Trigonometría

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BANCO DE EJERCICIOS
DE LA COLECCIÓN COMPENDIOS
TRIGONOMETRÍA
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ÍNDICE
Sistema de medición angular ........................................................................................................... 4
Razones trigonométricas de un ángulo agudo ................................................................................. 11
Razones trigonométricas de ángulos en posición estándar ............................................................. 23
Circunferencia trigonométrica........................................................................................................... 27
Identidades trigonométricas para un mismo arco............................................................................. 35
Arcos compuestos ............................................................................................................................ 39
Reducción al primer cuadrante......................................................................................................... 44
Identidades de arcos múltiples ......................................................................................................... 49
Transformaciones trigonométricas ................................................................................................... 58
Ecuación trigonométrica ................................................................................................................... 65
Funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas .................................................... 73
Resolución de triángulos oblicuángulos ........................................................................................... 82
BANCO DE EJERCICIOS4
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ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Se genera por la rotación de un rayo (en el mismo 
plano), alrededor de un punto fijo llamado vértice, 
desde una posición inicial hasta una posición final.
Consideramos un ángulo positivo cuando las rota-
ción del rayo sea contraria al movimiento de las 
manecillas de un reloj (antihorario); cuando la rota-
ción sea en el mismo sentido de movimiento (hora-
rio) el ángulo se considera negativo.
O θ O
β
Donde: 
O: vértice de los ángulos generados
q: ángulo trigonométrico positivo
b: ángulo trigonométrico negativo
• Cuando a un ángulo trigonométrico se le in-
vierte su sentido, su valor cambia de signo.
• Para sumar ángulos trigonométricos en un
gráfico estos deben tener el mismo sentido.
MEDICIÓN DE UN ÁNGULO
Al medir un ángulo, tratamos de asignarle un nú-
mero que indique la magnitud de este. Se debe te-
ner presente para un ángulo positivo, que cuando 
sea mayor la rotación, mayor será el ángulo.
ÁNGULO DE UNA VUELTA
Es aquel que se genera, cuando el lado final e ini-
cial coinciden por primera vez de cierta rotación. 
Podríamos asignarle a este ángulo el número 1 y 
decir que ángulo de una vuelta es: 1 v. 
La forma más lógica para medir el ángulo es el 
número de vueltas o llamado también número de 
revoluciones.
1/4 v 1/2 v
3/4 v
1 v
MEDIDA EN GRADOS SEXAGESIMALES
El sistema más utilizado en aplicaciones de inge-
niería, topografía y navegación es el sistema sexa-
gesimal.
En este sistema definimos el ángulo de una vuelta 
como aquel ángulo cuya medida es 360° (1°: grado 
sexagesimal).
Ejemplo:
240°
Dibujemos un ángulo de 2/3 de una vuelta y calcu-
lemos su medida.
La medida en grados sexagesimales de este ángu-
lo es 
3
2 (360°) = 240°
 ̀ Medida de un ángulo en grados sexagesima-
les = (Número de revoluciones) (360°)
Tenemos también:
1 v = 360° 1° = 60’ 1’ = 60”
* 1° = 3600”
Donde: 1’: minuto sexagesimal
 1”: segundo sexagesimal
MEDIDA EN GRADOS CENTESIMALES
Debido a que este sistema no es muy utilizado y 
carece de aplicaciones prácticas, solo nos limita-
remos a mencionar algunas equivalencias. En este 
sistema definimos el ángulo de una vuelta como 
aquel cuya medida es 400g (1g: grado centesimal)
También tenemos:
1 v = 400g 1g = 100m 1m = 100s
* 1g = 10 000s
Donde: 1m: minuto centesimal
 1s: segundo centesimal
MEDIDA EN RADIANES
Consideremos un ángulo q y dibujemos una cir-
cunferencia de radio r y el vértice del ángulo en su 
centro O; sea además L la longitud del arco de la 
circunferencia que se genera. Entonces se define:
SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR
5TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE10
La medida de un ángulo en radianes (números de 
radianes) viene expresado por:
r
Lq =θr
r
L
O
Ejemplo: 
θ
r = 2 cm
L = 8 cm
O
De la definición: 
r
L
cm
cm
2
8 4q = = =
 
El número 4 no tiene unidades, así un ángulo de 
4 (radianes) significa un ángulo que subtiende un 
arco cuya longitud es cuatro veces la longitud del 
radio (L = 4r)
Ahora si consideramos L = r, en-
tonces según la definición tene-
mos: 
r
L
r
r 1q = = = 
Podemos definir un ángulo de un radián (1 rad) 
como el ángulo central que subtiende un arco cuya 
longitud es igual a la del radio.
Nota:
1 vuelta: 360° = 400g = 2p rad
2
1 vuelta: 180° = 200g = p rad
4
1 vuelta: 90° = 100g = 
2
p rad
• 1 rad 2 1° 2 1g
• 27' = 50m
• 1' 2 1m
• 81" = 250s
• 1" 2 1s
• 27' = 5000s
• 1' 2 1s
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS QUE REPRESEN-
TAN LA MEDIDA DE UN ÁNGULO
Consideremos ahora un ángulo trigonométrico po-
sitivo como se muestra en la figura:
Siendo:
S: número de grados sexagesimales del ángulo q.
C: número de grados centesimales del ángulo q.
R: número de radianes del ángulo q.
θO
S°
Cg
R rad
Se cumple: S C R
180 200 p
= =
;S R180
p=
;C R200
p=
S C
9 10
=
S = 9k
C = 10k
S = 180k
C = 200k
R = pk
LONGITUD DE ARCO DE CIRCUNFERENCIA
Si un arco de longitud L en una circunferencia de 
radio r, subtiende un ángulo central (medida en ra-
dianes)
Entonces: L = qr 0 1 q # 2p
 
L = qr
q = r
L
r = L
q 
θ
r
L
r
Aplicaciones
1. Número de vueltas que da una rueda sin 
resbalar, al desplazarse de una posición a 
otra
 En la figura se muestra una rueda de radio r, 
que se desplaza de una posición A a otra B, 
sin resbalar.
r
r
A
B
lC
θr
r
L = r
O
BANCO DE EJERCICIOS6
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11TRIGONOMETRÍA
 El número de vueltas que da dicha rueda para 
tal condición se calcula mediante la siguiente 
relación: nv = 
l
r2
c
p
 Donde:
 nv: número de vueltas que da la rueda.
 lc: longitud descrita por el centro de la rueda.
 r: radio de la rueda.
2. Poleas y engranajes
• Engranajes en contacto y poleas unidas por 
una faja de transmisión
A
rA rB
B
Figura (I)
F
T
P
BA
Figura (II)
 En la figura (I) se tiene dos engranajes y en la 
figura (II) se tiene dos poleas unidas por una 
faja de transmisión. En cada caso, si A gira un 
ángulo qA entonces B girará otro ángulo qB. 
Además las longitudes descritas por los pun-
tos P, T y F son iguales, es decir:
 lP = lT = lF  ̀  qA rA = qB rB = lF
lp: denota la longitud de la trayectoria descri-
ta por el punto P, análogamente para los 
otros puntos mencionados.
• Poleas unidas por un eje.
A
B
P
QEje
 Se tienen dos poleas unidas por un eje, si la 
polea A gira un ángulo qA entonces la polea B, 
girará un ángulo qB: qA = qB
ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
A la porción sombreada de la figura, se denomina 
sector circular.
Si q es el ángulo central expresado en radianes, de 
una circunferencia de radio r, y si S denota el área 
de un sector circular subtendido por q.
Entonces: 
θO
r
B
Ar
 
S r
2
2q
= S Lr2
= S L
2
2
q
=
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar el equivalente en grados, minutos y se-
gundos sexagesimales de unarco de 
7
5p rad:
 Resolución:
 Pasando al sistema sexagesimal:
 
7
5p rad ° °
rad
180
7
900
p
=c m
 
240 7
2 34 & 34’
# 60 
120 7
1 17 & 17"
900 7
4 128 & 128°
# 60
 ̀
7
5p rad / 128°34'17''
2. Hallar la conversión de 
9
32p rad en grados 
sexagesimales.
 Resolución:
 Pasando al sistema sexagesimal:
 
9
32p rad °
rad
180
pc m
 = °
9
32 180# =  640°
7TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE12
3. Si el complemento del arco x es 
14
3p
- radianes, 
hallar el valor de x en grados centesimales.
 Resolución:
 Sabemos que el complemento de un arco x 
es: x
2
p
-
 Por dato: x
2 14
3p p
- =- 
 x
12 14
3p p
= + & x 7
5p
= rad
 Este valor lo pasamos al sistema centesimal:
 
7
5p rad
rad
200g
p
c m = 
7
1000g = 142, 8571g
 Pasando a minutos y segundos se obtiene:
x = 142g 85m 71s
4. Un tramo de una vía férrea curvilínea está for-
mado por dos arcos sucesivos. El primer arco 
corresponde a un ángulo central de 20° con un 
radio de 2500 pies y el segundo corresponde a 
un ángulo central de 25° con un radio de 3000 
pies. Encontrar la longitud total de la vía.
 Resolución
 Observar de la figura que la longitud total de la 
vía es igual a la suma de los arcos L1 y L2.
 L1 = 180
20 pc m(2500) 
2500 20°
L1
3000
25°
L2
 L2 = 180
25 pc m(3000)
 L1 + L2 = 9
6250p
 Considerando: p = 3,1416 se obtiene
 ̀ L1 + L2 = 2181,67 pies
5. Se tiene un sector circular de radio r y ángu-
lo central de 36°. ¿Cuánto hay que aumentar 
al ángulo central de dicho sector para que su 
área no varíe, si su radio disminuye en un 
cuarto del anterior?
 Resolución:
 Sector circular (inicialmente):
 S = 
180
36
2
1 pc mr2 ...(1) 36° 
r
 (S: área del sector circular)
 Sector circular (después):
36° + α
r r
4-
 Observar que el radio (por dato) del nuevo 
sector es igual a 3r/4, pero el área no varía.
 S = 36
180
r
2
1
4
3 2α π+^ ch m ...(2)
 Como el área es la misma, entonces iguala-
mos (1) y (2):
 
