paradoja 4

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Hary Nicol Trujillo.
Paradojas matemáticas.
Paradoja de Cantor
La Paradoja de Cantor no es realmente una paradoja en el sentido de
contradicción lógica, como las Paradojas de Russell o la Paradoja del
Mentiroso. En cambio, la Paradoja de Cantor es un resultado sorprendente y
fundamental en la teoría de conjuntos, descubierto por el matemático Georg
Cantor a fines del siglo XIX. Esta paradoja demuestra que no se puede
emparejar o contar todos los elementos de un conjunto infinito.
La Paradoja de Cantor se basa en la noción de conjuntos infinitos y
argumenta lo siguiente:
1. Considera el conjunto de todos los números naturales, que es infinito y
se representa como N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}.
2. Ahora, considera un subconjunto de N que contiene todos los números
naturales pares, que se representa como A = {2, 4, 6, 8, ...}.
Hasta aquí, todo parece normal, pero la paradoja surge cuando intentas
comparar el tamaño de los conjuntos N y A. A simple vista, podrías pensar
que ambos conjuntos son igualmente infinitos porque parecen contener una
cantidad infinita de elementos. Sin embargo, Cantor demostró que esto no es
así. Utilizó un argumento llamado "prueba de la diagonalización" para mostrar
que el conjunto A es "menos infinito" que el conjunto N.
La prueba de diagonalización de Cantor implica que siempre puedes
encontrar un número natural que no está en el conjunto A, incluso si A
contiene números infinitos. Este resultado contradice la intuición y lleva a la
conclusión de que existen diferentes tamaños de infinitud. Se dice que el
conjunto de los números naturales N es "numerablemente infinito" (denso) en
comparación con el conjunto A, que es "no numerablemente infinito" (menos
denso).
La Paradoja de Cantor desafía nuestra comprensión intuitiva de la infinitud y
ha tenido un impacto profundo en la teoría de conjuntos y en la filosofía de las
matemáticas. Ha llevado al desarrollo de conceptos como el "conjunto de los
números reales" y ha inspirado investigaciones adicionales sobre la
cardinalidad de conjuntos infinitos. En resumen, la Paradoja de Cantor no es
una contradicción lógica, sino un resultado asombroso que arroja luz sobre la
naturaleza de los conjuntos infinitos.