Trabajo Practico - Series de Fourier (realizado)

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL 
FACULTAD REGIONAL SANTA FE
CALCULO AVANZADO 
Trabajo Práctico: Series de Fourier 
Nombre y Apellido: Jairo Córdoba DNI: 36987803 
Carrera: Ingeniería Civil E-mail: Jairo_cordoba@hotmail.com 
Libreta Universitaria: N° 20751 Año de cursado: 2013 
Fecha de entrega: 12 de Septiembre de 2013 
Enunciado del trabajo práctico:
Dada la función periódica f HxL = -5
8
x
2
, definida en el intervalo @-1; 3D y con un período T = 4,
resolver las siguientes consignas :
HaL - Dibuje la gráfica de f HxL en el intervalo @-8; 12].
HbL - Obtenga la expansión en Serie de Fourier de la función a la que llamará g HxL.
HcL - La serie hallada g HxL, ¿converge para todo x real?¿A qué valores?Justifique.
HdL - Calcule a6 y b8.HeL -Encuentre el coeficiente de la serie de Fourier de f HxL que multiplica a cos H10 Π xL y el 
que multiplica a sen H9 Π xL.HfL - Evalúe f H139L y g H139L. Comente los resultados. Ídem para f H245L y g H245L.
HgL - Escribir la suma parcial de orden 4 de g HxL.
HhL -Grafique en un mismo gráfico f HxL y la suma parcial de orden k de g HxL en @-8; 8D para
los casos : k = 0, k = 5 y k = 15. Se deben realizar un total de 3 gráficos, donde en cada uno
de ellos se debe representar la gráfica de f HxL con cada una de las sumas parciales k 
correspondientes.
Desarrollo del trabajo práctico :
a - Grafica de la función f HxL e n el intervalo @-8; 1 2D :
Definimos la función en el intervalo designado y le asignamos la periodicidad de la siguiente manera :
In[1]:= f@x_D := - 5
8
x2 �; -1 £ x < 3
f@x_D := f@x + 4D �; x < -1
f@x_D := f@x - 4D �; x ³ 3
In[4]:= Plot@f@xD, 8x, -8, 12<, PlotRange ® 88-10, 15<, 81, -6<<, AxesLabel ® 8X, Y<D
Out[4]=
-10 -5 5 10 15
X
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
Y
Trabajo Practico - Series de Fourier 1
Cabe aclarar que esta grafica no representa idealmente la función analizada, ya que el progama define una unión entre 
los puntos de discontinuidad de la función a través de una recta vertical, lo que aparenta transformar la función en 
continua, cosa que no es cierto.
Jairo Cordoba 
b - Expansión de la Serie de Fourier :
Se determinan los coeficientes de Fourier, para los cuales definimos los parámetros que se ponen en juego :
In[5]:= L := 2
In[6]:= f@x_D := - 5
8
x2
In[7]:= a@0D = 1
L
à
-1
3
f@xD âx
Out[7]= -
35
12
In[8]:= a@n_D = 1
L
à
-1
3
f@xD CosB n Π x
L
F âx
Out[8]= -
1
8 n3 Π3
5 4 n Π CosB
n Π
2
F + 12 n Π CosB
3 n Π
2
F + 2 I-8 + 5 n2 Π2 + I-8 + 9 n2 Π2M Cos@n ΠDM SinB
n Π
2
F
In[9]:= b@n_D = 1
L
à
-1
3
f@xD SinB n Π x
L
F âx
Out[9]=
1
8 n3 Π3
5 I8 - n2 Π2M CosB
n Π
2
F + I-8 + 9 n2 Π2M CosB
3 n Π
2
F + 4 n Π SinB
n Π
2
F - 3 SinB
3 n Π
2
F
Donde : L = semiperíodo de la función; a@oD, a@nD y b@nD = coeficientes de Fourier.