180
36 36
180
r r
2
1
2
1
4
32 2π α π= +c ^ cm h m
 Simplificando: 36° = (36° + a)
16
9 
 Operando tenemos: a = 28°
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
1. Calcule el valor de: 
°
°
R
rad
rad
15
4 8
90
20
7 16g
p
p
=
-
+ +
 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Dada la siguiente equivalencia: 11g 1 2 a°b'
 calcule: b - a
 a) 45 b) 46 c) 47 
d) 48 e) 49
3. Si: 1a a+^ h 1 2 
g
2 0a +^ h
 calcule (a2 + a)° en radianes.
 a) 
30
p b) 
15
p c) 
9
p
 d) 
6
p e) 
30
7p
4. Si 
32
3p rad 1 2 a°b'c'', calcule (a + 2b - c)g en 
el sistema sexagesimal.
 
 a) 72° b) 81° c) 90° d) 99° e) 108°
5. Los ángulos internos de un triángulo miden: 
(3x)°, (10x)g, y x
10
pc m rad. Calcule la diferencia 
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13TRIGONOMETRÍA
de las medidas del mayor y menor ángulo en 
radianes.
 a) 5p/18 b) p/3 c) 7p/18 
d) 4p/8 e) p/2
6. Reducir la expresión:
 E = 
C S
S C
C S
C S R C17 20
10p-
+
+
-
+
+ + -
 siendo S y C las medidas sexagesimal y cen-
tesimal de un ángulo trigonométrico.
 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
7. Determine la medida radial del ángulo que 
cumple: 12S + 5C + 40R/p = 32
 a) p/10 rad b) p/40 rad c) p/80 rad 
d) p/100 rad e) p/90 rad
8. La suma del doble del número de grados 
sexagesimales con el número de grados cen-
tesimales de un ángulo es igual a 140. Deter-
minar la medida circular de dicho ángulo.
 a) 
3
p rad b) 
4
p rad c) 
5
p rad 
d) 
2
p rad e) 
6
p rad
9. El número de segundos sexagesimales de un 
ángulo más el número de minutos centesima-
les del mismo ángulo es 66 800. Calcule la 
medida radial de dicho ángulo. 
 a) p/20 b) p/18 c) p/10
 d) p/9 e) p/6
10. Calcule la medida del ángulo para el cual se 
cumple que: S + 3C - 10SR = 30 (p = 22/7)
 a) 12° b) 15° c) 18° 
d) 21° e) 24°
11. Si a° y bg son suplementarios que están en la 
relación de 1 a 4, respectivamente, calcule el 
valor de: a b+
 a) 11 b) 12 c) 13 
d) 14 e) 15
12. Calcule: 500 x
x y z2- -c m , siendo:
x: número de segundos centesimales de un 
ángulo.
y: número de segundos sexagesimales del 
mismo ángulo.
z: número de minutos centesimales del mis-
mo ángulo.
 a) 169 b) 170 c) 171 
d) 172 e) 173
13. Determine la medida radial del ángulo que 
cumpla con la igualdad:
S C R
9 10
20
5 5 5
p+ +
 = 12(S4 + C4 + R4)
 a) p/3 rad b) p/2 rad c) p/5 rad 
d) 2p/5 rad e) 3p/5 rad
14. Determine la medida circular del ángulo que 
cumpla con la igualdad, siendo S, C y R los 
números convencionales para un ángulo.
 
