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Lic. en Criminalística Matemática I Apunte Teórico Unidad 1
UNIDAD I: POLINOMIOS Y EXPRESIONES RACIONALES.
Temas: Factorización de polinomios: casos de factoreo y factorización por raíces. Orden de
multiplicidad de las raíces. Resolución de ecuaciones polinomiales e inecuaciones polinomiales.
Expresiones algebraicas racionales: dominio, simplificación, operaciones, resolución de
ecuaciones.
Problema de introducción
La intensidad de la reacción de un cuerpo a una dosis D de un cierto fármaco en, está dada por
, ¿para qué dosis el cuerpo tendrá una reacción nula al medicamento?
5. 𝐷2
2 −
𝐷3
3
Factorización de polinomios
Comencemos esta unidad recordando cómo se realiza la multiplicación de polinomios:
Multiplicación entre polinomios:
El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen
multiplicando cada término del primero por cada término del segundo (aplicando propiedad
distributiva). Luego se suman o restan los términos semejantes.
Ejemplo:
Realizar la multiplicación entre los polinomios 4𝑥2 − 16( ) 𝑦 𝑥 + 1( )
4𝑥2 − 16( ) 𝑥 + 1( ) = 4𝑥2. 𝑥 + 4. 𝑥2 − 16. 𝑥 − 16. 1
= 4𝑥3 + 4𝑥2 − 16𝑥 − 16
Si ahora, invertimos el procedimiento y tratamos de escribir un polinomio como producto de
otros polinomios. Este proceso se llama factorización, y cada polinomio en el producto se
llama factor del polinomio original.
Es decir partimos de un polinomio, por ejemplo y deseamos escribirlo4𝑥3 + 4𝑥2 − 16𝑥 − 16
como la multiplicación de dos o más polinomios 4𝑥3 + 4𝑥2 − 16𝑥 − 16 = 4𝑥2 − 16( ) 𝑥 + 1( )
Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más polinomios de grado
menor o igual que él.
Si un polinomio no se puede escribir como el producto de otros dos polinomios (excepto 1 y -1),
entonces se dice que el polinomio es primo.
Ejemplos de polinomios primos son
2, 3, 5, 𝑥, 𝑥 + 1, 𝑥 − 1, 𝑥 + 4/3, 𝑥2 + 1
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Ejemplos de polinomios no primos son
4, 2𝑥, 𝑥2 − 1, 6𝑥 − 2 
Generalmente, buscamos factores polinomiales de grado 1 o mayores. Al factorizar, a veces
podemos sustituir una expresión complicada por un producto de factores lineales. Un ejemplo
es:
4𝑥3 + 4𝑥2 − 16𝑥 − 16 = 4. 𝑥 − 2( ). (𝑥 + 2). (𝑥 + 1)
Cuando un polinomio se escribe como un producto que consiste en solo factores primos, se dice
que está completamente factorizado. Un ejemplo es:
4. 𝑥 − 2( ). (𝑥 + 2). (𝑥 + 1)
Recordemos los métodos de factorización, que permiten expresar un polinomio en su forma
factorizada:
● Factor común: Puede aplicarse cuando un factor es común a todos los términos de un
polinomio El factor común es la indeterminada del polinomio elevada a su menor𝑃(𝑥).
exponente, y/o el divisor común mayor (DCM) de todos los coeficientes del mismo.
EJEMPLO 1:
Para poder escribir este polinomio como producto de polinomios de grados menores que
él, se procederá del siguiente modo:
- Se consideran los coeficientes del polinomio dado; en este caso, estos coeficientes son:
6, 3, 9.
- Se calcula el divisor común mayor entre estos coeficientes; en este caso será: 3.
- Se determina la indeterminada común a todos los términos con el menor exponente con
el que aparece; en este caso es: .𝑥
De este modo, se obtuvo , que es el monomio por el que se podrán dividir cada uno de 3𝑥
los términos del polinomio dado.
Entonces, se continúa con la división de cada uno de los términos del polinomio dado por
el monomio . Esto es, dividir de la siguiente manera: 3𝑥 
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Entonces, estos monomios resultantes componen el nuevo polinomio que será parte de la
expresión factorizada. Después de esto se obtiene lo siguiente:
De este modo, se obtuvo el producto entre un monomio de grado uno y un polinomio de
grado dos; por lo tanto, son dos polinomios de menor grado que el polinomio dado.
Luego, se puede decir que el polinomio dado está factorizado.
Como se puede extraer el monomio como factor dividiendo cada uno de los términos 3𝑥
del polinomio por este monomio, se dice que es el “factor común” a todos los 3𝑥
términos del polinomio.
EJEMPLO 2: Factorizar 12𝑥4 − 60𝑥3
12𝑥4 − 60𝑥3 = 12𝑥3 • 𝑥 − 5( )
EJEMPLO 3: Factorizar 2𝑥2 − 4𝑥5 − 3𝑥6 + 𝑥2
2𝑥2 − 4𝑥5 − 3𝑥6 + 𝑥2 = 𝑥2 • 2 − 4𝑥3 − 3𝑥4 + 1( )
EJEMPLO 4: Factorizar 15 𝑥 + 2( )2 − 9 𝑥 + 2( )3
15 𝑥 + 2( )2 − 9 𝑥 + 2( )3 = 3 𝑥 + 2( )2[5 − 3 𝑥 + 2( )]
15 𝑥 + 2( )2 − 9 𝑥 + 2( )3 = 3 𝑥 + 2( )2[5 − 3𝑥 − 6]
15 𝑥 + 2( )2 − 9 𝑥 + 2( )3 = 3 𝑥 + 2( )2 − 3𝑥 − 1( )
● Factor común por grupos: Existen polinomios que no tienen un factor común en todos
sus términos, pero que presentan una estructura que permite formar grupos de igual
cantidad de términos y extraer factor común en cada uno de esos grupos. Una vez
hecho esto, observamos si tenemos un nuevo factor común en todos los grupos. Si
esto ocurre, lo extraemos y el polinomio quedará factorizado.
EJEMPLO 1:
Se tiene ahora, el siguiente polinomio, al que se deberá factorizar:
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Se puede observar que en él no es posible factorizar extrayendo factor común, ya que no
existe un factor común a todos los términos. Entonces, se propone formar grupos de igual
número de términos donde sí se pueda extraer algún factor común. Se pueden considerar,
por ejemplo, estos dos modos de agrupar:
Se elige una de las dos formas (en este caso, la primera) y se observa cuál es el factor
común que se puede extraer del primer grupo, y lo mismo para el segundo. Se concluye
que se puede extraer en el primer grupo y en el segundo. Por lo tanto, la expresión𝑥4 2
quedaría así:
Se puede ver, que en ambos términos hay una expresión que se repite; esta expresión es
. Por lo tanto, es un factor común a ambos términos.(7𝑥 − 5) (7𝑥 − 5)
Entonces, si es un factor común a ambos términos, se lo podrá extraer aplicando el
primer caso de factorización. Luego, se tiene lo siguiente:
Como el polinomio dado pudo ser expresado como producto de dos polinomios de grado
menor que él, podemos decir que ese polinomio está factorizado.
Observe que:
 Los grupos que se han formado tienen igual cantidad de términos.
 De cada uno de los grupos se puede extraer un factor común.
 Una vez extraído el factor común, deberá quedar una expresión común a cada uno de los
términos para que ella pueda extraerse como factor común.