Finalmente, la Serie de Fourier será :
g@x_D := a@0D
2
+ â
n=1
¥
a@n_D CosB n Π x
L
F + â
n=1
¥
b@n_D SinB n Π x
L
F
2 Trabajo Practico - Series de Fourier
Jairo Cordoba 
c - Convergencia de la Serie de Fourier :
La serie converge para todo HxL real, con la salvedad de que la convergencia se diferencia según sea la función continua o
discontinua en el punto. Por lo tanto :
ì Cuando :
ì Cuando :
In[10]:= LD = Limit@f@xD, x ® -1D
Out[10]= -
5
8
In[11]:= LI = Limit@f@xD, x ® 3D
Out[11]= -
45
8
In[12]:=
LD + LI
2
Out[12]= -
25
8
En estas condiciones, la Serie d e Fourier converge al valor -
25
8
.
Trabajo Practico - Series de Fourier 3
Jairo Cordoba 
x ¹ -1 - nT
x ¹ 3 + nT 
® La serie converge al valor de la función f(x) en el punto analizado.(n = 1, 2, 3 ...)
x = -1 - nT
x = 3 + nT 
® La serie converge al promedio de los límites laterales, entonces :(n = 1, 2, 3 ...)
d - Calculo de los coeficientes a 6 y b 8 :
Para visualizar dichos valores, presentamos dos tablas que muestran la correspondencia del valor buscado:
In[13]:= a@nD = Table@8n, a@nD<, 8n, 6, 6<D
Out[13]= ::6,
5
18 Π2
>>
In[14]:= b@nD = Table@8n, b@nD<, 8n, 8, 8<D
Out[14]= ::8,
5
8 Π
>>
A modo informativo se muestra una tabla general en forma de matriz con valores de los coeficientes :
In[17]:= Table@8n, a@nD, b@nD<, 8n, 1, 10<D; MatrixForm@%D
Out[17]//MatrixForm=
1 5
Π
10
Π2
2 5
2 Π2
-
5
2 Π
3 - 5
3 Π
-
10
9 Π2
4 - 5
8 Π2
5
4 Π
5 1
Π
2
5 Π2
6 5
18 Π2
-
5
6 Π
7 - 5
7 Π
-
10
49 Π2
8 - 5
32 Π2
5
8 Π
9 5
9 Π
10
81 Π2
10 1
10 Π2
-
1
2 Π
Finalmente, como se observa a@nD = 5
18 Π2
y b@nD = 5
8 Π
.
4 Trabajo Practico - Series de Fourier
Jairo Cordoba 
e - Coeficientes de Fourier para los argumentos de cos H10 Π xL y sen H9 Π xL :
Se hallan los valores de HnL para los cuales coincidan los argumentos de las funciones senos y cosenos con los
representadas en la serie :
ì Para cos H10 Π xL :
In[18]:= SolveB n Π x
L
� 10 Π x, nF
Out[18]= 88n ® 20<<
Determinamos el coeficiente a@nD para el valor de HnL obtenido :
In[19]:= Table@8n, a@nD<, 8n, 20, 20<D
Out[19]= ::20, -
1
40 Π2
>>
Por lo tanto, el coeficiente que multiplica a cos H10 Π xL es a@20D = - 1
40 Π2
.
ì Para sen H9 Π xL :
In[20]:= SolveB n Π x
L
� 9 Π x, nF
Out[20]= 88n ® 18<<
Determinamos el coeficiente b@nD para el valor de HnL obtenido :
In[21]:= Table@8n, b@nD<, 8n, 18, 18<D
Out[21]= ::18, -
5
18 Π
>>
Por lo tanto, el coeficiente que multiplica a sen H9 Π xL es b@18D = - 5
18 Π
.
Trabajo Practico - Series de Fourier 5
Jairo Cordoba 
f - Analisis del comportamiento de la función y la serie :
ì Analisis en el punto x = 139
Evaluamos la función :
In[22]:= f@139.D
Out[22]= -0.625
Evaluamos la serie :
Para poder evaluar la serie, se busca una suma parcial que mejor representa la función,como por ejempo, la sumatora
para n = 15, entonces :
In[23]:= i@x_D := Sumaparcial@15D = a@0D
2
+ â
n=1
15 a@nD CosB n Π x
L
F + â
n=1
15 b@nD SinB n Π x
L
F;
In[24]:= N@i@139DD
Out[24]= -3.05965
Se puede observar una diferencia notable, esto se debe a que en x = 139 se presenta una discontinuidad de salto finito,
verificando que la serie converge al valor medio de la suma de los límites laterales, ya que - 3.06 esta muy 
ì Analisis en el punto x = 245 :
Evaluamos la función :
In[25]:= f@245.D
Out[25]= -0.625
Evaluamos la serie :
Al igual que para el caso anterior, se evalua la suma parcial para n = 15, entonces :
In[26]:= N@i@245DD
Out[26]= -0.622898
En este caso, como se trata de un punto donde la función es continua, se observa la gran aproximación del valor de la
serie al valor de la función. Esta aproximación se puede mejorar aumentando los terminos de la sumatoria.