R S S S S C9
1 1 1 1
1
1 1
2
1 1
1
1
f
p
+ = + +
+
+
+
+
+ -
c c c cm m m m
 a) p/2 rad b) p/4 rad c) p/5 rad 
d) p/8 rad e) p/10 rad
15. Si: 
’’° ’
’
’
’’
’ ’’
x
x x
x
x x
x
x x
m
g m
c c cm m m 1 2 a°b'c''
 calcular: 
b
a c 1- -
 a) 10 b) 15 c) 20 
d) 24 e) 25
16. Siendo S y C los números de grados sexa-
gesimales y centesimales para un mismo án-
gulo el cual cumple: S2 + 81 # 18S
 convertir (4SC)g a radianes.
 a) 9p/5 b) 4p/5 c) 2p/3
 d) 3p/5 e) 6p/7
17. Siendo S y C los números que representan la 
medida de un ángulo en grados sexagesima-
les y grados centesimales, respectivamente, 
cumplen la igualdad:
...S S S C C Cf+ + + = - - -
 Calcular la medida radial de dicho ángulo.
 a) 1,9p rad b) 2,9p rad c) 3,9p rad 
d) 4,9p rad e) 0,9p rad
18. Calcular la medida del mayor ángulo en radia-
nes, si la suma de la cuarta parte del número 
de grados sexagesimales de un ángulo y los 
tres quintos del número de grados centesima-
9TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE14
 a) 12p m2 
120°R
R
 b) 14p m2
 c) 15p m2
 d) 16p m2
 e) 17p m2
4. En un sector circular se cumple que:
L R L6 4
q
+c m = S + 380
 donde: R: radio; q: número de radianes del 
ángulo central; L: longitud de arco, S: área. 
Hallar S:
 a) 14 b) 15 c) 16
 d) 18 e) 20
5. Si S = 5L2, calcular x (S: área).
 a) 2L 
x S
 b) 3L/2
 c) L
 d) L/2
 e) L/3
6. Calcular: q2 + q
 a) 1 
θ rad
 b) 2
 c) 3
 d) 1/2
 e) 1/3
7. Hallar x.
 a) 1 
2 4
3x + 2
 b) 1/2
 c) 1/3
 d) 2
 e) 3
8. Calcular el valor de x.
 a) 3 
x5
2a a
11
 b) 5
 c) 7
 d) 9
 e) 11
9. En un sector circular el radio y el perímetro es-
tán en la relación de 1 a 3. Calcular la medida 
del ángulo central.
 a) 
2
1 rad b) 1 rad c) 
2
3 rad
 d) 2 rad e) 
2
5 rad
les de otro ángulo es 70, además se sabe que 
dichos ángulos son suplementarios.
 a) p b) 2p/3 c) 2p 
d) p/2 e) p/4
19. Un ángulo a mide a0b° y también ac0g. Si 
c 2 b, ¿cuál es el menor valor que puede to-
mar a en radianes?
 a) 
5
12p b) 
5
14p c) 
5
16p 
d) 
5
p e) 
10
17p
20. Se tienen dos ángulos positivos y se sabe lo 
siguiente: la diferencia del número de minutos 
centesimales de uno de ellos con el número 
de minutos sexagesimales del otro es 400, 
además sus números de grados sexagesi-
males y centesimales del segundo y primero 
suman 10. Calcule la diferencia de estos án-
gulos en radianes.
 a) p/46 b) p/12 c) p/20 
d) p/8 e) p/96
1. d 5. e 9. c 13. e 17. a
2. a 6. d 10. a 14. e 18. b
3. c 7. d 11. d 15. a 19. b
4. b 8. b 12. c 16. a 20. eC
l
a
v
e
s
EJERCICIOS PROPUESTOS 2
1. Hallar x.
 a) 1 
x + 1
x + 1
x + 4
x rad
 b) 2
 c) 1/2
 d) 1/3
 e) 2/3
2. De la figura, calcular: 
a b
a b
-
+
 a) 1 a
5
7
b
 b) 3
 c) 6
 d) 5 
 e) 4
3. Calcular el área de la región sombreada: 
 R = 6 m
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15TRIGONOMETRÍA
10. Determinar la longitud de la cuerda que cubre
todo el sistema.
a) R (3 + p)
R R
R
b) 2R (3 + p)
c) 3R (3 + p)
d) 4R (3 + p)
e) 5R (3 + p)
11. Calcular q,si: S1 = S2
θ rad S1
S2
a) p/10 b) p/9 c) p/6
d) p/5 e) p/4
12. Si A: área, hallar x.
a) 1
A xAA 24
b) 2
c) 4
d) 5
e) 6
13. Si S1 + S2 = 15p m2, calcular q.
a) p/15
3 m
3 m
3 m
3 m
S2S1θ rad
b) p/12
c) p/3
d) p/10
e) p/5
14. Calcular el área S de la región sombreada.
a) 48
x - 1 S x + 5
5
x
b) 44
c) 40
d) 46
e) 43
15. Calcular: S (área)
S 2a
b
 a) 3ab b) 5ab c) 2ab
 d) ab e) ab
2
16. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central 
mide 40g. Si el radio mide 15 m, calcular la 
longitud de arco que subtiende.
a) p m b) 2p m c) 3p m
d) 4p m e) 5p m
17. Si L1 + L2 = 3
14p , a + b = 120°; hallar R.
a) 1
R R
βα
R R
L1
L2b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
18. Calcular x.
a) 1/3
2 3 x
10b) 1
c) 4/3
d) 5/3
e) 2
1. b 5. a 9. b 13. c 17. d
2. c 6. a 10. b 14. a 18. d
3. a 7. a 11. d 15. d
4. e 8. d 12. e 16. cC
l
a
v
e
s
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Se llama triángulo rectángulo al que tiene un án-
gulo recto, recuerde que el lado opuesto al ángulo 
recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes 
catetos.
En la figura, llamamos c a la hipotenusa, para in-
dicar que su longitud es de c unidades y, con el 
mismo fin, llamamos a y b a los catetos, ahora su-
pongamos que q es el ángulo agudo.
En el triángulo rectángulo mostrado se cumple:
0 1 q 1 90° 
θ
a
b
c
a 1 c; b 1 c
Teorema de Pitágoras: 
a2 + b2 = c2
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA (RT)
La razón trigonométrica de un ángulo agudo en 
un triángulo rectángulo se define como el cociente 
que se obtiene al dividir las medidas de las longi-
tudes de dos de los lados del triángulo rectángulo 
con respecto al ángulo agudo.
Si en el triángulo de la figura anterior nos referimos 
a las longitudes de los lados del triángulo con los 
nombres hipotenusa (c), cateto opuesto (b) y cate-
to adyacente (a) al ángulo q. Podemos definir las 
razones trigonométricas de q del modo siguiente:
senq = 
á
hipotenusa
cateto opuesto al ngulo
c
bq
=
cosq = 
á
hipotenusa
cateto adyacente al ngulo
c
aq
=
tanq = 
á
á
cateto adyacente al ngulo
cateto opuesto al ngulo
a
b
q
q
=
cotq = 
á
á
cateto opuesto al ngulo
cateto adyacente al ngulo
b
a
q
q
=
secq = 
ácateto adyacente al ngulo
hipotenusa
a
c
q
=
cscq = 
ácateto opuesto al ngulo
hipotenusa
b
c
q
=
Ejemplo:
Calcule los valores de las seis razones trigono-
métricas del menor ángulo agudo q de un trián-
gulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 uni-
dades.
Resolución: 
θ
15
8
a = 17Teorema de Pitágoras
(8)2 + (15)2 = a2
 289 = a2 & a = 17
En el :
 senq = 
17
8 cotq = 
8
15
 cosq = 
17
15 secq = 
15
17
 tanq = 
15
8 cscq = 
8
17
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS 
AGUDOS: 30°, 60°, 45°, 37° Y 53°
Las razones trigonométricas (RT) de estos ángu-
los se obtienen a partir de los siguientes triángulos 
rectángulos.
30°
2k
k
k
60° 2
1
33
30°
60°
5k 5 3k 3 
4k 4 
37° 37°
53° 53°
45°
k
k
45°
k 1
122
45°
45°
 Ángulo
30° 37° 45° 53° 60°
 RT
sen 2
1
5
3
2
2
5
4
2
3
cos
2
3
5
4
2
2
5
3
2
1
tan
3
3
4
3 1
3
4 3
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
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17TRIGONOMETRÍA
 Ángulo
30° 37° 45° 53° 60°
 RT
cot 3 3
4 1 4
3
3
3
sec
3
2 3
4
5 2 3
5 2
csc 2 3
5 2 4
5 3
3
2
Nota:
1. 
15°
75°
4
6 2-
6 2+
^ h
1
75° 15°
4
6
2
-
6
2+
2 3- ^ h2 3+
2. Los valores de las seis razones trigo-
nométricas dependen únicamente de la 
medida del ángulo y no de las longitudes 
de los lados del triángulo rectángulo.
 Luego:
θ
A
B
B’
C C’
 ACB tenemos que: sen q = 
AB
BC
  AC’B’ tenemos que: sen q = 
’
’ ’
AB
B C 
 Luego: 
’
’ ’
AB
BC
AB
B C
=
 Así encontramos el mismo valor para 
senq sin importar cual sea el triángulo 
rectángulo que utilicemos para calcular-
lo, una idea similar podría servir para las 
otras razones trigonométricas.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Siendo q un ángulo agudo, se cumple:
cscq = 
sen
1
q
 & senqcscq = 1
secq = 
cos
1
q
 & cosqsecq = 1
cotq = 
tan
1
q
 & tanqcotq = 1
Ejemplos:
• senq = 
7
2 & cscq = 
2
7
• tanq = 
5
5 & cotq = 
5
5
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS 
COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos agudos se lla-
man complementarios si su 
suma es un ángulo recto.
En la figura que se muestra:
q  y a: son ángulos comple-
mentarios (q + a = 90°).
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b 
como q y el ángulo opuesto al cateto a como a, en 
consecuencia:
 senq = c
b = cosa; cosq = c
a = sena
 tanq = a
b = cota; cotq = 
b
a = tana
 secq = a
c = csca; cscq = 
b
c = seca
sena = cos(90° - a)
tana = cot(90° - a)
seca = csc(90° - a)
Debido a estas relaciones, las razones:
• Seno y coseno
• Tangente y cotangente 
RT(a) = CO-RT(b)
&  a + b = 90°
• Secante y cosecante  
se llaman co-razones trigonométricas una de la 
otra, respectivamente.
a
b
c
θ
α
13TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE18
Ejemplos:
sen40° = cos50° sec20° = csc70°
tan80° = cot10° cot3° = tan87°
cos62° = sen28° csc24° = sec66°
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Las aplicaciones de la trigonometría en campos 
como topografía y navegación requieren resolver 
triángulos rectángulos. La expresión “resolver un 
triángulo” significa encontrar la longitud de cada 
lado y la medida de cada ángulo del triángulo.
En esta sección veremos que podemos resolver 
cualquier triángulo rectángulo si se nos da: 
I. Las longitudes de dos lados.
II. La longitud de un lado y la medida de un án-
gulo agudo.
I. Conociendo las longitudes de dos lados
 Ejemplo:
 Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo 
que sus catetos miden 1 y 2, respectivamente.
 Resolución:
• Para calcular x, aplicamos el teorema de 
Pitágoras:
 (1)2 + (2)2 = a2 
2
1
a
θ
β
  & a2 = 5
 ̀ a = 5
• Para determinar la medida del ángulo q, 
calculemos una razón trigonométrica con 
los catetos de longitudes 1 y 2.
 Es decir: tanq = 
2
1 & q = 26°30’
 Como: q + b = 90° & b = 63°30’
II. Conociendo un lado y la mediada de un án-
gulo agudo
A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un 
ángulo agudo.
 Incógnitas: x, y
• Cálculo de x: 
x
ya
θ
 a
x = cosq  & x = acosq
• Cálculo de y:
 a
y
 = sen q & y = asenq
• En el triángulo rectángulo la medida del 
otro ángulo agudo es: 90° - q
θ
acosθ
asenθ
a
B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del 
cateto opuesto a dicho ángulo.
Incógnitas: x, y
• Cálculo de x: 
x
ay
θ
 a
x = cotq  & x = acotq 
• Cálculo de y:
 a
y
 = cscq & y = acscq
• En el triángulo rectángulo la medida del 
otro ángulo agudo es: 90° - q
θ
acotθ
a
acscθ
C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del 
cateto adyacente a dicho ángulo.
 Análogamente a los triángulos rectángulos 
anteriores tenemos:
θ
a
atanθ
asecθ
ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR
El área de cualquier región triangular esta dado por 
el semiproducto de dos de sus lados multiplicado 
por el seno del ángulo que forman dichos lados.
Así tenemos: 
S
B
A Cb
a
θ
 
S = 
2
1 absenq
 
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19TRIGONOMETRÍA
ÁNGULOS VERTICALES
Son aquellos ángulos contenidos en un plano verti-
cal formados por la línea de mira (o visual) y la línea 
horizontal, que parten de la vista del observador. 
•	 Línea	vertical. Vertical de un lugar es la línea 
que coincide con la dirección que marca la 
plomada.
•	 Línea	 horizontal. Se denomina así a toda 
aquella línea perpendicular a la vertical.
• Plano Vertical. Es el que contiene a toda línea 
vertical.
•	 Línea	visual. Llamada también línea de mira, 
es aquellalínea recta imaginaria que une el 
ojo del observador con el objeto a observarse.
Los ángulos verticales pueden ser:
Ángulo de elevación. Es el ángulo formado por la 
línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto 
se encuentra por encima de la línea horizontal.
α
β θ
Plano vertical
Plano horizontal
Linea horizontal
Lin
ea
 de
 m
ira
L. h
orizo
ntalP
En la figura se muestra la ubicación de los ángulos 
de elevación y depresión.
• a: es la medida del ángulo de elevación, porque 
se encuentra contenido en un plano vertical.
• q: es la medida del ángulo de depresión, por-
que está contenido en un plano vertical.
• b: no es un ángulo de elevación porque está 
contenido en un plano inclinado.
Ángulo de depresión. Es aquel ángulo formado por 
la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto 
se encuentra por debajo de la línea horizontal.
Linea horizontal
Linea de mira
α
α: ángulo de depresión
Ángulo de observación. Es aquel ángulo for-
mado por dos líneas de mira que parten de un 
mismo punto al observar un objeto de un extremo 
al otro.
θ
θ: ángulo de observación
Líne
a de
 mir
a
Líne
a de
 mira
Ejemplo:
El ángulo de elevación de la cúspide de una torre 
es de 60°, a 72 metros de ella, estando el ojo del 
observador a 3 metros sobre el suelo, la altura de 
la torre es aproximadamente:
Resolución:
Observar que: MN = 3 
60°P
Q
M
H
N
72
72
3
& QM = H - 3
PMQ: tan60° = H
72
3-
H3
72
3
=
- & H = 73 3 
EJERCICIOS RESUELTOS
1. En un triángulo rectángulo un cateto mide 4 m 
y la altura sobre la hipotenusa 2,4 m. ¿Cuál es 
el área del triángulo?
 Resolución:
 AHB: sena = ,
4
2 4 = 0,6 
 sena = 
5
3 & a = 37° 
α
A
4
2,4
H
B Ca
 ABC: tana = a
4
 