Entonces, como este modo de factorizar implica formar grupos de igual cantidad de
términos y luego aplicar el primer caso en cada uno de los grupos, se puede decir que
este modo de factorizar polinomios se corresponde con otro caso de factorización. Este es
el segundo caso de factorización y se denomina Factor común por grupos.
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EJEMPLO 2: Factorizar
EJEMPLO 3: Factorizar 𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 6
𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 6 = (𝑥3 − 2𝑥2) + (3𝑥 − 6)
𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 6 = 𝑥2(𝑥 − 2) + 3(𝑥 − 2)
 𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 6 = 𝑥2 + 3( ) 𝑥 − 2( )
● Trinomio cuadrado perfecto: Se aplica cuando existe un trinomio de grado par, con
dos términos que son cuadrados perfectos y un término que es el doble del producto
de las bases de los cuadrados perfectos.
Para comenzar a estudiar este caso, se debe recordar el concepto de cuadrado de un
binomio.
(a + b)
2
= a
2
+ 2.a.b + b
2
binomio al cuadrado trinomio cuadrado perfecto
Por ser una igualdad es posible escribir el trinomio cuadrado perfecto como un binomio al
cuadrado, permitiendo factorizar el polinomio.
a
2
+ 2.a.b + b
2
= (a + b)
2
EJEMPLO 1 Factorizar 4𝑥2 + 12𝑥 + 9
Analicemos si el polinomio dado es un trinomio cuadrado perfecto, intentando encontrar
las bases que lo conforman.
Una vez encontradas las bases, se comprueba si es un trinomio cuadrado perfectoverificando el término del doble producto. Se hace deducir esto de la fórmula del binomio
al cuadrado.
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Por último se escribe el binomio al cuadrado.
A este método que nos sirve para factorizar trinomios cuadrados perfectos, se lo llama
trinomio cuadrado perfecto.
EJEMPLO 2 Factorizar
Pero 12x no es igual que el término del polinomio -12x. Se prosigue considerando alguna
de las bases negativas.
- considerando
- considerando
Entonces si consideramos una de las bases negativa obtenemos el doble producto de las
bases.
Por lo cual podemos escribir o bien
Ambos resultados son correctos.
Al factorizar un trinomio cuadrado perfecto se debe tener en cuenta que:
Los términos cuadrados siempre son positivos.
El término del doble producto es positivo siempre que ambas bases sean positivas o
ambas bases sean negativas.
El término del doble producto es negativo siempre que las bases tengan signos
opuestos.
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EJEMPLO 3: Factorizar 𝑥8 + 12𝑥4 + 36
𝑥8 + 12𝑥4 + 36 = 𝑥4 + 6( )
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● Cuatrinomio cubo perfecto: Es aplicable cuando existe un polinomio de cuatro
términos tal que dos de sus términos son cubos perfectos, un término es el triple del
cuadrado de la base del primer término por la base del segundo; y el término restante
es el triple de la base del primer término por el cuadrado de la base del segundo
término.
Para comenzar a estudiar este caso, se debe recordar el concepto de cubo de un binomio.
Por ser una igualdad es posible escribir el trinomio cuadrado perfecto como un binomio al
cubo, permitiendo factorizar el polinomio.
𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏( )3
EJEMPLO 1 Factorizar
Se observa que es un cuatrinomio, donde dos de sus términos son cubos: y .𝑥3 27
Entonces, lo que se intenta realizar es expresar el cuatrinomio dado como el cubo de un
binomio. Para ello, se deberá encontrar las bases de y ; ellas son : y ,𝑥3 27 𝑥 3
respectivamente.
Luego, se deberá formar con estas bases los términos no cúbicos del cuatrinomio. Para
ello se escribe:
El triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda:
El triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda:
Como se obtuvieron los dos términos no cúbicos del cuatrinomio, se puede decir que el
cuatrinomio dado es un cuatrinomio cubo perfecto, por lo que se podrá escribir como el
cubo de un binomio del siguiente modo:
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EJEMPLO 2: Factorizar
En este caso, los términos cúbicos son : y ; por lo tanto las bases respectivas son𝑥3 − 8 𝑥
y . Ahora queda probar que los términos no cúbicos son el triple del cuadrado de la − 2
primera base por la segunda y el triple del cuadrado de la segunda base por la primera:
Por lo tanto, el cuatrinomio dado cumple con las características de un cuatrinomio cubo
perfecto, por lo que entonces se podrá escribir:
EJEMPLO 3: Factorizar
Aquí, los términos cúbicos son y . Luego, las bases serán y ,
respectivamente.
El triple del cuadrado de la primera base por la segunda es: . Y el
triple del cuadrado de la segunda base por la primera es: . Por lo
tanto, se pudieron hallar los términos no cúbicos del cuatrinomio. Luego, se puede decir
que es un cuatrinomio cubo perfecto y éste se puede escribir de este modo:
Observaciones:
Al factorizar un cuatrinomio cubo perfecto se debe tener en cuenta que:
Los términos cúbicos son positivos siempre que las bases sean positivas.
Los términos cúbicos son negativos siempre que las bases sean negativas.
Dos términos son positivos y dos términos son negativos siempre que las bases tengan
signos opuestos.
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● Diferencia de cuadrados: Puede aplicarse cuando el polinomio es de la forma 𝑎2 − 𝑏2.
Estos términos pueden expresarse como el producto de la suma por la diferencia de
las bases y .𝑎 𝑏
Recordemos uno de los productos notables, el producto de binomios conjugados
𝑎2 − 𝑏2 = 𝑎 + 𝑏( ) • 𝑎 − 𝑏( )
Por ser una igualdad es posible escribir la diferencia de cuadrados como el producto de
binomios conjugados, permitiendo factorizar el polinomio.
EJEMPLO 1: Factorizar 4𝑡2 − 125 
Entonces las bases son: y2𝑡 15
La factorización será la siguiente:
 4𝑡2 − 125 = 2𝑡 +
1
5( ). 2𝑡 − 15( )
EJEMPLO 2: Factorizar 𝑥2 − 64
𝑥2 − 64 = (𝑥 + 8)∙(𝑥 − 8)
EJEMPLO 3: Factorizar 25 𝑎2 – 4
25 𝑎2 – 4 = 5𝑎 + 2( ). (5𝑎 − 2)
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COMBINACIÓN SUCESIVA DE LOS CASOS DE FACTOREO
Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más polinomios de grado
menor que él.
Por ejemplo:
3𝑥3 − 12𝑥 = 3𝑥. (𝑥2 − 4)
Se ha factorizado, aplicando el caso de factorización “factor común”.
Pero se puede observar, que el polinomio dentro del paréntesis puede seguir
factorizándose.
Podemos aplicar, el caso de factorización “diferencia de cuadrados”, y el polinomio
quedará:
 3 𝑥3 − 12 𝑥 = 3𝑥. 𝑥2 − 4( ) = 3𝑥. 𝑥 + 2( ). (𝑥 − 2)
Se puede ver que no se puede seguir aplicando ningún caso de factorización, es decir, el
polinomio está factorizado completamente.
Un polinomio quedará factorizado completamente, cuando quede expresado como el
producto de dos o más polinomios, que no puedan descomponerse en el producto de otros
polinomios de grado menor.
