paradoja 5-1

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Hary Nicol Trujillo.
Paradojas matemáticas.
Paradoja de Skolem
La paradoja de Skolem es una verdadera paradoja, o sea, un resultado que
contradice fuertemente nuestras expectativas, pero que no da lugar a una
contradicción. Fue el mismo Skolem, en su magistral artículo, quien ofreció la
explicación estándar de por qué no hay contradicción.
Al abandonar la matemática informal por la axiomática, ‘conjunto’ ya no es
una colección arbitraria, sino un objeto que está ligado con otros objetos del
dominio a través de ciertas relaciones postuladas en los axiomas. Por eso no
es contradictorio que un objeto A del dominio sea no-enumerable en el
sentido de los axiomas –dentro del dominio no hay una ‘biyección’ entre A y el
conjunto de los naturales– y que a la vez el dominio entero sea enumerable
–y por tanto lo sean todos los objetos que hacen el papel de ‘elementos’ de
A–. Desde fuera del dominio se puede reconocer una colección de pares que
establece una biyección entre los elementos de A y los naturales, pero
simplemente esa colección no es un ‘conjunto’, no forma parte del dominio.
Por supuesto, en el dominio tendremos, además de N, otro objecto pN que es
el ‘conjunto’ de todos sus subconjuntos, pero este ‘conjunto’ sólo es
no-enumerable visto desde dentro del dominio: todos sus ‘elementos’ son
claramente enumerables por pertenecer a un modelo enumerable.
Tras plantear la paradoja de Skolem, resultado inevitable de la completa
formalización del sistema axiomático, y explicar su naturaleza, el noruego
sacaba la principal consecuencia: “axiomatizar la teoría de conjuntos conduce
a una relatividad de las nociones conjuntistas, y esta relatividad está
inseparablemente ligada a la plena axiomatización”.
Skolem confesaba su sorpresa al ver que tantos matemáticos encontraban en
los axiomas ZFC una “fundamentación ideal” para las matemáticas, cuando
en su opinión no es así en absoluto. Nociones clave, como las de
‘enumerable’ y ‘no enumerable’ quedan relativizadas; incluso las de ‘finito’ e
‘infinito’ se ven afectadas. Por eso Skolem se declaró partidario de una
fundamentación que trabaje con nociones más naturales e inmediatamente
claras, como son el concepto de número entero y las inferencias por
inducción matemática.
Referencias
https://institucional.us.es/blogimus/2021/05/skolem-100-anos-de-paradoja/