 a
4 4
3
= & a = 3
 ATABC = 2
4 3^ ^h h
 = 6 m2
2. El perímetro de un triángulo rectángulo es 
de 338 m. Si la tangente de uno de los án-
gulos agudos es 2,4; ¿cuánto mide el cateto 
menor?
15TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE20
Resolución:
Dato: tana = 2,4 = 
5
12 ...(1)
b c
a
α
De la figura: tana = 
b
a ...(2)
De (1) y (2): 
b
a
5
12
= 
Entonces sea: a = 12x y b = 5x
c = a b x x12 52 2 2 2+ = +^ ^h h 
c = 169x2 & c = 13x
Dato: a + b + c = 338
12x + 5x + 13x = 338 & 30x = 338
& x = 
30
338
Cateto menor: b = 5x = 5
30
338c m & b = 56,33
3. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles
ABC de catetos 1 m (ángulo recto en B). Por
B se traza una perpendicular a AC; por D una
perpendicular a BC; por E una perpendicular
a AC; por F una perpendicular a BC y así su-
cesivamente. Calcular el límite de la suma:
BD + DE + EF + FG + ...
A
D
F
CGEB
Resolución:
α
αα
α
A
D
F
CGEB
ADB: BD = sena
BED: DE = BDsena = sen2a
DFE: EF = DEsena = sen3a
EGF: FG = EFsena = sen4a
S = BD + DE + EF + FG + ....
S = sena + sen2a + sen3a + sen4a + ...
S = sena [1 + sena + sen2a + sen3a + ...]
S = sena(1 + S) & (1 - sena)S = sena
S = 
sen
sen
1 a
a
-
Por dato el ABC es isósceles
Entonces: a = 45°
S = 
1 45sen
sen45
1
2
1
2
1
-
=
-
 S = .
2 1
1
2 1
2 1
- +
+ & S = 2 + 1
4. Considerando p = 3,1416; ¿cuál es el valor de
la secante de un arco de: 1,04720 radianes?
 Resolución:
 Nos piden calcular: sec(1,04720). 
Como: 1,04720 = ,
3
3 1416
3
p
=
& sec(1,04720) = sec
3
pa k = 2
5. La cotangente de un ángulo vale 1,5; ¿cuánto
vale la tangente de su complemento?
Resolución:
Dato: cota = 1,5
Por RT de ángulos complementarios sabemos
que:
tan(90°- a) = cota    ̀ tan(90° - a) = 1,5
6. Hallar el valor numérico de la siguiente expre-
sión:
3 cos230°tan60° - 6 sen45°cot30° +
2sec45°cos45° - 
4
1
Resolución:
Reemplazando los valores indicados:
3
2
3 3 6
2
2 3 2 2
2
1
4
12
- + -c ^ c ^ cm h m h m
&
4
9
2
6 2
4
1
- + - = 1
7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 
5 y los ángulos agudos B y C cumplen con la
relación: senB = 2senC. Hallar las longitudes
de los catetos.
Resolución
Dato: senB = 2senC 
C
B
A
c
b
5a
b
a
c2
= & b = 2c
b2 + c2 = 5 2^ h & (2c)2 + c2 = 5 
5c2 = 5 & c2 = 1
c = 1 /  b = 2
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21TRIGONOMETRÍA
8. Hallar el valor de la siguiente expresión:
sen4x + 3tan3x - 2sec2x - 
4
1
para: x = 45°
Resolución:
Sea: E = sen4x +3tan3x - 2sec2x - 
4
1
Para x = 45°:
E = sen445° + 3tan345° - 2sec245° - 
4
1
E = 
2
1 4c m + 3(1)3 - 2 2 4
12
-^ h
E = 
4
1 + 3 - 4 - 
4
1 = -1
9. Hallar el valor de:
A = 
30 45 3 45
30 60 60
cot sec tan
csc secsen
2
1
36
1 /
4 2
2 4 3 1 2
+ +
+ +; E
Resolución:
Reemplazando los valores conocidos:
A = 
3 2 3 1
2
1
2
1
3
2
36
1 2
/
4 2
2 4 3
1 2
+ +
+ +
^ ^ ^
c c ^
h h h
m m h> H
A = 
9 2 3
4
1
9
8
9
2 /1 2
+ +
+ +; E
=
14
36
49
14
6
7
12
1
/1 2
= =
; E
10. Hallar los ángulos agudos a y b tales que:
tan(3a - 35°) = cot(90° - b) / 2b - a = 15°
Resolución:
Como: tan(3a - 35°) = cot(90° - b)
Entonces: 3a - 35° + 90° - b = 90°
Simplificando: 3a - b = 35° ...(1)
Dato: 2b - a = 15° ...(2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se ob-
tiene: a = 17° / b = 16°
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
1. Del gráfico, calcular: senq
a) 0,2
θ
5
2
b) 0,5
c) 2/3
d) 2/5
e) 3/4
2. Siendo q un ángulo agudo, tal que: tanq = 5/12;
calcular el valor de: E = cosq - senq
a) 3/19 b) 4/17 c) 7/13
d) 9/16 e) 5/13
3. Siendo x un ángulo agudo para el cual:
cscx = 2,5; calcular el valor de:
M = 5cos2x - 3senx
 a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B),
simplificar: E = 
sec tan
csc tan
senA C A
senA C A2-
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Dado el triángulo rectángulo ABC (recto en B). 
Calcular cscA, sabiendo que:
secC - senA = 3senC
a) 10 b) 2 10 c) 3 10 
d) 5 e) 2 5
6. Si el perímetro de un triángulo rectángulo ABC 
(recto en B) es 168 cm, además: cscA = 25/7,
calcular la diferencia entre las longitudes de
los dos mayores lados.
a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm
d) 4 cm e) 5 cm
7. Siendo x e y ángulos agudos, calcular x,
si: cos(2x + y + 15°)sec(3x + y - 12°) = 1
a) 25° b) 27° c) 29°
d) 12° e) 15°
8. Calcular el ángulo agudo x que cumple:
sen(5x + 13°) - cos(4x + 14°) = 0
a) 3° b) 5° c) 7°
d) 9° e) 11°
9. Calcular el valor de:
E = 
" " "
" " "
csc tan cos
cot sec
x x
sen x x
10 5 65 3 70
20 25 3 80 5
+ + - +
+ + + -
^ ^
^ ^
h h
h h
a) 1 b) 0 c) 2
d) 1/2 e) 1/3
17TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE22
10. Siendo a y b ángulos agudos, calcular b, si: 
sen(7a - 15°) = cos(5a + 21°)
 tan(2b - a)cot(3a + 2°) = 1
 a) 5° b) 10° c) 15° 
d) 20° e) 25°
11. Calcular la medida del ángulo agudo x para el 
cual se cumple:
cot(2x - 9°) = tan1°tan2°tan3° ... tan89°
 a) 10° b) 18° c) 20° 
d) 27° e) 30°
12. Siendo x e y ángulos agudos que cumplen:
 sec(5x + 10°) = csc(2y +20°)
 tan(20° + y)tan(30° + 3y) = 1
 calcular: M = sen(4y + x) + tan(4x + y)
 a) 1/2 b) 1 c) 3/2
 d) 2 e) 3
13. Siendo a y b ángulos agudos tales que:
 tana = 7 / cscb = 2 2
 calcular: E = tan2 tan
3 2
α β α β+
+
+c cm m
 a) 1/2 b) 1 c) 3/2
 d) 3/4 e) 4/3
14. Si a, b y q son ángulos agudos que cumplen:
sen(3a + b) = cos(3q + 2b)
 calcular: M = 
cos csc
cos sec
2 2 2 3
3 2
α β θ β θ
α β θ α β
+ + +
+ + +
^ ^
^ ^
h h
h h
 a) 1/2 b) 1 c) 2 /2
 d) 3 e) 2
15. En un triángulo rectángulo ABC (recto 
en C), se sabe que: tan2B = 2; calcular: 
E = 2tan2A - csc2B
 a) -2 b) -1 c) 0 
d) 1 e) 2
16. Siendo x e y ángulos agudos que cumplen:
tan(50° - x) = 
10 80
40 20
tan cot
cot tanx y+ +^ ^h h
 calcular: E = 
10"
" 20"
cos
cos
y x
sen x y y50
- -
+ + +
^
^ ^
h
h h
 a) 1/2 b) 3 /2 c) 3/4
 d) 2 /2 e) 4/5
17. Se tiene un cubo donde se traza una de sus 
diagonalesy una de las diagonales de su base, 
de tal manera que tenga un punto en común 
con la diagonal del cubo. Calcular la tangente 
del ángulo que forman dichas diagonales.
 a) 2 b) 2 /2 c) 3 /2
 d) 6 /2 e) 6 /6
18. Del gráfico, calcular: P = tanb + tanq
 