Ejemplo2: Factorizar 4𝑥3 − 4𝑥2 − 36𝑥 + 36
- Asociamos los términos del segundo miembro, formando dos grupos de igual cantidad de
términos, para aplicar el método de factor común por grupos:
4𝑥3 − 4𝑥2( ) + − 36𝑥 + 36( )
- Extraemos, en el primer término del segundo miembro, factor común ; y extraemos4𝑥2
en el segundo término del segundo miembro factor común − 36:
4𝑥3 − 4𝑥2 − 36𝑥 + 36 = 4𝑥2(𝑥 − 1) − 36(𝑥 − 1)
- Extraemos factor común en el segundo miembro:𝑥 − 1( )
4𝑥3 − 4𝑥2 − 36𝑥 + 36 = 𝑥 − 1( ) 4𝑥2 − 36( )
- Extraemos factor común en el segundo factor del segundo miembro:4
4𝑥3 − 4𝑥2 − 36𝑥 + 36 = 𝑥 − 1( ) • 4 𝑥2 − 9( )
- Aplicamos, en segundo miembro, el método de diferencia de cuadrados en el último
factor y propiedad conmutativa de la multiplicación en el primer y segundo factor:
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4𝑥3 − 4𝑥2 − 36𝑥 + 36 = 4∙ 𝑥 − 1( ) • 𝑥 − 3( ) • 𝑥 + 3( )
Finalmente queda factorizado de la siguiente manera:
4𝑥3 − 4𝑥2 − 36𝑥 + 36 = 4∙ 𝑥 − 1( ) • 𝑥 − 3( ) • 𝑥 + 3( )
Raíz de un polinomio
Decimos que un número perteneciente a los reales o complejos es raíz o cero de un polinomio𝑎
si y sólo si la especialización de en es .𝑃(𝑥) 𝑃(𝑥) 𝑎 0
es raíz de𝑎 𝑃 𝑥( )⟺𝑃 𝑎( ) = 0
EJEMPLO1: Comprobemos si es raíz de .𝑥 =− 1 𝑀 𝑥( ) = 𝑥5 − 𝑥3
Especializamos en :𝑀(𝑥) 𝑥 =− 1
𝑀 − 1( ) = − 1( )5 − − 1( )3
Calculamos las potencias en el segundo miembro: 𝑀 − 1( ) = − 1 − (− 1)
Resolvemos:
𝑀 − 1( ) = 0
Luego, es raíz de porque el valor numérico de en es igual a𝑥 =− 1 𝑀 𝑥( ) = 𝑥5 − 𝑥3 𝑀(𝑥) − 1
cero.
Teorema del factor
Un polinomio tiene un factor si y sólo si , es decir, si a es raíz de𝑃(𝑥) 𝑥 − 𝑎 𝑃 𝑎( ) = 0 𝑃(𝑥)
.
EJEMPLO: Determinar las raíces de 4𝑥3 − 4𝑥2 − 36𝑥 + 36
4𝑥3 − 4𝑥2 − 36𝑥 + 36 = 4∙ 𝑥 − 1( ) • 𝑥 − 3( ) • 𝑥 + 3( )
Podemos ver que las raíces son los valores que harán cero al polinomio, es decir que harán cero
a cada uno de los factores, de esta manera:
tiene por raíces , y4𝑥3 − 4𝑥2 − 36𝑥 + 36 𝑥
1
= 1 𝑥
2
= 3 𝑥
3
= 3
Multiplicidad de una raíz
En la expresión factorizada de un polinomio, la multiplicidad de una raíz, que indicamos con ,𝑘
es la cantidad de veces que aparece el factor asociado a dicha raíz.
EJEMPLO 1: Sea el polinomio dado en forma factorizada .𝐹(𝑥) = 𝑥 − 12( )
2
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Podemos escribir . Por la definición de raíz de un polinomio sabemos𝐹 𝑥( ) = 𝑥 − 12( ). 𝑥 − 12( )
que es raíz de , y tiene multiplicidad porque es una raíz doble.𝑥 = 12 𝐹(𝑥) 𝑘 = 2
EJEMPLO 2: Sea el polinomio dado en forma factorizada 𝑥 − 1( )2. 𝑥. 𝑥 + 3( )3
Podemos indicar que el polinomio tiene como raíz a tiene como multiplicidad𝑥
1
= 1 𝑘 = 2
porque es una raíz doble, tiene por raíz a tiene como multiplicidad es decir es una𝑥
2
= 0 𝑘 = 1
raíz simple, y finalmente tiene como raíz a tiene como multiplicidad .𝑥
3
=− 3 𝑘 = 3
Raíces de un polinomio de segundo grado
Es posible encontrar las raíces de un polinomio de segundo grado 𝑃 𝑥( ) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
utilizando la formula resolvente.
Buscamos los valores de tales que es decir:𝑥 𝑃(𝑥) = 0 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
con la fórmula resolvente obtenemos: 𝑥
1,2
= −𝑏 ± 𝑏
2−4𝑎𝑐
2𝑎
Ejemplo
𝑃 𝑥( ) = 𝑥2 − 𝑥
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 = 1 𝑏 =− 1 𝑐 = 0
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑃(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 = 0 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑥 = 1± (−1)
2−4.1.0
2.1 =
1±1
2
𝑥
1
= 1+12 = 1
𝑥
2
= 1−12 = 0
Las raíces son y𝑥
1
= 1 𝑥
2
= 0
Teorema de las raíces racionales o Teorema de Gauss
Sea de grado , con y coeficientes enteros.𝑃 𝑥( ) = 𝑎
𝑛
𝑥𝑛 + 𝑎
𝑛−1
𝑥𝑛−1 + … + 𝑎
1
𝑥1 + 𝑎
0
𝑛 𝑎
𝑛
≠0
Si admite una raíz racional (siendo y coprimos), entonces es divisor del término𝑃(𝑥) 𝑝𝑞 𝑝 𝑞 𝑝
independiente y es divisor del coeficiente principal.𝑞
∎
EJEMPLO: Determinemos todas las raíces racionales del polinomio
.𝐴 𝑥( ) = 8𝑥3 + 10𝑥2 − 11𝑥 + 2
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- Identificamos los divisores del término independiente, que en es .𝐴(𝑥) 𝑎
0
= 2
Divisores de 2: .±1; ±2
- Identificamos los divisores del coeficiente principal de , .𝐴(𝑥) 𝑎
𝑛
= 8
Divisores de 8: .±1; ±2; ±4; ±8
- Efectuamos todos los cocientes entre los divisores de y los divisores de para obtener las2 8
posibles raíces de : .𝐴(𝑥) ±1; ± 12 ; ±
1
4 ; ±
1
8 ; ±2
- Aplicamos teorema del resto para determinar las raíces.
Si ,𝑥 = 12 𝑃
1
2( ) = 8∙ 12( )
3
+ 10∙ 12( )
2
− 11∙ 12 + 2
Resolvemos y obtenemos: . Entonces es una raíz de .𝑃 12( ) = 0 12 𝑃(𝑥)
Si ,𝑥 = 14 𝑃
1
4( ) = 8∙ 14( )
3
+ 10∙ 14( )
2
− 11∙ 14 + 2
Resolvemos y obtenemos: . Luego es una raíz de𝑃 14( ) = 0 14 𝑃(𝑥).
