Clase N 23 Ecuacion dif lineal, Bernoulli , Trayectoria ortogonal

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Clase Nº 23: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales de Primer Orden Mg. M. A, Correa Zeballos 
 
 
 
DICTADO DE ANALISIS MATEMATICO II EN MODO VIRTUAL 
 
CLASE Nº 23: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE PRIMER 
ORDEN. ECUACIÓN DE BERNOULLI. FAMILIA DE CURVAS Y 
TRAYECTORIAS ORTOGONALES 
 
 
1, ECUACIÓN ORDINARIA LINEAL DE PRIMER ORDEN 
1.1. Definición 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El rasgo característico de esta ecuación es que es lineal en y e y`, mientras que 
p(x) y q(x) pueden ser cualquier funciones de la variable independiente x. 
 
1.2. Solución General de la Ecuación Homogénea. 
, separando variables tenemos: 
 
 
 
 
Esta expresión representa la solución general de la ecuación homogénea. 
 
1.3. Solución General de la Ecuación No Homogénea. 
Se deducirá una fórmula para encontrar la solución general de la ecuación 
diferencial lineal de primer orden no homogénea , en algún 
intervalo I. Para ello, se usará un factor integrante F(x) que convertirá el lado izquierdo 
de la ecuación en la derivada de un producto de funciones, F(x) y. Suponiendo que p(x) 
y q(x) son continuas en I, se escribe la ecuación en la forma diferencial: 
 
Para encontrar el factor integrante F(x) que depende solamente de x, multiplicamos 
ambos miembros de la ecuación por dicho factor: 
0y)x(p
dx
dy
=+
Ce,e.ey
;Cdx)x(pyln,dx)x(p
y
dy
1C1Cdx)x(p
1
=±=
+-=-=
ò-
ò
ò-= dx)x(peC)x(y
)x(qy)x(p
dx
dy
=+
[ ] 0dydx)x(qy)x(p =+-
Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es lineal si puede 
escribirse en la forma: 
 
Donde, p(x) y q(x) son funciones continuas de x. 
Si q(x) = 0, la ecuación ordinaria lineal de primer orden se denomina homogénea. 
Si q(x) ≠ 0, la ecuación ordinaria lineal de primer orden se llama no homogénea. 
 
)x(qy)x(p
dx
dy
=+
 
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Esta ecuación debe ser exacta. 
Es decir que dada la condición de una ecuación diferencial de esta forma para que sea 
exacta se debe cumplir que, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se considera C = 1 ya que se necesita un factor integrante, por lo tanto 
 
Esto demuestra que F(x) es un factor integrante de la ecuación. Multiplicando la 
ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea por este factor, se obtiene, 
 
 
 
Sabiendo que , 
 
se observa que el primer miembro es la derivada del producto de funciones F(x) y. 
Entonces se puede escribir la ecuación en la forma, 
 
Separando variables se obtiene, 
 
Integrando ambos miembros de esta igualdad será, 
 
 
 
 
 
 
 
[ ] 0dy)x(Fdx)x(qy)x(p)x(F =+-
[ ]
dx
)x(Fd))x(qy)x(p()x(F
y
=-
¶
¶
dx
)x(dF)x(p)x(F =
ò= dx)x(pe)x(F
)x(q.ey)x(p
dx
dy.e
dx)x(pdx)x(p òò =úû
ù
êë
é +
òòò +=÷
ø
ö
ç
è
æ dx)x(pdx)x(pdx)x(p e.)x(p.ye.
dx
dye.y
dx
d
)x(q.ee.y
dx
d dx)x(pdx)x(p òò =÷
ø
ö
ç
è
æ
dx)x(q.ee.yd
dx)x(pdx)x(p òò =÷
ø
ö
ç
è
æ
C)x(q.ee.y
dx)x(pdx)x(p
+= ò òò
òò
ò
=±=
=
+=
=
ò
dx)x(pdx)x(p1C
dx)x(p1C
1
eCe.e)x(F
e.e)x(F
Cdx)x(p)x(Fln
dx)x(p
)x(F
)x(dF
 ú
û
ù
ê
ë
é
+= ò òò
-
Cdx)x(qe.e)x(y
dx)x(pdx)x(p
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 Esta expresión representa la solución general de la ecuación diferencial lineal de 
primer orden. 
 