 a) 1/2 
A D
E
B F C
β
θ
 b) 2/3
 c) -1
 d) 1
 e) 3/5
1. c 5. d 9. a 13. b 17. b
2. c 6. d 10. c 14. a 18. d
3. c 7. a 11. d 15. b
4. b 8. c 12. b 16. dC
l
a
v
e
s
EJERCICIOS PROPUESTOS 2
1. Calcular el valor de:
A = 
° °
° ° °
cot
tan sec cos
sen45 30
60 45 4 602 2
-
+ +
 a) 10 b) 12 c) 14 
d) 16 e) 18
2. Si: tanq - sen45°tan60° = 0; q: agudo
 calcular E = 10sen2q + 6csc2q
 a) 8 b) 10 c) 12 
d) 16 e) 20
3. Calcular el valor de x (agudo) en:
 4sen(22° + x) cos(68° - x) = 
 tan(30° + x)tan(60° - x) 
 a) 2° b) 4° c) 8° 
d) 10° e) 12°
4. Calcular secq del gráfico:
 a) 13 /3 
θ
37°
 b) 13 /4
 c) 13 /5
 d) 13 /6
 e) 13 /7
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23TRIGONOMETRÍA
 a) 8 3 b) 7 3 c) 6 3
 d) 5 e) 1
11. Hallar x.
 a) 3senatanq 
θ
α
3
x
 b) 2senacotq
 c) 3senasenq
 d) 3cosatanq
 e) 3cosacotq
12. De la figura, calcular: 
b
a 
37°
30°
b
a
 a) 3 /5 
 b) 2 3 /5 
 c) 3 3 /5 
 d) 4 3 /5 
 e) 5 3 /5
13. De la figura, calcular x.
 a) asen(q − a)tana 
α
a
x
θ b) asen(q − a)cota
 c) asen(q − a)seca
 d) asen(a − q)tana
 e) asen(a − q)cota
14. Del gráfico, calcular: x
 a) 2(tana + tanb) 
2
β
α
x
 b) 2(cota + cotb)
 c) 2(cota - tanb)
 d) 2(cota - cotb)
 e) 2(tana - tanb)
15. De la figura, calcular x. 
R
2θ
x
 a) 2R(tanq + 1)
 b) 2R(cotq + 1)
 c) R(cotq + 1)
 d) R(cotq - 1)
 e) R(tanq + 1)
16. Calcular:
 E = (2sen30° + sec60°)tan53° + 3 tan60°
 a) 3 b) 5 c) 7 
d) 9 e) 11
17. Si: senq - tan37° = 0;
 calcular: A = tan7 1q+
5. De la figura, calcular: tanq
30°
θ
 a) 3 b) 3 /2 c) 1
 d) 2 e) 3 /3
6. De la figura, hallar cscq, si AO = OB.
 a) 2 
37° AO
B
θ b) 2 2
 c) 2 3
 d) 2 /2
 e) 3 /3
7. De la figura, calcular: tana
 a) 1/2 
53° P
B C
A D
α
 b) 2
 c) 1/4
 d) 4
 e) 1
8. De la figura, calcular: tana
37° 45° α
 a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3
 d) 10/3 e) 10
9. De la figura, calcular: tana
 a) 1/2 
α
45°
 b) 1/3
 c) 4/7
 d) 3/5
 e) 5/7
10. Calcular: A = 10tana + 11tanq
120°
8
8
θ
α
19TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE24
 a) 2 b) 3 c) 5
 d) 2 3 e) 3 2
18. Simplificar: 
 A = 
° ° °tan tan tanx x2 35 55 60
cos18 csc72 sen30
2
-
+ - +^ ^h h
 a) 10 b) 9 c) 8 
d) 7 e) 6
19. Del gráfico, calcular: 6 sen q + 1
 a) 2 
θ
30°
 b) 3
 c) 4
 d) 5
 e) 7
20. De la figura, calcular tanq.
 a) 1/3 
θ
45°
3aa
 b) 1/4
 c) 3/4
 d) 2/3
 e) 3/2
21. Calcular x del gráfico:
 a) 1 
37°
2x + 1x + 11
 b) 2
 c) 3
 d) 4
 e) 5
22. Del gráfico, calcular:
A = 2sen(q -15°) + sec(q+15°)
 a) 1 
 θ
y
x
xy2 b) 2
 c) 3
 d) 4
 e) 5
1. c 6. a 11. a 16. c 21. d
2. d 7. b 12. b 17. a 22. c
3. d 8. c 13. e 18. a
4. a 9. b 14. c 19. b
5. b 10. b 15. c 20. dC
l
a
v
e
s
EJERCICIOS PROPUESTOS 3
1. Del gráfico, calcular x.
 a) 19 
x
10
37°
30°
a
 b) 18
 c) 17
 d) 15
 e) 12
2. En un triángulo ABC cuya área es 0,5 m2, 
determinar a que es igual el producto de las 
cosecantes de los ángulos del triángulo.
 a) abc b) a2b2c2 c) ab2c2
 d) a2b2c e) a2bc2
3. Siendo S1 y S2 áreas, calcular: S
S
1
2 
 a) 1 
5b
3b
4a
6a
S1
S2
 b) 2
 c) 3
 d) 4
 e) 5
4. Del gráfico, calcular: x
12
1-
a k
θa a - 1
x
a + 1
 a) 3senq + 2cosq b) 2senq + cosq
 c) 4cosq + 3senq  d) 3cosq + 4cosq
 e) 3cosq + 2cosq
5. Del gráfico, calcular: 
S
S
2
1
 a) sen2q   
θ
θ
S1
S2
 b) csc2q
 c) cos2q
 d) sec2q
 e) tan2q
6. Desde un punto en el suelo se observa la par-
te más alta de un edificio con una elevación 
angular de 37°, nos acercamos al edificio a 
una distancia de 10 m y el nuevo ángulo de 
elevación para el mismo punto es 45°. Calcu-
lar la altura del edificio.
BANCO DE EJERCICIOS20
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25TRIGONOMETRÍA
 a) 14 m b) 15 m c) 28 m
 d) 30 m e) 32 m
7. Desde un punto en el suelo, situado entre 2 
muros de 3 m y 4 3 m se observa sus puntos 
más altos con ángulos de elevación de 30° 
y 60°, respectivamente. Calcular la distancia 
entre dichos puntos.
 a) 10 m b) 12 m c) 14 m
 d) 16 m e) 18 m
8. Desde la base de un árbol se observa la parte 
superior de un edificio con un ángulo de ele-
vación de 45° y desde la parte superior del ár-
bol se observa el mismo punto con un ángulo 
de elevación de 37°. Si la altura del edificio es 
de 120 m. Calcular la altura del árbol.
 a) 10 m b) 20 m c) 30m
 d) 40 m e) 50 m
9. Una persona colocada a 36 m de una torre ob-
serva su parte más alta con un ángulo de ele-
vación a (tana = 7/12). ¿Qué distancia habría 
que alejarse para que el ángulo de elevación 
sea q, donde: tanq = 1/4?
 a) 36 m b) 40 m c) 42 m
 d) 46 m e) 48 m
10. Desde la parte superior de un muro de 2 m de 
altura, se observa un árbol con un ángulo de 
depresión de 30° su base y con un ángulo de 
elevación de 60° su parte superior. Hallar la 
altura del árbol.
 a) 4 m b) 6 m c) 8 m
 d) 10 m e) 12 m
11. Desde un avión, que se encuentra a una al-
tura H, se observa en tierra un objetivo con 
un ángulo de depresión de 60°; luego de un 
minuto y habiendo pasado por encima del ob-
jetivo, se vuelve a observar el mismo con una 
depresión angular de 30°. Si la velocidad del 
avión es de 300 km/h, calcular H, además la 
trayectoria del avión es una línea horizontal.
 a) 1350 m b) 2500 m c) 1250 m
 d) 3500 m e) 2000 m
12. Un cachimbo de la Universidad Villarreal de 
1,5 m de altura observa la parte superior de 
un poste, con un ángulo de elevación Φ. Si el 
cachimbo se acerca 45 m, hacia el poste y en 
línea recta, el nuevo ángulo de elevación sería 
q, halle la altura del poste, sabiendo que:
cotΦ - cotq = 2
 a) 16 m b) 18 m c) 20 m
 d) 24 m e) 25 m
13. Desde el último piso de un edificio se ob-
serva un avión con un ángulo de elevación 
de 53°. Si la altura del edificio es de 200 m 
y la altura de vuelo del avión es de 1 km, 
calcular la distancia del avión al último piso 
del edificio.
 a) 1600 m b) 1200 m c) 600 m
 d) 800 m e) 1000 m
14. Desde la base A de un camino inclinado, un 
ángulo a con respecto a la horizontal, se ob-
serva la parte superior S, de un poste de 2 m 
de altura con un ángulo de elevación 2a. Si el 
poste se encuentra en el camino y AS = 7 m, 
calcular tana.
 a) 2/9 b) 2/7 c)7/2
 d) 6 2 e) 4 2
15. Calcular el área de una región triangular don-
de 2 de sus lados miden 12 m y 14 m, además 
la medida del ángulo que forman dichos lados 
es 30°.
 a) 40 m2 b) 41 m2 c) 42 m2
 d) 43 m2 e) 44 m2
16. Del gráfico, calcular x.
 a) 
b
ac senq 
θ
b
a
c
x
 b) a
bc senq
 c) c
ab senq
 d) abcsenq
 e) 
a
bc
2
senq
17. Del gráfico, calcular: A = senq + 2cosq
 a) 1 
θ b) 1/2
 c) 3/2
 d) 3
 e) 2
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COLECCIÓN EL POSTULANTE26
18. Si a + b = ab; calcular x.
 a) 3 
30°30°
xa b
AB P
C
 b) 2 3
 c) 3 3
 d) 4 3
 e) 5 3
19. Del gráfico, calcular el área de la región som-
breada.
37°
15 5 10
22
 a) 13,5 b) 14,5 c) 15,5
 d) 16,5 e) 17,5
20. A 16 m de la base de un árbol el ángulo de 
elevación para la parte más alta es 37°. Cal-
cular la altura del árbol.
 a) 10 m b) 11 m c) 12 m
 d) 13 m e) 14 m
1. e 5. d 9. e 13. e 17. e
2. b 6. d 10. c 14. b 18. a
3. c 7. a 11. c 15. c 19. d
4. c 8. c 12. d 16. c 20. cC
l
a
v
e
s
23TRIGONOMETRÍA
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ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Un ángulo q está en posición normal, posición es-
tándar o canónica si su vértice está en el origen de 
un sistema coordenado rectangular y su lado inicial 
coincide con el eje x positivo.
Lado
final θ
y
x
Lado inicialVértice
Cuando un ángulo q está en posición normal, el 
lado final puede estar en uno de los cuadrantes en 
cuyo caso se dice que q está en tal cuadrante, o 
bien encontrarse sobre el eje x o el eje y, entonces 
se dice que es un ángulo cuadrantal.
Ejemplos:
I. y
xα
α 2 0
 II. y
xφ
φ 1 0
III. y
xβ
β 2 0
 IV. y
x
θ
θ 1 0
• Entonces a, φ / b están en posición normal. 
a ! IIIC, φ ∈ IIC y b es un ángulo cuadrantal.
• q no está en posición normal.
ÁNGULOS COTERMINALES
Son aquellos ángulos que pueden o no estar en 
posición normal y tienen las siguientes caracterís-
ticas:
I. El mismo lado inicial
II. El mismo vértice
III. El mismo lado final
Sin considerar el sentido de los ángulos, es decir, 
que ambos ángulos pueden tener el mismo sentido 
o sentidos opuestos, se tiene:
Vértice Lado
inicial
Lado
final
α
θ
x
y
Lado
inicial
α ! III C
θ ! III C
Vértice
Lado
final
θ
α
En ambas figuras a y q son ángulos coterminales, 
en el primer gráfico son ángulos trigonométricos y 
en el segundo ambos están en posición normal.
Propiedades de ángulos coterminales
1. La diferencia de dos ángulos coterminales es 
un número que se representa por 360°k (k: 
entero). Es decir, si a y q son ángulos cotermi-
nales, se cumple:
a - q = 360°k
 donde: k = !1, !2, !3, ...
2. Siendo a y q ángulos coterminales y en posición 
normal como se muestra en la figura se tiene:
x
y
r
P(x; y)
θ
α
 sena = r
y
 