Si ,𝑥 = − 2 𝑃(− 2) = 8∙ − 2( )3 + 10∙ − 2( )2 − 11∙ − 2( ) + 2
Resolvemos y obtenemos: 𝑃(− 2) = 0
También es posible aplicar este otro procedimiento:
- Dividimos por aplicando la regla de Ruffini. Luego dividimos por y por𝐴(𝑥) 𝑥 − 12( ) 𝑥 − 14( )
último . Resultando:𝑥 + 2( )
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- Luego, las raíces de son , y𝐴(𝑥) 𝑥
1
= 12 𝑥2 =
1
4 𝑥3 =− 2
Suele ser de gran utilidad aplicar este último procedimiento hasta reducir el polinomio a un
polinomio de grado 2, y luego encontrar las raíces aplicando formula resolvente. Esto se debe a
que el Teorema de Gauss solo permite obtener raíces racionales, mientras que la formula
resolvente permite obtener raíces de cualquier naturaleza.
Retomando el mismo ejemplo, podemos ver que al Dividir por aplicando la regla𝐴(𝑥) 𝑥 − 12( )
de Ruffini, se obtiene la primer raíz y se logra reducir el polinomio a un polinomio de𝑥
1
= 12
segundo grado.
De manera que pueden obtenerse las raíces restantes del polinomio aplicando la8𝑥2 + 14𝑥 − 4
fórmula resolvente:
𝐼𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 = 8 𝑏 = 14 𝑐 =− 4
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 8𝑥2 + 14𝑥 − 4 = 0 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑛𝑡𝑒:
𝑥 = −14 ± (14)
2−4.8.(−4)
2.8 =
−14 ± 324
16
𝑥
2
= −14+1816 = 1/4
𝑥
3
= −14−1816 =− 2
- Luego, las raíces de son , y𝐴(𝑥) 𝑥
1
= 12 𝑥2 =
1
4 𝑥3 =− 2
Teorema fundamental del álgebra
Todo polinomio en una indeterminada de grado con coeficientes reales o𝑃(𝑥) 𝑛≥1
complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).
Teorema de las raíces𝑛
Sea un polinomio de grado , entonces tiene exactamente raíces𝑃(𝑥)∈𝑅[𝑥] 𝑛≥1 𝑃 𝑥( ) 𝑛
siempre y cuando la multiplicidad de una raíz, se cuente veces.“𝑘” 𝑘
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Teorema de la descomposición factorial de un polinomio
Todo polinomio de grado , puede factorizarse como:𝑃(𝑥)∈𝑅[𝑥] 𝑛
𝑃 𝑥( ) = 𝑎
𝑛
𝑥 − 𝑟
1( ) 𝑥 − 𝑟2( )…(𝑥 − 𝑟𝑛)
donde es el coeficiente principal de y son las raíces .𝑎
𝑛
𝑃(𝑥) 𝑟
1
, 𝑟
2
, …, 𝑟
𝑛
𝑛 𝑑𝑒 𝑃(𝑥)
Ejemplo 1:
Aplicando este teorema es que podemos escribir al polinomio 𝐴 𝑥( ) = 8𝑥3 + 10𝑥2 − 11𝑥 + 2
factorizado a partir de la obtención de sus raíces las raíces de son , y𝐴(𝑥) 𝑥
1
= 12 𝑥2 =
1
4
como:𝑥
3
=− 2 𝐴 𝑥( ) = 8 𝑥 − 12( ). 𝑥 − 14( ). (𝑥 + 2)
EJEMPLO 2: Determina todas las raíces del polinomio y luego𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 7𝑥2 − 27𝑥 − 18
escribe su factorización completa.
Es un polinomio a coeficientes enteros y el TI es distinto de cero.
Divisores de TI: , , , , ,± 1 ± 2 ± 3 ± 6 ± 9 ± 18
Divisores de CP: ,± 1 ± 2
Posibles raíces racionales: , , , , , , , ,± 1 ± 2 ± 3 ± 6 ± 9 ± 18 ± 32 ±
9
2 ±
1
2
𝑝(1) = 2. 13 − 7. 12 − 27. 1 − 18 =− 50
es raíz de P.𝑃(− 1) = 2(− 1)3 − 7(− 1)2 − 27(− 1) − 18 = 0 𝑥 = − 1
Verificamos aplicando la regla de Ruffini, y utilizamos el cociente (de grado 2) para hallar el
resto de las raíces con la fórmula resolvente.
El cociente es: 2𝑥2 − 9𝑥 − 18
Encontramos las raíces de 2𝑥2 − 9𝑥 − 18
𝑥
2,3
= −(−9) ± 81−4.2.(−18)2.2 =
 9 ± 225
4 =
 9 ±15
4
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𝑥
2
= 6 ; 𝑥
3
= − 3 2 
Por lo tanto, P se descompone de la siguiente manera:
𝑃(𝑥) = 2 𝑥 + 1( ) 𝑥 − 6( ) 𝑥 + 32( )
EJEMPLO 3: Determina todas las raíces del polinomio y luego escribe𝑄 𝑥( ) = 2𝑥4 − 6𝑥2 + 4𝑥
su factorización completa.
Se puede observar, que es un polinomio de coeficientes enteros y de grado cuatro, pero el
término independiente es cero. Esto nos indica que una de sus raíces es cero, es decir en
primera instancia deberemos aplicar factor común para luego factorizar aplicando Gauss.
De esta manera escribimos y notamos que𝑄 𝑥( ) = 2𝑥 (𝑥3 − 3𝑥 + 2) 𝑥
1
= 0
Procedemos luego a aplicar Gauss para factorizar , para ello consideramos en𝑥3 − 3𝑥 + 2
primer lugar los divisores del término independiente, que es 2; por lo tanto, sus divisores son
.𝑝 = ±1 , ±2{ }
Luego, se deben determinar los divisores del coeficiente principal, que es 1; por lo que sus
divisores son 𝑞 = ±1 { }
Entonces, las posibles raíces racionales del polinomio se encuentran formando las fracciones
irreducibles
𝑝
𝑞 = ±1 , ±2 { }
Se realiza la división de Ruffini, con todas las posibles raíces hasta encontrar el valor que anula
el polinomio.
1 0 -3 2
1 1 1 -2
1 1 -2 0
Encontramos que la segunda raíz es 1, es decir 𝑥
2
= 1
Una vez que encontramos una raíz, notamos que el polinomio resultante es de grado 2, por lo
cual es posible encontrar sus raíces con resolvente.
Encontramos las raíces de 𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑥
3,4
= − 1± 1
2−4.1.(−2)
2.1 =
−1± 9
2 =
−1 ±3
2
𝑥
3
= − 2 ; 𝑥
4
= 1
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Entonces, P(x) puede escribirse como:
𝑄 𝑥( ) = 2𝑥4 − 6𝑥2 + 4𝑥 = 2 𝑥 𝑥 − 1( ). 𝑥 − 1( ). (𝑥 + 2)
Como se puede ver en la expresión factorizada, el factor se repite dos veces; por lo(𝑥 − 1)
tanto, esto significa que 1 es raíz doble del polinomio.
