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__________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Material de uso exclusivamente didáctico 1 MATEMÁTICA RECUPERATORIO SEGUNDO PARCIAL CLAVES DE CORRECCIÓN Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 1 1. Siendo 𝑓(𝑥) = 3𝑙𝑛(𝑎𝑥2 + 10𝑥 + 1), hallar analíticamente el valor de 𝑎 ∈ ℝ si se sabe que 𝑓(𝑥) tiene un extremo relativo en 𝑥 = 1. Luego, con el valor hallado, determinar el o los valores de 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 0. (3 puntos) Solución En primer lugar, para hallar los extremos relativos de una función, debemos hallar su derivada. Por lo tanto, aplicando la regla de la cadena, determinamos 𝑓′(𝑥): 𝑓′(𝑥) = 3 · 1 𝑎𝑥2 + 10𝑥 + 1 · (2𝑎𝑥 + 10) Como sabemos que la función tiene un extremos relativos (máximo o mínimo) en 𝑥 = 1, esto implica que 𝑓′(1) = 0. Luego: 𝑓′(1) = 3 · 1 𝑎 · 12 + 10 · 1 + 1 · (2𝑎 · 1 + 10) = 0 3 · 2𝑎 + 10 𝑎 + 11 = 0 De esto, podemos asegurar que 𝑎 ≠ −11 Resolvemos la ecuación: 3 · 2𝑎 + 10 𝑎 + 11 = 0 2𝑎 + 10 𝑎 + 11 = 0 2𝑎 + 10 = 0 𝑎 = −5 Es decir que 𝑓(𝑥) = 3𝑙𝑛(−5𝑥2 + 10𝑥 + 1). Ahora hay que determinar los valores de 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) para que 𝑓(𝑥) = 0 𝑓(𝑥) = 0 3 ∙ 𝑙 𝑛(−5𝑥2 + 10𝑥 + 1) = 0 𝑙 𝑛(−5𝑥2 + 10𝑥 + 1) = 0 −5𝑥2 + 10𝑥 + 1 = 1 ⇔ −5𝑥2 + 10𝑥 = 0 ⇔ (−5𝑥 + 10)𝑥 = 0 Llegamos a una ecuación cuyas soluciones son: 𝑥1 = 0 𝑥2 = 2 Luego, 𝑓(0) = 0 y 𝑓(2) = 0 𝐶0 = {0; 2} __________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Material de uso exclusivamente didáctico 2 MATEMÁTICA RECUPERATORIO SEGUNDO PARCIAL CLAVES DE CORRECCIÓN Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 1 2. La población 𝑃 de un cultivo de bacterias a los 𝑡 segundos está dada por la función (2 puntos) 𝑃(𝑡) = 5000 + 2 ∙ 10(0,8𝑡+1) Hallar el instante en que la población será de 25.000 bacterias. Solución Debe hallarse un valor 𝑡 que cumpla que 5.000 + 2 ∙ 100,8𝑡+1 = 25.000 lo que es equivalente a pedir que: 2 ∙ 100,8𝑡+1 = 20.000 100,8𝑡+1 = 10.000 A partir de aquí, mostramos dos maneras distintas de encontrar el valor de “t” que cumpla la última condición. Primera manera: como 10.000 = 104, entonces: 100,8𝑡+1 = 104 ⇔ 0,8𝑡 + 1 = 4 ⇔ 0,8𝑡 = 3 ⇔ 𝑡 = 3,75 Segunda manera: 100,8𝑡+1 = 104 ⇔ log(100,8𝑡+1) = log(104) ⇔ 0,8𝑡 + 1 = 4 ⇔ 𝑡 = 3,75 3. Hallar el valor de 𝐶 ∈ ℝ que asegure que la siguiente función tenga una asíntota en 𝑥 = 6 (2 puntos) 𝑓(𝑥) = 4 𝑥2 − 12𝑥 + 𝐶 Solución La función tendrá una asíntota vertical en 𝑥 = 6 si lim x→6 4 𝑥² − 12𝑥 + 𝐶 = ∞ Esto ocurrirá cuando el denominador se anule al calcular su valor para 𝑥 = 6, es decir: 62 − 12 ∙ 6 + 𝐶 = 0 ⇔ 36 − 72 + 𝐶 = 0 ⇔ 𝑪 = 𝟑𝟔 4. Hallar, utilizando integrales, el área encerrada por la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 12𝑥 y la recta que pasa por los puntos 𝑃 = (3; 9) y 𝑄 = (2; 3) (3 puntos) Solución En primer lugar, debemos encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑃 = (3; 9) y 𝑄 = (2; 3). Sea 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 la ecuación de la recta. Entonces, __________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Material de uso exclusivamente didáctico 3 MATEMÁTICA RECUPERATORIO SEGUNDO PARCIAL CLAVES DE CORRECCIÓN Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 1 9 = 3𝑚 + 𝑏 3 = 2𝑚 + 𝑏 Resolviendo el sistema anterior obtenemos 𝑚 = 6 y 𝑏 = −9. La ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑃 = (3; 9) y 𝑄 = (2; 3) es 𝑦 = 6𝑥 − 9 Ahora estamos en condiciones de hallar el área encerrada entre 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 12𝑥 y la recta de ecuación 𝑦 = 6𝑥 − 9. Primero buscamos las intersecciones de ambas gráficas para poder definir los límites de integración. −3𝑥2 + 12𝑥 = 6𝑥 − 9 −3𝑥2 + 12𝑥 − 6𝑥 + 9 = 0 −3𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0 donde 𝑥1 = −1 y 𝑥2 = 3, por lo cual nuestros límites de integración serán -1 y 3. Como la parábola correspondiente a la función 𝑓(𝑥) es cóncava hacia abajo, sabemos que dicha función es la superior y la recta la inferior. De esa manera calcularemos la integral entre -1 y 3 de la función 𝑓(𝑥) menos la ecuación de la recta Á𝑟𝑒𝑎 = ∫(−3𝑥2 + 12𝑥 − (6𝑥 − 9)) 3 −1 𝑑𝑥 = ∫(−3𝑥2 + 12𝑥 − 6𝑥 + 9) 3 −1 = = ∫(−3𝑥2 + 6𝑥 + 9) 3 −1 𝑑𝑥 = ( −3𝑥3 3 + 6𝑥2 2 + 9𝑥)| −1 3 = = ( −3 ∙ 33 3 + 6 ∙ 32 2 + 9 ∙ 3) − ( −3 ∙ (−1)3 3 + 6 ∙ (−1)2 2 + 9 ∙ (−1)) = = (−27 + 27 + 27) − (1 + 3 − 9) = 27 + 5 = 32 Por lo cual el área pedida es 32. __________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Material de uso exclusivamente didáctico 1 MATEMÁTICA RECUPERATORIO SEGUNDO PARCIAL CLAVES DE CORRECCIÓN Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 2 1. Hallar, utilizando integrales, el área encerrada por la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 12𝑥 y la recta que pasa por los puntos 𝑃 = (3; 9) y 𝑄 = (2; 3) (3 puntos) Solución En primer lugar, debemos encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑃 = (3; 9) y 𝑄 = (2; 3). Sea 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 la ecuación de la recta. Entonces, 9 = 3𝑚 + 𝑏 3 = 2𝑚 + 𝑏 Resolviendo el sistema anterior obtenemos 𝑚 = 6 y 𝑏 = −9. La ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝑃 = (3; 9) y 𝑄 = (2; 3) es 𝑦 = 6𝑥 − 9 Ahora estamos en condiciones de hallar el área encerrada entre 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 12𝑥 y la recta de ecuación 𝑦 = 6𝑥 − 9. Primero buscamos las intersecciones de ambas gráficas para poder definir los límites de integración. −3𝑥2 + 12𝑥 = 6𝑥 − 9 −3𝑥2 + 12𝑥 − 6𝑥 + 9 = 0 −3𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 0 donde 𝑥1 = −1 y 𝑥2 = 3, por lo cual nuestros límites de integración serán -1 y 3. Como la parábola correspondiente a la función 𝑓(𝑥) es cóncava hacia abajo, sabemos que dicha función es la superior y la recta la inferior. De esa manera calcularemos la integral entre -1 y 3 de la función 𝑓(𝑥) menos la ecuación de la recta Á𝑟𝑒𝑎 = ∫(−3𝑥2 + 12𝑥 − (6𝑥 − 9)) 3 −1 𝑑𝑥 = ∫(−3𝑥2 + 12𝑥 − 6𝑥 + 9) 3 −1 = = ∫(−3𝑥2 + 6𝑥 + 9) 3 −1 𝑑𝑥 = ( −3𝑥3 3 + 6𝑥2 2 + 9𝑥)| −1 3 == ( −3 ∙ 33 3 + 6 ∙ 32 2 + 9 ∙ 3) − ( −3 ∙ (−1)3 3 + 6 ∙ (−1)2 2 + 9 ∙ (−1)) = = (−27 + 27 + 27) − (1 + 3 − 9) = 27 + 5 = 32 Por lo cual el área pedida es 32. 