sena = senq
 senq = r
y
 cosa = r
x 
cosa = cosq
 cosq = r
x
 tana = x
y
 
tana = tanq
 tanq = x
y
 Análogamente para las demás razones trigo-
nométricas. Luego, podemos concluir:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR
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COLECCIÓN EL POSTULANTE28
 ̀ RT(a) = RT(q)
 Donde RT: razón trigonométrica
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN 
POSICIÓN NORMAL
θ
r
P(x; y)
y
x
 senq  = r
y
radio vector
ordenada
=
 cosq = r
x
radio vector
abscisa
=
 tanq  = x
y
abscisa
ordenada
=
 cotq  = y
x
ordenada
abscisa
=
 secq  = x
r
abscisa
radio vector
=
 cscq = y
r
ordenada
radio vector
=
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Hallar el valor numérico de la expresión:
 E = sen180° + 2cos180° + 3sen270° + 
 4cos270° - 5sec180° - 6csc270°
 Resolución:
 Recordar:
 
sen cos tan cot sec csc
180° 0 -1 0 b -1 b
270° -1 0 b 0 b -1
 Reemplazando en la expresión dada:
 E = 0 + 2(-1) + 3(-1) + 4(0) - 5(-1) - 6(-1)
 E = -2 - 3 + 5 + 6 = 6
2. Indicar los signos de las siguientes expresio-
nes en el orden F, G, H.
 F = 
csc 215 cot338
sec285 tan 138 sen210 3
3
2
^
^
h
h
 G = 
csc195 tan336
sen 260 cot115 cos116 3
2
3
^
^
h
h
 H = 
tan135 sec298
sen195 cot340 csc128
3^ h
 Resolución:
 Recordar los signos de las RT en cada cua-
drante.
seno
cosecante
(+)
coseno
secante
(+)
tangente
cotangente
(+)
todas son
positivas
(+)
 En las expresiones dadas solo reemplazamos 
los signos.
 F : 
3
- -
+ + -
=
+
-
^ ^
^ ^ ^
^
^
h h
h h h
h
h6 @
 & F = (-)
 G: 
2
3
- +
- - -
=
+
-
^ ^
^ ^ ^
^
^
h h
h h h
h
h
6
6
@
@
 & G = (-)
 H: 
3
- +
- - +
=
-
+
^ ^
^ ^ ^
^
^
h h
h h h
h
h
6 @
 & H = (-)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. De la figura siguiente, calcule tanq.
 a) -4/3 
θ
(3; 4)y
x
 b) 4/3
 c) -1
 d) 3/4
 e) -3/4
2. Del gráfico mostrado; calcule tana.
 a) 2/3 
α
(-3; 2)
y
x
 b) 1/3
 c) 1/2
 d) 3/2
 e) 1
25TRIGONOMETRÍA
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29TRIGONOMETRÍA
3. Del gráfico mostrado, calcule tanq.
 a) 1/2 
θ
A(2; 6)
37°
y
x
 b) 1/3
 c) 1
 d) 2
 e) 3
4. Si q es un ángulo positivo, en posición normal 
y está comprendido entre la segunda y terce-
ra vuelta; determine su valor si se cumplen: 
tanq = cot(p/4) y senq 1 0.
 a) 35p/4 b) 75p/4 c) 55p/4 
d) 65p/4 e) 45p/4
5. Del gráfico mostrado, calcule tanq.
 a) -2/3 
θ
(4; 4)y
m2m
(2; 0) x
 b) -3/4
 c) -4/3
 d) -5/4
 e) -3/2
6. Del gráfico mostrado; calcule 3tanq + 
3
1 cotq
 a) 1 
θ
y
x
OO
 b) 2
 c) 3
 d) 4
 e) 5
7. Si q es un ángulo en posición normal tal que 
tanq = -
5
4 y q pertenece al segundo cuadran-
te; calcule: 2 + 41(senq + cosq)
 a) -2 b) -1 c) 0 
d) 1 e) 2
8. Si se tiene que q es un ángulo en posición nor-
mal del cuarto cuadrante, para el cual se tiene 
que cosq = 
13
12 ; calcule: 3 + 13(senq + cosq)
 a) 8 b) 10 c) 11 
d) 9 e) 6
9. Determine el cuadrante al cual pertenece q si 
se cumple: (senq + cosq)secq 1 1 y además: 
tanqsenq 2 0
 a) IC b) IIC c) IIIC 
d) IVC e) F. D.
10. Determine el cuadrante al cual pertenece q si 
se tiene que: |senq| + senq = 0 y además: 
senqcosq 2 q
 a) IC b) IIC c) IIIC 
d) IVC e) F. D.
11. Si q es un ángulo positivo y menor que una 
vuelta y pertenece al tercer cuadrante; deter-
mine el signo de:
I. E = (senq + cosq)tanq
II. F = 
2 2
cossen q q-c cm m; Esenq
III. A = (sen2q - cosq)tan(q/2)
 a) (-); (-); (+) b) (-); (+); (-) 
c) (-); (-); (-) d) (+); (-); (-) 
e) (+); (+); (-)
12. Dadas las relaciones:
1 + |senq|tanq 1 0 / tanqsenq 2 0
 