Y se puede reescribir la expresión factorizada como sigue:
𝑄 𝑥( ) = 2𝑥4 − 6𝑥2 + 4𝑥 = 2 𝑥 𝑥 − 1( )2(𝑥 + 2)
Ecuaciones polinomiales
Una ecuación polinomial o polinómica de grado n es una ecuación que tiene la forma: .𝑃 𝑥( ) = 0
Ejemplos:
Ecuación polinómica de tercer grado con una incógnita𝑥3 + 2𝑥2 − 11𝑥 − 12= 0
Ecuación polinómica de cuarto grado con una incógnita2𝑥4 + 2𝑥3 − 22𝑥2 − 18𝑥 + 35 = 0
El método de resolución para las ecuaciones polinomiales de grado mayor que 2 se basa
principalmente en la factorización de polinomios, aplicando el teorema de Gauss, el teorema
del resto y la regla de Ruffini y luego el teorema del factor. En las ecuaciones de tercer grado
por ejemplo, basta con conocer una de sus raíces para resolverla por completo, porque uno de
los factores resultantes será de segundo grado, cuyas raíces se obtendrán aplicando la fórmula
resolvente.
EJEMPLO 1:
Tenemos por ejemplo la siguiente expresión polinomial expresada en función de sus factores e
igualada a cero:
(1)3𝑥 + 2( ) • 5𝑥 − 4( ) • 2𝑥 − 3( ) = 0
Como el producto de estos tres factores es cero, esto significa que uno, dos, o los tres factores
simultáneamente pueden ser cero. Igualando cada factor a resulta:0
3𝑥 + 2 = 0
3𝑥 = 0 − 2
3𝑥 =− 2
𝑥 =− 2∙ 13
𝑥 =− 23
2𝑥 − 3 = 0
2𝑥 = 0 + 3
2𝑥 = 3
 𝑥 = 3∙ 12
𝑥 = 32
5𝑥 − 4 = 0
5𝑥 = 0 + 4
5𝑥 = 4
 𝑥 = 4∙ 15
 𝑥 = 45
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Estamos ahora en condiciones de resolver el problema inicial de esta sección:
Problema de introducción
La intensidad de la reacción de un cuerpo a una dosis D de un cierto fármaco en mg, está dada
por , ¿para qué dosis el cuerpo tendrá una reacción nula al medicamento?
5. 𝐷2
2 −
𝐷3
3
Es decir queremos averiguar que valores de la dosis (incógnita D) hacen cero la ecuación, por lo
tanto podemos plantear que:
5. 𝐷2
2 −
𝐷3
3 = 0
Luego si factorizamos la expresión, extrayendo factor común D
𝐷2. 52 −
𝐷
3( ) = 0
Resolvemos aplicando el teorema del factor cero, entonces:
𝐷2 = 0
𝐷 = 0
5
2 −
𝐷
3 = 0
− 𝐷3 =−
5
2
𝐷
3 =
5
2
𝐷 = 52 . 3
𝐷 = 152 = 7, 5
Es decir tendrá una reacción nula al medicamento si no se coloca dosis, o si se coloca una dosis
de 7,5 mg.
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DESIGUALDADES O INECUACIONES
Resolver ecuaciones es una de las tareas tradicionales de las matemáticas. Pero es casi de la
misma importancia en cálculo saber resolver una inecuación por ejemplo o─2𝑥 + 6 < 70
, o como plantea el problema𝑥2 − 2𝑥 + 46≥ 0 𝑥3 − 3𝑥2 − 10𝑥 + 26 < 2
Resolver una inecuación es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hacen
verdadera. En contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución, en general, consta de un
número o quizá un conjunto finito de números, el conjunto solución de una inecuación por lo
común consta de un intervalo completo de números o, en algunos casos, la unión de tales
intervalos.
Propiedades de las desigualdades.
Dados dos números reales, siempre podemos compararlos y decidir si son iguales o cuál es
más grande.
Escribimos a < b para decir que a es menor que b y a ≤ b para decir que a es menor o igual
que b.
En la recta, a < b significa que el punto
correspondiente a a está a la izquierda del
que corresponde a b.
El orden en los números reales tiene las siguientes propiedades:
1. Si a y b son números reales, sucede una y sólo una de las siguientes relaciones (propiedad de
tricotomía): i) a = b; ii) a > b; iii) a < b
2. Si a < b y b < c, entonces a < c
(propiedad transitiva).
19
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3. Si a < b y c IR, entonces a + c < b + c.
4. Si a < b, y c > 0 entonces ac < bc
5. Si a < b, y c < 0 entonces ac > bc. Podemos tener los tres casos siguientes.
-bc < -ac bc < ac -bc < ac
Intervalos.
Definición: Dados dos números a, b en IR, con a menor que b, el intervalo definido por a y b es
el conjunto de números x en IR que están entre a y b.
Los números a y b pueden o no pertenecer al intervalo, entonces podemos tener los siguientes
casos:
1. Si a y b pertenecen al intervalo, éste se llama intervalo cerrado y escribimos: [a, b] = {x ∈
IR ⎟ a ≤ x ≤ b}.
2. Si a y b no pertenecen al intervalo, éste se llama intervalo abierto y escribimos: (a, b) = {x
∈ IR / a < x < b}
3. Si alguno de los extremos, pero no ambos, pertenece al intervalo tenemos estos dos casos
(intervalos semiabiertos o semicerrados):
La noción de intervalo se puede extender, para denotar al conjunto de las x ∈ IR que son más
grandes o más chicas que un número dado.
Por ejemplo, para denotar al conjunto { x ∈ IR / x > a} escribimos (a, + ∞ ).
Los siguientes conjuntos son intervalos:
(a, + ∞) = { x ∈ IR / x > a}
20
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[a, + ∞) = { x ∈ IR / x ≥ a}
( - ∞, b) = {x ∈ IR / x < b }
( - ∞, b] = {x ∈ IR / x ≤ b }
( - ∞, +∞) = IR
Ejemplo:
Intervalo Desigualdad Grafica en la recta.
[-3, 5) -3 ≤ x < 5
(-∞, -5] x ≤ -5
[3, 8] 3 ≤ x ≤ 8
(-5, 4)
-5 < x < 4
Solución de una inecuación
Resolver una inecuación significa determinar el conjunto de números x para los cuales la
desigualdad es cierta. A este conjunto de números se le llama conjunto solución de la
inecuación.
21
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Comencemos con el estudio de las desigualdades polinomiales:
Desigualdad lineal
Una desigualdad lineal es una desigualdad polinomial que tiene la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 (el símbolo, ≤
𝑜 ≥) con 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0
Resolución: Para resolver una desigualdad lineal entonces es necesario trabajar de la misma
manera que en las ecuaciones lineales, siempre teniendo en cuenta el sentido de la
desigualdad.
EJEMPLO 1:
Hallar la solución de la desigualdad 3x + 5 ≤ -7x + 25 y represéntela
gráficamente en la línea recta.
Primero sumamos 7x a ambos lados 3𝑥 + 7𝑥 + 5 ≤ 25
10𝑥 + 5 ≤ 25
Ahora sumamos -5 a ambos lados 10𝑥 ≤ 25 – 5
10𝑥 ≤ 20
Multiplicamos por 1/10. De esta manera
tenemos que la solución está formada por
todos los números menores o iguales que
2. En otros términos, la solución está dada
por el intervalo (- ∞, 2].
𝑥≤20. 110
𝑥 ≤ 2
EJEMPLO 2:
Resuelva la desigualdad 2 + x < 9 x + 6 y dibuje la gráfica de la solución en la línea recta.