Ejemplo. 
Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden. 
 
Solución: 
La forma canónica de la ecuación dada es 
 
Por tanto, p(x)= -2/x, y encontrando el factor 
 
 
Luego multiplicando la ecuación por el factor se obtiene, 
 
 
 
 
 
2. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI 
El nombre de esta ecuación es en honor al matemático y físico francés James 
Bernoulli (1654-1705). 
 
2.1. Definición 
 
 
 
 
 
 
Esta ecuación es lineal si n=0. y de variables separables si n=1, por tanto, en el 
desarrollo que sigue, suponemos que y 
 
2.2. Solución de la Ecuación de Bernoulli 
Esta ecuación puede reducirse a la forma de una ecuación diferencial lineal con 
una sustitución apropiada. 
Comenzamos multiplicando por para obtener 
2xy2'xy =-
xy
x
y =÷
ø
ö
ç
è
æ-
2'
2xlnxln2dx
x
2dx)x(p -=-=-= òò
2
2xlndx)x(P
x
1ee ==
-ò
2/1 x
132 xy.x2`y.x --- =-
x
1
x
1y
dx
d
2 =úû
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
Cxlndx
x
1
x
y
2 +== ò
22 xCxlnx)x(y +=
0¹n .1¹n
ny-
Una ecuación diferencial del tipo siguiente: 
 , se llama ecuación diferencial de 
Bernoullí 
 
1ny0n,Rn,y)x(qy)x(p
dx
dy n ¹¹Î=+
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 Se hace el cambio de variables , en consecuencia 
 
 
 
La que resulta ser una ecuación lineal en la variable z y su solución general es: 
 
 
Volviendo a las variables originales se obtiene la solución general de la ecuación 
diferencial de Bernoullí: 
 
 
 
Ejemplo 
Hallar la solución general de la ecuación de Bernoullí 
Solución: 
Para resolver esta ecuación de Bernoullí donde n=-3, se multiplica ambos 
miembros por y3 ambos miembros, 
 
 
Se realiza la sustitución 
 
 
Ecuación lineal: 
 Puesto que esta ecuación es lineal en z, tenemos p(x) = 4x 
 
 Lo cual implica que es un factor integrante. Multiplicando por este factor 
obtenemos 
 
)x(qy)x(p
dx
dyy n1n =+ --
n1
yz
-
=
( )
dx
dz
n1
1
dx
dyy,
dx
dy.yn1
dx
dz nn
-
=-= --
( ) )x(q)n1(z)x(pn1
dx
dz,)x(qz)x(p
dx
dz
n1
1
-=-+=+
-
( )
úû
ù
êë
é +-òò= ò
--- Cdx)x(q)n1(e.e)x(z dx)x(p)n1(dx)x(pn1
( )
úû
ù
êë
é +-òò= ò
---- Cdx)x(q)n1(e.ey dx)x(p)n1(dx)x(pn1n1
32x yexyx'y --=+
4
'z´y.y
'yy4'zyyz
3
34n1
=
=Þ== -
2x2x ex4zx4'z´,exzx
4
'z -- =+=+
)x(qz)x(p'z =+
ò ==ò 2x2dxx4dx)x(p
22xe
2x2x22x2´2x2 ex4ezx4eze -=+
 
2x43 exyx'y.y -=+
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 Luego sustituyendo la solución general es: 
 
 
 