 determine el signo de la expresión:
E = (senq - cosq)(tanq + cotq)
 a) (+) b) (-) c) (+) o (-) 
d) 0 e) F.D.
13. Del gráfico mostrado, calcule: 3senq + 2cosq
 a) 1 
θ
y
xO
(-12; -5)
 b) 2
 c) 3
 d) -2
 e) -3
14. De la figura siguiente, calcule: senq - 4cosq
 a) 5 
θ
(-15; 8) y
x
 b) 4
 c) 3
 d) 2
 e) 1
15. El punto P(-3; 5) pertenece al lado final de un 
ángulo q en posición normal; calcule:
34 (senq + cosq)
 a) 1/2 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 1/3
BANCO DE EJERCICIOS26
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COLECCIÓN EL POSTULANTE30
16. El lado final de un ángulo q en posición normal 
pasa por el punto (4; -5); calcule:
41(senq - cosq)
 a)-1 b) -3 c) -5 
d) -7 e) -9
17. Del gráfico mostrado, calcule el valor de m, si 
se tiene que: tanq = 3/2
 a) 1 
θ
y
x
 b) -8
 c) 4
 d) -2
 e) -6
18. En la figura mostrada, calcule: tana + tanq
 a) -13/12 
θ
α
(a; a + 5)
(a - 1; a)
y
x
 b) -4/7
 c) -5/6
 d) -35/12
 e) -12/7
19. Del gráfico mostrado, calcule: tanq + tana
 a) -3 
37° θ
α x
y
 b) -2
 c) -1
 d) -4
 e) -5
20. Del gráfico mostrado; calcule tanq.
 a) -3 
θ
y
x
(-2; 4)
 b) -2
 c) -1
 d) -1/2
 e) -1/3
1. e 5. a 9. d 13. e 17. b
2. d 6. d 10. c 14. b 18. c
3. a 7. d 11. c 15. c 19. a
4. b 8. b 12. a 16. e 20. bC
l
a
v
e
s
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ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
En la figura se tiene una circunferencia con centro 
en C(h; k) y radio r. Si P (x; y) es un punto cual-
quiera de la circunferencia, por distancia entre dos 
puntos se tiene: r = x h y k2 2- + -^ ^h h , pero esto 
es equivalente a la ecuación:
 (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ...(I)
A la ecuación (I) se denomina ecuación de la cir-
cunferencia con centro en (h; k) y radio r.
P(x; y)r
C(h; k)
y
0 x
A aquella circunferencia que tenga por ecuación: 
x2 + y2 = 1, se le denomina circunferencia trigo-
nométrica o unitaria. Entonces esta circunferencia 
tendrá centro en el origen y radio igual a una uni-
dad. La gráfica de la circunferencia trigonométrica 
(CT) se observa en la siguiente figura:
CT
y
x
(0; -1)
(1; 0)
0
1
(0; 1)
(-1; 0)
ARCO DIRIGIDO
Es la trayectoria recorrida por un punto móvil so-
bre una curva en un sentido determinado. Así, por 
ejemplo, en la figura el arco AB se forma por la 
trayectoria de un puntosobre la curva C, partiendo 
de A (posición inicial u origen) llegando al punto B 
(posición final o extremo). Análogamente el origen 
del arco CD es C y su extremo es D.
D
C A
B
C
ARCOS EN POSICIÓN NORMAL
Son arcos dirigidos formados en una circunferen-
cia con centro en el origen del plano cartesiano, 
donde la posición inicial de estos arcos es el punto 
Q punto de intersección del lado positivo del eje x 
con la circunferencia) ver figura.
En adelante discutiremos aquellos arcos dirigidos 
en posición normal donde la posición inicial sea un 
punto tal como Q. Aquellos arcos formados en sen-
tido antihorario se consideran positivos, y en senti-
do horario se les consideran negativos.
En la figura, los puntos S y P son los extremos de 
los arcos γ y b, respectivamente.
       
y
x0
Q
β
P
S γ
r
γ: es un arco positivo
 (sentido antihorario)
  b: es un arco negativo
 (sentido horario)
Así tenemos un arco dirigido QP en posición nor-
mal (figura 1). Del sector circular sombreado, se 
tiene que por la longitud del arco es LQP = ar. Para 
una CT (r = 1), se cumplirá: LQP = a (figura 2).
y
Fig. 2
x
Q
P
x2 + y2 = 1
α
r α rad
y
xQ
P αr
r α rad
Fig. 1
Es importante trabajar los arcos en posición normal 
en la CT teniendo en cuenta el extremo del arco, 
este extremo nos indicará el cuadrante al que per-
tenece dicho arco. Así, por ejemplo, en la figura 
q ! IC y γ ! IIIC.
y
x
θrad
γ rad
A
T
θ
γ
CT P
En la figura (a), se tiene una recta numérica verti-
cal donde el origen de la recta coincide con el punto 
A(1; 0) de la CT. Considerando a la CT como una 
sección de un carrete y la recta numérica como un 
hilo (espesor despreciable) entonces, en la figura 
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA
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(b), la parte positiva de la recta se envuelve en sen-
tido antihorario y la parte negativa en sentido horario.
CT
y
x
A
2
1
-1
-2
CT
y
x
A
2
1
-1
-2
1
2
-1
-2
 Fig. (a) Fig. (b)
Este procedimiento tiene por fin ilustrar al lector 
que a cada punto de la recta numérica le corres-
ponde un único punto de la CT.
Como ya se ha enunciado, es importante ubicar el 
extremo de un arco en la CT, ya sea para la ubica-
ción de su cuadrante o para las definiciones que se 
verán más adelante. Así, por ejemplo el arco 1 en 
la CT se relaciona a un ángulo en posición normal 
1 rad Fig. (a), análogamente el arco p a p rad Fig. 
(b) y el arco -2 a -2 rad Fig. (c)
y
x
1 rad
CT 1
y
x
CT
π π rad
 Fig. (a) Fig. (b)
y
x
CT
-2 rad
-2
Fig. (c)
REPRESENTACIONES DE LAS RAZONES TRIGO-
NOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA
En esta parte, al referirnos a un arco, hacemos la 
suposición de que este es un arco dirigido en la CT 
en posición normal, es decir, su punto inicial es el 
origen de arcos A(1; 0). En las representaciones 
siguientes se han utilizado segmentos dirigidos.
Definición	I
El seno de un arco es la ordenada de su extremo.
Ejemplos:
y
xA
P
O
θ
α
senα
senθ
CT
Q
y
x
A
M
O
sen
sen
CT
B’
3
π
3
π
2
π
-
2
π
-a k
y
x
A
sen
O
sen(-1)
CT E
D -1
6
7π
6
7π
Definición	II
El coseno de un arco es la abscisa de su extremo.
y
xO
CT
P
A
Q
cosα
cosβ
α
β
y
xOcos(-π)
CT
A
R
A’
-π
4
3π
cos
4
3π
y
xO
CT
A
S
π/3
B’(0; -1)
cos
3
π
2
-
π
 
cos
2
0p- =a k
Teorema 1: 6a ! R, se cumple:
 -1 # sena # 1 / -1 # cosa # 1
En efecto, si a es cualquier número real, entonces 
su extremo en la CT podrá ser cualquier punto de 
la CT. Los intervalos que contienen los valores del 
sena y cosa, se ilustran en la fig. (a) y fig. (b), res-
pectivamente.
CT y
1
–1
x senα
CT y
1-1
x
cosα
 Fig. (a) Fig. (b)
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33TRIGONOMETRÍA
Sea la figura siguiente y consideremos que k ! Z, 
planteamos el siguiente cuadro a manera de resumen.
y
x
CT
A(1; 0)
B’(0; -1)
A’(-1; 0)
B(0; 1)
 En el 
punto
Se ubican los extremos 
de los arcos de la forma Ejemplos
A 2kp
-6p, -4p, -2p, 0, 2p, 
4p, 6p, 8p, 10p
B 2kp + 
2
p 0 (4k + 1)
2
p
, , , , ,
2 2
5
2
9
2
13
2
17
f
p p p p p
, , , ,
2
3
2
7
2
11
2
15
f
p p p p
- - - -
A' 2kp + p 0 (2k + 1)p
p, 3p, 5p, 7p, 9p, ... 
-p, -3p,-5p,-7p,-9p,
B' 2kp + 
2
3p 0 (4k + 3)
2
p
, , , , ,
2
3
2
7
2
11
2
15
2
19
f
p p p p p
, , , ,
2 2
5
2
9
2
13
f
p p p p
- - - -
Continuando en la figura, tenemos que si el extre-
mo de un arco se ubica en el punto:
• A o A’, el seno tiene un valor de cero.
 Ejemplos:
 sen0 = 0; senp = 0; sen2p = 0
 sen(-5p) = 0; sen28p = 0
 Se concluye que: sen(kp) = 0 ; 6k ! Z 
• B, el seno tiene un valor igual a la unidad.
 Ejemplos:
 sen
2
pa k = 1; sen 2
5pc m = 1;
 sen
2
3p-c m = 1; sen 2
41pc m = 1;
 sen
2
101pc m = 1 
 Se concluye que: sen k2
2
p p+a k = 1 ; 6k ! Z 
• B’, el seno tiene un valor igual a -1
 Ejemplos:
 sen
2
3pc m = -1; sen 2
7pc m = -1
 sen
2
p
-a k = -1; sen 2
91pc m = -1
 Se concluye que: sen k2
2
3p p+c m = -1 ; 6k ! Z
• B o B', el coseno tiene un valor de cero
 Ejemplos:
 cos
2
pa k = 0; cos 2
3pc m = 0;
 cos
2
13pc m = 0; cos 2
75pc m = 0;
 cos
2
21p
-c m = 0
 Se concluye que: cos(2k + 1)
2
p = 0 ; 6k ! Z
• A, el coseno tiene un valor igual a la unidad.
 Ejemplos:
 cos0 = 1; cos2p = 1; cos4p = 1
 cos(-6p) = 1; cos 100p = 1
 Se concluye que: cos(2kp) = 1 ; 6k ! Z
• A’, el coseno tiene un valor igual a -1
 Ejemplos:
 cosp = -1; cos3p = -1; cos9p = -1
 cos(-15p) = -1; cos45p = -1
 Se concluye que: cos(2kp + p) = -1 ; 6k ! Z
Definición	III
La tangente de un arco es la ordenada del pun-
to de intersección entre la recta tangente que 
pasa por el origen de arcos y la prolongación 
del radio o diámetro que pasa por el extremo 
del arco.
x
y
L
A
tanβ
P
Q
O
CT
tanα
α
β
C
y
x
L
A
O
CT
tan(2π/3)
2π
3
x
y
L
tan
P
E
O
CT tan - 5π4
π
4
-
5π
4
π/4
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Definición	IV
La cotangente de un arco es la abscisa del pun-
to de intersección entre la recta tangente que 
pasa por el origen de complementos y la pro-
longación del radio o diámetro que pasa por el 
extremo del arco.
Ejemplos:
x
BL
y
cotα
α
cotβ
β
O A
CT
π/4
L
π/6
-π/2
x
B(0; 1)
y
cotπ/6
O A
CT
 