En primer lugar restamos -2 a ambos lados
de la desigualdad
𝑥 < 9𝑥 + 6 − 2
𝑥 < 9𝑥 + 4
Luego se resta 9x de ambos miembros 𝑥 − 9𝑥 < 4
− 8𝑥 < 4
Ahora multiplicamos ambos miembros por
(-1/8). Observa que al multiplicar por el
número negativo cambiamos el orden de la
desigualdad. Por lo tanto el conjunto
solución está formado por todos los
números mayores que -1/2. En otras
palabras, la solución de la desigualdad es
el intervalo .
𝑥 > 4. − 18( )
o bien
EJEMPLO 3:
22
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Hallar la solución de la desigualdad 7 < 3x – 2 ≤ 13 e ilustrarla en la recta de los números reales.
Solución: En este caso tenemos una doble desigualdad en la que sólo en la parte intermedia aparece la
x. La solución consta de todos los valores de x que satisfacen las dos desigualdades. Para resolverla
despejaremos x en la parte media de la desigualdad.
Primero sumamos 2 a toda la desigualdad. 7 < 3𝑥 – 2 ≤ 13
7 + 2 < 3𝑥 ≤ 13 + 2
9 < 3𝑥 ≤ 15
Enseguida multiplicamos por (1/3) toda la
desigualdad. De esta manera tenemos que
la solución está formada por todos los
números x mayores que 3 y menores o
iguales a 5. En otros términos, la solución
está dada por el intervalo (3, 5].
1
3 . 9 < 𝑥 ≤
1
3 . 15
3 < x ≤ 5
EJEMPLO 4:
Problema:
Un estudiante debe mantener un promedio numérico final en cinco exámenes de 80% a 89%, para
estar aprobado en el curso de cálculo como distinguido. Si en los primeros cuatro exámenes obtuvo
calificaciones de 96%, 70%, 81% y 95%, ¿qué calificación deberá obtener en el examen final para
obtener una nota que le permita promocionar con distinguido? Sabiendo que la categoría siguiente es
aprobar con sobresaliente, ¿es posible obtener una nota que le permita alcanzar dicha categoría?
Dejemos que x (0 ≤ x ≤ 100) sea la calificaciónque debe obtener el
estudiante en el examen final. Un promedio se busca sumando las notas y
dividiendo entre el número de notas. Así, el promedio del estudiante se
calculará de la siguiente manera:
Queremos que el promedio final quede entre 80% y 90%, inclusive el 80. Luego, al simplificar la
expresión anterior, tenemos:
80≤ 342 + 𝑥5 < 90
Si resolvemos la desigualdad anterior:
80. 5≤342 + 𝑥 < 90. 5
400 ≤ 342 + 𝑥 < 450
58 ≤ 𝑥 < 108
El resultado anterior significa que, el estudiante no puede sacar menos
de 58% en el examen final si desea una calificación de distinguido en
dicho curso. Otras consecuencias del resultado anterior son que si
obtiene una calificación menor de 58% en dicho examen final, su nota
final será menos de distinguido y que no hay modo de que el estudiante
obtenga una nota final de Sobresaliente, pues 0 ≤ x ≤ 100 y el resultado
obtenido implica que tendría que obtener una calificación mayor o igual
a 108 para obtenerla.
Desigualdades Polinomiales de grado mayor a uno
23
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El procedimiento de resolución es el siguiente:
• Expresarla como , , ,𝑃(𝑥) < 0 𝑃(𝑥)≤0 𝑃 𝑥( ) > 0 𝑃(𝑥)≥0
• Factorizar el polinomio 𝑃(𝑥)
• Estudiar el signo de cada factor
• Estudiar el signo del producto de los factores, que será el producto de los signos
EJEMPLO 1:
Encontrar el conjunto solución de 𝑥3 + 𝑥 ≤ 4𝑥2 − 6
𝑥3 + 𝑥 − 4𝑥2 + 6≤0
𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6≤0
Divisores del coef. Principal = ±1
Divisores del término independiente = , , ,±1 ±2 ±3 ±6
Posibles raíces (p/q)= , , ,±1 ±2 ±3 ±6
1 no es raíz𝑃 1( ) = 13 − 4. 12 + 1 + 6 = 4
-1 si es raíz𝑃 − 1( ) = (− 1)3 − 4. − 1( )2 + (− 1) + 6 = 0
1 -4 1 6
-1 -1 5 -6
1 -5 6 0
es el polinomio resultante𝑥2 − 5𝑥 + 6
El polinomio factorizado queda
)𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 = 𝑥 + 1( ). (𝑥2 − 5𝑥 + 6
Sacamos el resto de raíces aplicando resolvente a 𝑥2 − 5𝑥 + 6 𝑥 = −𝑏 ± 𝑏
2−4𝑎𝑐
2𝑎
y𝑥
2
= 2 𝑥
3
= 3
Entonces el polinomio factorizado completo 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6 = 1. 𝑥 + 1( ). 𝑥 − 2( ). (𝑥 − 3)
lo podemos escribir𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6≤0
queremos que el resultado sea negativo1. 𝑥 + 1( ). 𝑥 − 2( ). (𝑥 − 3)≤0
Signo de factores Signo expresión
Intervalos Valor de prueba 1. 𝑥 + 1( ) 𝑥 − 2( ) (𝑥 − 3) 1. 𝑥 + 1( ). 𝑥 − 2( ). (𝑥 − 3)
(− ∞, − 1) -2 - - - −. −. −=−
(− 1, 2) 0 + - - +. −. −=+
(2, 3) 2.5 + + - +. +. −=−
(3, ∞) 4 + + + +. +. +=+
Marcamos raíces y vemos intervalos
24
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Solución de la desigualdad (− ∞, − 1]𝑈[2, 3]
EJEMPLO 2:
Encontrar el conjunto solución de
2𝑥3 − 5𝑥2 − 3𝑥 > 0
Sacamos factor común
𝑥. 2𝑥2 − 5𝑥 − 3( ) > 0
Aplicamos resolvente , y obtenemos como raíces2𝑥2 − 5𝑥 − 3 𝑥
2
= 3 , 𝑥
3
=− 12
buscamos que quede positivo2𝑥. 𝑥 − 3( ). 𝑥 + 12( ) > 0
Signo de factores Signo expresión
Intervalos Valor de prueba 2𝑥 𝑥 − 3( ) 𝑥 + 12( ) 2𝑥. 𝑥 − 3( ). 𝑥 + 12( )
− ∞, − 12( ) -1 - - - -
(− 12 , 0)
-0,2 - - + +
(0, 3) 1 + - + -
(3, ∞) 4 + + + +
Marcamos raíces y vemos intervalos
Solución (− 12 , 0)𝑈(3, ∞)
25
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Definición:
Llamaremos expresión algebraica racional al cociente de dos polinomios siendo
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥)≠0
Por ejemplo:
● 𝑥
2 + 1 
5𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑛 𝑥≠ −
3
5
● 𝑥
2 − 2 
𝑥−1 𝑐𝑜𝑛 𝑥≠ 1
Restricciones de expresiones algebraicas fraccionarias
Diremos que una expresión algebraica fraccionaria se indetermina, o no está definida, cuando el
denominador es cero.
Para que la expresión fraccionaria algebraica quede definida, se coloca como restricción que la
variable, no puede tomar el valor que anula al denominador.