A modo informativo, se demuestra la mejor aproximación con una suma parcial de n = 100 :
In[27]:= h@x_D = Sumaparcial@100D = a@0D
2
+ â
n=1
100
a@nD CosB n Π x
L
F + â
n=1
100
b@nD SinB n Π x
L
F;
In[28]:= N@h@245DD
Out[28]= -0.62505
6 Trabajo Practico - Series de Fourier
Jairo Cordoba 
proximo a 25
8
.
g - Desarrollo de la suma parcial de orden 4 :
In[29]:= g@x_D = Sumaparcial@4D = a@0D
2
+ â
n=1
4
a@nD CosB n Π x
L
F + â
n=1
4
b@nD SinB n Π x
L
F
Out[29]= -
35
24
+
5 CosA Π x
2
E
Π
+
5 Cos@Π xD
2 Π2
-
5 CosA 3 Π x
2
E
3 Π
-
5 Cos@2 Π xD
8 Π2
+
10 SinA Π x
2
E
Π2
-
5 Sin@Π xD
2 Π
-
10 SinA 3 Π x
2
E
9 Π2
+
5 Sin@2 Π xD
4 Π
h - Graf icos correspondientes :
Definimos las funciones correspondientes a la s sumas parciales :
In[30]:= Grafica = Plot@f@xD, 8x, -8, 12<, PlotStyle ® RGBColor@0.5, 0.5, 0.5DD
Out[30]=
-5 5 10
-5
-4
-3
-2
-1
In[31]:= Funcion1 = Sumaparcial@0D = a@0D
2
+ â
n=1
0
a@nD CosB n Π x
L
F + â
n=1
0
b@nD SinB n Π x
L
F;
In[32]:= Grafica1 = Plot@Funcion1, 8x, -8, 8<, PlotStyle ® RGBColor@1, 0, 0DD
Out[32]=
-5 5
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
In[33]:= Funcion2 = Sumaparcial@5D = a@0D
2
+ â
n=1
5
a@nD CosB n Π x
L
F + â
n=1
5
b@nD SinB n Π x
L
F;
In[34]:= Grafica2 = Plot@Funcion2, 8x, -8, 8<, PlotStyle ® RGBColor@1, 0, 1DD
Trabajo Practico - Series de Fourier 7
Jairo Cordoba 
Out[34]=
-5 5
-5
-4
-3
-2
-1
In[35]:= Funcion3 = Sumaparcial@15D= a@0D
2
+ â
n=1
15
a@nD CosB n Π x
L
F + â
n=1
15
b@nD SinB n Π x
L
F;
In[36]:= Grafica3 = Plot@Funcion3, 8x, -8, 8<, PlotStyle ® RGBColor@0, 1, 0DD
Out[36]=
-5 5
-5
-4
-3
-2
-1
ì Comparación n° 1 :
In[37]:= Show@8Grafica, Grafica1<, PlotRange ® 88-8, 8<, 8-6, 1<<, AxesLabel ® 8X, Y<D
Out[37]=
-5 5
X
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
Y
8 Trabajo Practico - Series de Fourier
Jairo Cordoba 
Out[38]=
-5 5
X
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
Y
ì Comparación n° 3 :
In[39]:= Show@8Grafica, Grafica3<, PlotRange ® 88-8, 8<, 8-6, 1<<, AxesLabel ® 8X, Y<D
Out[39]=
-5 5
X
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
Y
Se puede observar una excelente aproximación, como así tambien el llamado fenómeno de Gibbs.
Trabajo Practico - Series de Fourier 9
ì Comparación n° 2 :
In[38]:= Show@8Grafica, Grafica2<, PlotRange ® 88-8, 8<, 8-6, 1<<, AxesLabel ® 8X, Y<D
Jairo Cordoba