de cambio

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Razones de cambio 
RELACIONADAS
Ritmos de cambio relacionados
La derivada como razón de cambio
• Si y es una cantidad que depende de otra cantidad x, expresamos a y como 
• Si x cambia de el incremento en x es: 
Y el correspondiente incremento en y es:
• se llama razón de cambio promedio de y con respecto a x
• Si hacemos que el incremento en x sea cada vez más chico (tienda a cero), 
obtenemos: 
Razones de cambio
ejemplo
En algunos problemas se requiere que se 
determine la razón de cambio (también se 
denomina ritmo de cambio o tasa de cambio) de 
una función.
 ¿qué tan rápido cambia una cantidad con 
respecto a otra?
Esta razón de cambio se expresa por la derivada 
de la función.
 
Nos preguntamos cómo cambia la cantidad de desechos en un momento 
específico, o sea una razón de cambio instantánea, para ello utilizamos la 
derivada.
solución
Son toneladas 
de desecho
Son días
o bien
o bien
 
para t=3
 
luego
Respuesta: la cantidad de desechos aumenta a razón 
de 2,4 toneladas por día.
Algunas utilidades de la derivada, interpretada como razón de cambio:
En Física: 
Velocidad
Cambio en desplazamiento con respecto al tiempo
En Economía – Costo marginal Cambio del costo de producción en función de la 
cantidad de artículos producidos
Ingeniería Variación del nivel de agua en una represa
En Geografía: Crecimiento poblacional Variación de la cantidad de la población luego de una epidemia
En Meteorología Cambio de la presión atmosférica en función de la altura
En Psicología – Curva de aprendizaje
En sociología: Divulgación de rumores
Ritmos relacionados ó 
Razones de cambio relacionadas 
Es frecuente que en un problema se encuentren relacionadas dos o más 
variables, cada una de ellas en función del tiempo. 
Cuando hay variables relacionadas, también lo están sus razones de cambio. 
Cuando se tiene una ecuación que involucra más de una variable y todas son 
funciones del tiempo, se puede determinar la relación entre sus razones de 
cambio derivando la ecuación respecto del tiempo; lo cual suele involucrar 
tanto regla de la cadena como derivación implícita.
Estrategias para resolver problemas de 
razones de cambio relacionadas 
• Identificar las magnitudes dadas y las magnitudes a determinar. Asignar 
nombres (notación), dar expresiones simbólicas para las cantidades que son 
funciones del tiempo.
• Escribir una ecuación que contenga las variables cuyas razones de cambio son 
dadas o las que deben determinarse.
• Usar la regla de la cadena, derivar implícitamente ambos lados de la ecuación 
planteada, con respecto al tiempo t.
• Completado el paso anterior, sustituir en la ecuación resultante los valores 
conocidos de las variables y de las razones de cambio. Luego despejar lo que 
se deseaba calcular.
 
EJEMPLO
 
 
El volumen está relacionado con el radio 
y con la altura en el tiempo.
 
Volumen de la esfera
D
er
iva
ci
ón
 im
pl
íc
ita
Regla de la cadena
Teniendo en cuenta que el volumen varía según varía el radio, y a su vez, el radio varía según 
el paso del tiempo, buscamos una manera de relacionar estas razones de cambio
Ree
mpl
azo 
los d
atos Despejo
Respuesta: El radio del globo se incrementa a razón de 
dr
Ejercitación
Ver Práctico