2. Hallar el valor de 𝐶 ∈ ℝ que asegure que la siguiente función tenga una asíntota en 𝑥 = 6 (2 puntos) 𝑓(𝑥) = 4 𝑥2 − 12𝑥 + 𝐶 Solución La función tendrá una asíntota vertical en 𝑥 = 6 si __________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Material de uso exclusivamente didáctico 2 MATEMÁTICA RECUPERATORIO SEGUNDO PARCIAL CLAVES DE CORRECCIÓN Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 2 lim x→6 4 𝑥² − 12𝑥 + 𝐶 = ∞ Esto ocurrirá cuando el denominador se anule al calcular su valor para 𝑥 = 6, es decir: 62 − 12 ∙ 6 + 𝐶 = 0 ⇔ 36 − 72 + 𝐶 = 0 ⇔ 𝑪 = 𝟑𝟔 3. La población 𝑃 de un cultivo de bacterias a los 𝑡 segundos está dada por la función (2 puntos) 𝑃(𝑡) = 5000 + 2 ∙ 10(0,8𝑡+1) Hallar el instante en que la población será de 25.000 bacterias Solución Debe hallarse un valor 𝑡 que cumpla que 5.000 + 2 ∙ 100,8𝑡+1 = 25.000 lo que es equivalente a pedir que: 2 ∙ 100,8𝑡+1 = 20.000 100,8𝑡+1 = 10.000 A partir de aquí, mostramos dos maneras distintas de encontrar el valor de “t” que cumpla la última condición. Primera manera: como 10.000 = 104, entonces: 100,8𝑡+1 = 104 ⇔ 0,8𝑡 + 1 = 4 ⇔ 0,8𝑡 = 3 ⇔ 𝑡 = 3,75 Segunda manera: 100,8𝑡+1 = 104 ⇔ log(100,8𝑡+1) = log(104) ⇔ 0,8𝑡 + 1 = 4 ⇔ 𝑡 = 3,75 4. Siendo 𝑓(𝑥) = 3𝑙𝑛(𝑎𝑥2 + 10𝑥 + 1), hallar analíticamente el valor de 𝑎 ∈ ℝ si se sabe que 𝑓(𝑥) tiene un extremo relativo en 𝑥 = 1. Luego, con el valor hallado, determinar el o los valores de 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 0. (3 puntos) Solución En primer lugar, para hallar los extremos relativos de una función, debemos hallar su derivada. Por lo tanto, aplicando la regla de la cadena, determinamos 𝑓′(𝑥): 𝑓′(𝑥) = 3 · 1 𝑎𝑥2 + 10𝑥 + 1 · (2𝑎𝑥 + 10) Como sabemos que la función tiene un extremos relativos (máximo o mínimo) en 𝑥 = 1, esto implica que 𝑓′(1) = 0. Luego: __________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ Material de uso exclusivamente didáctico 3 MATEMÁTICA RECUPERATORIO SEGUNDO PARCIAL CLAVES DE CORRECCIÓN Segundo Cuatrimestre 2016 – TEMA 2 𝑓′(1) = 3 · 1 𝑎 · 12 + 10 · 1 + 1 · (2𝑎 · 1 + 10) = 0 3 · 2𝑎 + 10 𝑎 + 11 = 0 De esto, podemos asegurar que 𝑎 ≠ −11 Resolvemos la ecuación: 3 · 2𝑎 + 10 𝑎 + 11 = 0 2𝑎 + 10 𝑎 + 11 = 0 2𝑎 + 10 = 0 𝑎 = −5 Es decir que 𝑓(𝑥) = 3𝑙𝑛 (−5𝑥2 + 10𝑥 + 1). Ahora hay que determinar los valores de 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) para que 𝑓(𝑥) = 0 𝑓(𝑥) = 0 3 ∙ 𝑙 𝑛(−5𝑥2 + 10𝑥 + 1) = 0 𝑙 𝑛(−5𝑥2 + 10𝑥 + 1) = 0 −5𝑥2 + 10𝑥 + 1 = 1 ⇔ −5𝑥2 + 10𝑥 = 0 ⇔ (−5𝑥 + 10)𝑥 = 0 Llegamos a una ecuación cuyas soluciones son: 𝑥1 = 0 𝑥2 = 2 Luego, 𝑓(0) = 0 y 𝑓(2) = 0 𝐶0 = {0; 2}
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