En nuestro ejemplo x debe ser distinto de -3/5, en símbolos
 𝑥2 + 1 
5𝑥 + 3 𝑥≠ −
3
5
En nuestro ejemplo x debe ser distinto de 1, en símbolos
𝑥2 − 2 
𝑥−1 𝑥≠ 1
26
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Ejemplos:
Expresión algebraica Restricción para que la expresión
no se indetermine
𝑥≠0
𝑥≠ − 5
𝑥≠1
𝑥≠ − 𝑏
Expresiones algebraicas equivalentes
Dos expresiones algebraicas racionales son equivalentes si asumen los mismos valores
 𝐴 
𝐵 𝑦 
 𝐶 
𝐷
numéricos para toda asignación de la variable en las dos expresiones.
Se indica
 𝐴 
𝐵 = 
 𝐶 
𝐷
Propiedades
a) Las expresiones racionales son equivalentes, siempre que .
 𝐴 
𝐵 𝑦 
𝑀 𝐶 
𝑀 𝐷 𝑀≠0
Ejemplo:
para todo
(𝑥 + 1) 
𝑥 =
(𝑥 + 1) (𝑥 − 1) 
𝑥 (𝑥−1) 𝑥≠0; 𝑥≠1
b) Si son equivalentes, entonces
 𝐴 
𝐵 𝑦 
 𝐶 
𝐷 𝐴. 𝐷 = 𝐵. 𝐶
Esta propiedad se puede utilizar para decidir si dos expresiones NO son equivalentes.
Por ejemplo:
y no son equivalentes pues:
 𝑥 + 7 
𝑥2
7
𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥≠0 (𝑥 + 7)𝑥 ≠7𝑥
2
Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias
Para simplificar una expresión algebraica racional fraccionaria, se factorizan numerador y
denominador, y luego se eliminan los factores comunes. Se obtiene así una expresión racional,
reducida o simplificada, equivalente con la dada. Este proceso también se conoce como
“reducir a la mínima expresión”.
27
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Para poder llevar a cabo una simplificación, hay que verificar si la expresión algebraica está o
no factorizada. Si no lo está, se debe factorizar la expresión. Luego se eliminan los factores
comunes en el numerador y denominador, obteniéndose otra fracción equivalente.
EJEMPLO 1:
Para simplificar:
Se factoriza el numerador y el denominador:
{𝑥2 − 5𝑥 = 𝑥 𝑥 − 5( ) 𝑥2 − 25 = 𝑥 + 5( ) 𝑥 − 5( ) 
Reemplazando en la expresión algebraica racional fraccionaria, las expresiones factorizadas:
Luego eliminamos los factores comunes en el numerador y denominador:
Por último se obtiene la expresión equivalente:
Se presenta otro ejemplo:
Observemos que los polinomios ya están en forma factorizada y por lo tanto procedemos a
simplificar:
EJEMPLO 2:
28
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Factorizamos ambos polinomios:
𝑎2 + 9 − 6𝑎 = (𝑎 − 3)2 𝑎2 − 9 = 𝑎 + 3( ) 𝑎 − 3( ) 
Reescribiendo la expresión:
Eliminado los factores comunes:
Luego quedará la expresión equivalente:
● Adición y Sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias
CON IGUAL DENOMINADOR
Recordemos la adición o sustracción de dos o más fracciones con igual denominador, para
resolverlo sabemos que es otra fracción que tiene el mismo denominador y cuyo numerador es la
suma, de los numeradores de los sumandos.
Es decir,
Por ejemplo:
50
20 +
15
20 =
50+15
20 =
65
20
Siempre al terminar de realizar la operación, se simplifica el resultado:
50
20 +
15
20 =
65
20 =
13
4
Con las expresiones algebraicas se procede de la misma manera:
Para sumar o restar expresiones algebraicas fraccionarias con igual denominador, se suman o
restan las expresiones de los numeradores, y se conserva el mismo denominador. Por último, si
es posible, se simplifica la expresión resultante.
29
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EJEMPLO 1:
 ∀ 𝑥≠ − 23 
Por último se intenta simplificar, recordemos que para simplificar los polinomios deben estar
factorizados:
∀𝑥 ≠− 23
EJEMPLO 2:
𝑡2+16
𝑡2−16
− 8𝑡
𝑡2−16
 ∀ 𝑡≠4 ∧ 𝑡≠ − 4
𝑡2+16
𝑡2−16
− 8𝑡
𝑡2−16
= 𝑡
2+16−8𝑡
𝑡2−16
 
Por último se intenta simplificar, recordemos que para simplificar los polinomios deben estar
factorizados:
𝑡2+16
𝑡2−16
− 8𝑡
𝑡2−16
= 𝑡
2+16−8𝑡
𝑡2−16
= (𝑡−4)
2
𝑡+4( )(𝑡−4) =
𝑡−4
𝑡+4 ∀ 𝑡≠4 ∧ 𝑡≠ − 4
CON DISTINTO DENOMINADOR
Recordaremos la resoluciones de la adición de número racionales, mediante un ejemplo:
2
5 +
3
25 +
1
2
Primero debemos encontrar el mínimocomún múltiplo (M.C.M)
Recordemos que el mínimo común múltiplo (M.C.M). entre dos números se obtiene, haciendo el
producto de factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente.
El M.C.M. entre 5 ; 25 y 2 es 52. 2 = 50
30
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Luego se divide el denominador común en cada uno de los denominadores y se multiplica cada
resultado por su correspondiente numerador.
2
5 +
3
25 +
1
2 =
20+6+25
50 =
51
50
Para finalizar se simplifica el resultado, en este caso en particular no podemos realizar ninguna
simplificación.
Con las expresiones algebraicas se procede de la misma manera:
Para realizar la suma o resta de expresiones algebraicas fraccionarias, es necesario calcular el
denominador común, es decir, el mínimo común múltiplo de las expresiones algebraicas del
denominador. Luego, se procede dividiendo el denominador común, en cada uno de los
denominadores y a cada resultado se lo multiplica por su correspondiente numerador.
Por último, si es posible, se simplifica la expresión resultante.
Mínimo Común Múltiplo: para calcularlo las expresiones del denominador deben estar
factorizadas, y se obtiene multiplicando los factores comunes y no comunes con su mayor
exponente.
EJEMPLO 1: Resolver
𝑥
𝑥+1 +
1
𝑥−1 = ∀ 𝑥≠1 ∧ 𝑥≠ − 1
Como los denominadores se encuentran factorizados, entonces podemos calcular el M.C.M.:
como ambos son factores no comunes debemos realizar su producto:
𝑀. 𝐶. 𝑀. = (𝑥 + 1). (𝑥 − 1)
Efectuamos la operación:
𝑥
𝑥+1 +
1
𝑥−1 =
𝑥. 𝑥−1( )+1.(𝑥+1)
𝑥−1( ).(𝑥+1)
Luego se aplica la propiedad distributiva:
𝑥
𝑥+1 +
1
𝑥−1 =
𝑥2−𝑥+𝑥+1
𝑥−1( ).(𝑥+1)
Agrupando monomios semejantes:
𝑥
𝑥+1 +
1
𝑥−1 =
𝑥2+1
𝑥−1( ).(𝑥+1)
No es posible factorizar el numerador, por lo cual no es posible simplificar la expresión.