 
3. FAMILIAS DE CURVAS Y TRAYECTORIAS ORTOGONALES 
3.1. Introducción 
Un problema común requiere determinar una familia de curvas ortogonal a cada 
una de las a curvas integrantes de una cierta familia dada. 
Por ejemplo dada la siguiente familia, 
 familia de círculos 
Se observa que cada uno de ellos interseca a cada una de rectas de las rectas de 
la familia 
 familia de rectas en ángulo recto. 
Se dice que las dos familias de curvas de ese tipo son mutuamente ortogonales, y 
cada curva de una de las familias se llama una trayectoria ortogonal a la otra familia. 
Las trayectorias ortogonales son de aplicación común en electrostática, 
termodinámica e hidrodinámica. En electrostática, las líneas de fuerza son ortogonales 
a las curvas equipotenciales. En termodinámica, el flujo de calor a través de una 
superficie plana es ortogonal a las curvas isotermas. En hidrodinámica, las líneas de flujo 
(o de corrientes) son trayectorias ortogonales a las curvas potenciales de velocidades. 
3.2. Definición de las trayectorias ortogonales. 
Dada la ecuación (1) F(x,y,C) = 0, la que representa una familia uniparamétrica 
donde C es el parámetro, queremos encontrar otra familia (2) G(x,y,K) = 0 con la 
propiedad de que cada elemento de esta familia intercepte ortogonalmente a cada 
miembro de la otra familia. Las familias (1) y (2) son las trayectorias ortogonales, una 
con respecto a la otra. 
3.3. Procedimiento para encontrar las trayectorias ortogonales. 
 Dada la familia F(x,y,C) = 0 la ecuación diferencial asociada a la misma es, 
, 
la que geométricamente representa la pendiente de la familia dada en cualquier punto 
(x,y), por la tanto la pendiente de la familia ortogonal ha de tener pendiente recíproca y 
de signo contrario a esta, es decir, 
 
la que representa la ecuación diferencial de las trayectoria ortogonales. Resolviendo 
esta ecuación encontramos la familia ortogonal o sea las trayectorias ortogonales: 
2x2x2 ex4ez
dx
d
=úû
ù
êë
é
2x2Ce
2xe2zC
2xe2dx
2xxe4x2ze
2
-+-=
ò +==
4yz =
2x2x4 eCe2y -- +=
Cyx =+ 22
kxy =
)y,x(f
dx
dy
=
)y,x(f
1
dx
dy
-=
 
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G(x,y,K) = 0. 
Ejemplo 1. 
Encontrar las trayectorias ortogonales de las parábolas y = C x2 
Solución. 
Derivando la ecuación de la familia, se tiene que, y´ = 2 C x, despejando C de la 
ecuación de las parábolas se tiene C = y / x2 y reemplazándolo en la ecuación se obtiene 
la ecuación diferencial de la familia de parábolas o sea, 
 
La ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es, 
 
Separando variables e integrando, encontramos que las trayectorias ortogonales 
son las elipses dadas por: 
 
 
Ecuación que representa la familia ortogonal. 
 
 
 
 
Ejemplo 2: 
Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dada por para 
. Dibujar varias curvas de ambas familias. 
Solución: 
Se despeja C de la ecuación dada y se escribe xy = C. Derivando ahora implícitamente 
respecto de x se obtiene la ecuación diferencial 
 
x
y2
dx
dy
=
y
x
2
1
dx
dy
-=
*
22
K
2
x
2
1
2
ydxx
2
1dyy;dxx
2
1dyy +-=Þ-=-= ò ò
Ky
2
xK
2
y
4
x 22*22 =+Þ=+
xCy /=
0¹C
Trayectorias 
ortogonales 
 
Familia 
dada 
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 ; 
 
la que representa geométricamente la pendiente de la familia dada en cualquier 
punto (x,y). 
De aquí, la familia ortogonal ha de tener pendiente recíproca y de signo contrario, 
es decir, x/y. por lo que , 
 
; 
 
Es la pendiente de la familia ortogonal 
Ahora podemos hallar la familia ortogonal por separación de variables e 
integración. 
 
 
 
 
Por tanto, cada trayectoria ortogonal es una hipérbola de ecuación 
 
 
 
Estas hipérbolas tienen sus centros en el origen y ejes transversales verticales 
para K > 0 y horizontales para K < 0. En la figura siguiente se muestran la familia dada y 
las trayectorias ortogonales. 
 
x
y
dx
dyyxy -=Þ=+ 0'
y
x
dx
dy
=
ò ò= xdxydy
1
22
K
2
x
2
y
+=
0KK2
1
K
x
K
y
1
22
¹=
=-
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