31
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EJEMPLO 2: Resolver
𝑥+1
𝑥−3 −
𝑥
𝑥+3 −
6 𝑥−1( )
𝑥2−9
= ∀ 𝑥≠3 ∧ 𝑥≠ − 3 
Primero se factorizan los denominadores:
𝑥+1
𝑥−3 −
𝑥
𝑥+3 −
6 𝑥−1( )
𝑥2−9
= 𝑥+1𝑥−3 −
𝑥
𝑥+3 −
6 𝑥−1( )
𝑥−3( ). 𝑥+3( ) =
Luego se calcula el M.C.M = 𝑥 + 3( ). (𝑥 − 3)
Realizando las operaciones:
𝑥+1
𝑥−3 −
𝑥
𝑥+3 −
6 𝑥−1( )
𝑥−3( ). 𝑥+3( ) =
𝑥+1( ). 𝑥+3( )−𝑥. 𝑥−3( )−6 𝑥−1( )
𝑥−3( ). 𝑥+3( ) =
Aplicando propiedad distributiva:
𝑥+1( ). 𝑥+3( )−𝑥. 𝑥−3( )−6 𝑥−1( )
𝑥−3( ). 𝑥+3( ) =
𝑥2+𝑥+3𝑥+3−𝑥2+3𝑥−6𝑥+1
𝑥−3( ). 𝑥+3( )
Agrupando monomios semejantes:
𝑥+1
𝑥−3 −
𝑥
𝑥+3 −
6 𝑥−1( )
𝑥−3( ). 𝑥+3( ) =
𝑥+4
𝑥−3( ).(𝑥+3)
No es posible simplificar la expresión.
● Multiplicación de expresiones algebraicas racionales
Recordemos cómo se realiza la multiplicación de fracciones:
Para multiplicar fracciones, se debe multiplicar los numeradores y los denominadores entre sí.
Antes de efectuar la multiplicación de los numeradores y los denominadores, es conveniente
simplificar cualquier numerador con cualquier denominador y viceversa.
Por ejemplo:
32
Lic. en Criminalística Matemática I Apunte Teórico Unidad 1
Procedemos de la misma forma para realizar la multiplicación de expresiones algebraicas
racionales.
Para realizar el producto de varias expresiones algebraicas fraccionarias, se deben factorizar los
numeradores y denominadores de todas las expresiones. Luego, se simplifican factores iguales
del numerador con factores iguales del denominador, y viceversa. Por último, se multiplican las
expresiones que quedaron sin simplificar en los numeradores, y también se multiplican las
expresiones que quedaron sin simplificar en los denominadores.
EJEMPLO 1: Resolver
𝑥2−4( )
𝑥2−9( ) .
𝑥−3( )
𝑥+2( )2
 ∀ 𝑥≠3 ∧ 𝑥≠ − 3 ∧ 𝑥≠ − 2 
Primero factorizamos los polinomios:
𝑥+2( ). 𝑥−2( )
𝑥+3( ). 𝑥−3( ) .
𝑥−3( )
𝑥+2( ). 𝑥+2( ) =
Simplificamos factores comunes, y luego multiplicamos:
 ∀ 𝑥≠3 ∧ 𝑥≠ − 3 ∧ 𝑥≠ − 2 
EJEMPLO 2: Resolver
𝑥+2
𝑥+2( )2
. 𝑥
2−4
𝑥 ∀ 𝑥≠ − 2 ∧ 𝑥≠0
Primero debemos factorizar los polinomios del numerador y denominador, quedando
𝑥+2
𝑥+2( )2
. 𝑥
2−4
𝑥 =
𝑥+2( )
𝑥+2( ).(𝑥+2) .
𝑥+2( ).(𝑥−2)
𝑥 =
Luego se simplifican factores comunes que aparezcan en cualquier numerador y con cualquier
denominador, es decir:
Por último, se multiplican los numeradores y los denominadores, quedando la multiplicación:
𝑥+2
𝑥+2( )2
. 𝑥
2−4
𝑥 = 
𝑥−2
𝑥 ∀ 𝑥≠ − 2 ∧ 𝑥≠0
● División de expresiones algebraicas racionales
Recordemos cómo se realiza la división de fracciones:
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Para dividir dos fracciones, se debe multiplicar la primera por la recíproca de la segunda, es
decir 
𝑎
𝑏 :
𝑐
𝑑 =
𝑎
𝑏 .
𝑑
𝑐
Veamos un ejemplo:
3
5 :
9
25 =
3
5 .
25
9
Luego se resuelve:
3
5 .
25
9 =
3
5 .
5.5
3.3 =
5
3
Procedemos de la misma forma para realizar la división de expresiones algebraicas racionales.
El cociente entre dos expresiones algebraicas fraccionarias se obtiene multiplicando a la
primera por la recíproca de la segunda.
EJEMPLO 1: Resolver
∀ 𝑥≠0 ∧ 𝑥≠ − 3 ∧ 𝑥≠1
Primero transformamos la división en una multiplicación
𝑥3−𝑥
2𝑥2+6𝑥
: 5𝑥
2−5𝑥
2𝑥+6 =
𝑥3−𝑥
2𝑥2+6𝑥
. 2𝑥+6
5𝑥2−5𝑥
Luego, factorizamos los polinomios del numerador y denominador, quedando
𝑥3−𝑥
2𝑥2+6𝑥
. 2𝑥+6
5𝑥2−5𝑥
= 𝑥. 𝑥+1( ).(𝑥−1)2𝑥(𝑥+3) .
2.(𝑥+3)
5𝑥(𝑥−1) =
Luego se simplifican factores comunes que aparezcan en cualquier numerador y con cualquier
denominador, es decir:
𝑥. 𝑥+1( ).(𝑥−1)
2𝑥(𝑥+3) .
2.(𝑥+3)
5𝑥(𝑥−1) =
Por último, se multiplican los numeradores y los denominadores, quedando la división:
 𝑥
3−𝑥
2𝑥2+6𝑥
: 5𝑥
2−5𝑥
2𝑥+6 =
𝑥+1
5𝑥 ∀ 𝑥≠0 ∧ 𝑥≠ − 3 ∧ 𝑥≠1
Solución del ejercicio inicial de la sección
Georg Simon Ohm descubrió a principios del siglo XIX, que en los circuitos
eléctricos, la intensidad, el voltaje y la resistencia, se relacionan según la ley que
tiene su nombre
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● El voltaje que proporciona un generador a un barrio de Paraná, viene dado por
la siguiente expresión (donde t es el tiempo en días de𝑉 𝑡( ) = 1200 − 200𝑡2
uso sin corte del generador), la resistencia total del barrio (teniendo en cuenta
todos sus artefactos eléctricos, depende del tiempo del uso de los artefactos,
también calculado en días sin interrupción) se resume en la expresión
. 𝑅 𝑡( ) = 2400 − 4𝑡2
a) Calcula la expresión que muestra la intensidad del generador, para ese
barrio en particular, y de ser posible simplifícala.
b) ¿Qué puedes concluir de la intensidad de corriente que reciben las casas
del barrio?
Solución:
a) 𝐼 = 𝑉𝑅 =
120000−200𝑡2
2400−4𝑡2
= 200.(600−𝑡
2)
4.(600−𝑡2)
= 50 𝑎𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒
b) Sin importar la cantidad de días que esté funcionando el generador, o la
cantidad de días que estén prendidos los artefactos, las viviendas reciben la
misma intensidad de corriente.
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