L
-
3π
4
2π
3
x
B
y
cot2π3
cot
O
R
A
CT
-
3π
4
 cot
2
0p- =a k
A la recta L que es la tangente a la CT en B(0; 1) 
se le suele denominar eje de cotangentes.
Teorema 2
• tana ! R; 6a ! R - n2 1
2
p
+^ h% /; n ! Z
• cota ! R; 6a ! R - {np}; n ! Z
Definición	V
La secante de un arco es la abscisa del pun-
to de intersección entre la recta tangente que 
pasa por el extremo del arco y el eje x.
Ejemplos:
F y G: puntos 
de tangencia
P y Q: puntos 
de tangenciaS
β
secβ
secα
α
x
y
O
P
Q
R
CT
-
π
4
-
π
4
2π
3
2π
3
Dsec
sec
x
y
O
E
F
GCT
Definición	VI
La cosecante de un arco es la ordenada del 
punto de intersección entre la recta tangente 
que pasa por el extremo del arco y el eje y.
Ejemplos:
π
2
-π/4
π/2
csc
A
T
O
B
G
x
y
CT
csc(-π/4)
β
α
cscα
cscβ
A
Q
O
C
D
P
x
y
CT
(P y Q: ptos. de tangencia) (B y T: ptos. de tangencia) 
-
5π
6
-
5π
6
csc(π/6)
π/6
csc
O
E
CT
R
S
x
y
F
(S y R: puntos de tangencia)
Teorema 3
• seca # -1 0 seca $ 1; 6a ! R - n2 1
2
p
+^ h% /; n ! Z
• csca # -1 0 csca $ 1; 6a ! R -{np}; n ! Z
SENOVERSO, COSENOVERSO Y EXSECANTE
• El senoverso o verso de un arco q denotado 
por versq, se define:
 versq = 1 - cosq ; 6q ! R
• El cosenoverso o coverso de un arco q deno-
tado por covq, se define:
 covq = 1 - senq ; 6q ! R
• La exsecante o secante externa de un arco q 
denotado por exsecq,se define:
 exsecq = secq -1 ; 6q ! R - n2 1
2
p
+^ h% /; n ! Z
i. 0 # versq # 2
ii. 0 # covq # 2
iii. exsecq # -2 0 exsecq $ 0
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35TRIGONOMETRÍA
• Gráficamente el verso de un arco es el seg-
mento dirigido en el eje x que parte del punto 
cuya coordenada es el coseno de dicho arco 
hacia el origen de arcos.
 Ejemplos: y
x
CT
versθ
A
θ
P
De la figura se cumple:
versq = PA
Ya que PA = A - P
& versq = A - P
 ̀ versq = 1 - cosq
• Gráficamente el coverso de un arco es el seg-
mento dirigido en el eje y que parte del punto 
cuya coordenada es el seno de dicho arco ha-
cia el origen de complementos.
 Ejemplo: y
x
covθ
B
θQCT
 De la figura se cumple: 
 covq = QB
 Ya que QB = B - Q
 & covq = B - Q
 ̀ covq = 1 - senq
• Gráficamente la exsecante de un arco es el 
segmento dirigido en el eje x que parte del ori-
gen de arcos hacia el punto cuya coordenada 
es la secante de dicho arco.
 Ejemplo:
 De la figura, P es punto de tangencia y se 
cumple: y
x
CT
AR
P
θ
exsecθ
 exsecq = AR
 Ya que: AR = R - A
 & exsecq = R - A
 ̀ exsecq = secq -1
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Decir si son falsos (F) o verdaderos (V) los si-
guiente enunciados:
I. Las funciones seno y coseno son negati-
vas en el tercer cuadrante y crecientes en 
el cuarto cuadrante.
II. No existe función trigonométrica alguna 
de un ángulo del segundo cuadrante que 
sea positivo y aumenta a medida que el 
ángulo crece.
III. Solo existe una función que puede tomar 
el valor de 3,8 y ser positiva en el tercer 
cuadrante.
 Resolución:
Analizamos cada proposición:
I. Está proposición es verdadera. Las fun-
ciones seno y coseno son negativas en el 
IIIC. En el IVC ambas funciones son cre-
cientes.
II. Esta proposición es falsa. Ya que la fun-
ción secante es positiva y creciente en el 
segundo cuadrante.
III. Esta proposición es falsa. Ya que las fun-
ciones tangentes y cotangentes son positi-
vas en el tercer cuadrante y cualesquiera 
de estas pueden tomar el valor de 3,8.
 ̀ VFF
2. Cuando el ángulo x aumenta de 90° a 180°, 
¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
a) El seno aumenta
b) El coseno aumenta
c) La cosecante aumenta
d) La secante disminuye
e) La cotangente aumenta
 Resolución:
 Si x varía de 90° a 180° estamos en el segun-
do cuadrante, entonces:
a) El seno varía de 1 a 0
b) El coseno varía de 0 a -1
c) La cosecante varía de 1 a +3
d) La secante varía de -3 a -1
e) La cotangente varía de 0 a -3
 Rpta:. c
3. En la circunferencia trigonométrica se pide 
indicar el valor de: OC + DB, en función del 
ángulo a.
α
O
D
C
A
B
 Resolución:
 Como se trata de la CT, entonces OD = OA = 1
OC = csca y DB = cota
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COLECCIÓN EL POSTULANTE36
7. Si: senx = a
5
2 3- ; hallar la suma de todos los 
valores enteros que pueden tomar a.
 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
8. Calcular AB, donde A y B representan los va-
lores mínimo y máximo de la expresión:
P = 5 - 3cosx
 a) -15 b) -6 c) 8 d) 15 e) 16
9. Si: q ! IIIC y cosq = k
7
3 2+ , hallar el intervalo 
de k.
 a) G-5; 3H b) G0; 2/3H c) G-3; 2/3H
 d) G-2/3; 0H e) G3; 2/3H
10. Si a y q son arcos diferentes, calcular la dife-
rencia entre los valores máximo y mínimo de 
la expresión:
Q = 2sec
3
pa k - sen2a + 2cos2q
 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
11. Indicar si es verdadero (V) o falso (F):
 I. sen2 1 sen3
 II. cos5 2 cos6
 III. sec4tan6 2 0
 a) VVV b) FFV c) FVF
 d) VFF e) FFF
12. Del gráfico, calcular el área de la región som-
breada, si: BP = PQ = QB'
 a) (1/3)senq    B
P
Q
B’
θ
CT
 b) (1/3)cosq
 c) (-1/3)senq
 d) (-1/3)cosq
 e) (-1/6)senq
13. De la figura, calcular d.
 a) 
cos
sen
1 q
q
+
 
d
CT
θ
 b) cos
sen1 q
q
+
 c) 
cos
sen
1 q
q
-
 d) cos
sen1 q
q
+
 e) 
cos
sen
1 q
q
+
-
 OC + DB = csca + cota   
α
O
D
C
A11
B = cossen sen
1
a a
a
+
 = cossen
1
a
a+
PRACTIC
EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor?
 a) sen40° b) sen100° c) sen160°
 d) sen220° e) sen280°
2. ¿Cuál de los siguientes valores es el menor?
 a) cos20° b) cos100° c) cos160°
 d) cos260° e) cos320°
3. En la CT hallar el área de la región sombreada:
 a) sena 
x
y
α
 b) cosa
 c) 1/2sena
 d) 1/2cosa
 e) 1
4. En la circunferencia trigonométrica mostrada: 
cosq = 2/3 y OM = MB. Calcular el área de la 
región triangular OMP.
 a) 1/6 
A
B
θ
O
A’
P
B’
M b) 1/3
 c) 1/4
 d) 1/2
 e) 2/3
5. Si: p/2 1 x 1 y 1 p, entonces:
 I. senx 2 seny
 II. cosx 1 cosy
 III. senx1 cosy
 Son verdaderas:
 a) Solo I b) Solo II c) Solo III
 d) I y II e) I y II
6. Hallar los valores de k, si: cosq = k
3
2 1-
 a) [-1; 2] b) [-2; 1] c) [-3; 2]
 d) [-1; 3] e) [-1; 1]
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37TRIGONOMETRÍA
14. Calcular el valor de: 
E = cos
senx
senx x
8
1 1
+
- + +
 para: x = p/2
 a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 
d) 1/5 e) 1/6
15. Si: 
6
p 1 x 1 
6
5p ; indicar la variación de:
 2senx + 3
 a) [4; 5] b) ]4, 5[ c) [4, 5[
 d) ]4,5] e) ]-4, 5]
16. En la CT hallar el área de la región sombreada:
 a) sena 
α
x
y
 b) cosa
 c) (1/2)sena
 d) (1/2)cosa
 e) 1
17. Si: sena = 0,8; hallar MQ.
 a) 3 
x
y
CT
α
M
P
Q b) 4 
 c) 5 
 d) 0,8
 e) 0,6
18. Si: x
2 4
3
1 1
p p , indicar qué proposiciones 
son verdaderas:
 I. senx 2 cosx
 II. sen2x 2 cos2x
 III. senx -cosx 1 0
 a) Solo I b) Solo II c) Solo III
 d) I y III e) I y II
19. Simplificar la expresión:
E = cos cos
senx
x x
1
1 3
+
- + +
 para: x = 0
 a) 1 b) 2 /2 c) 2
 d) 2 e) 1/2
20. Hallar los valores de k, si: senq = k
2
1-
 a) [-1; 1] b) [-1; 2] c) [-1;3]
 d) [-2; 3] e) [-1; 4]
21. Determine el intervalo de k, si se cumple la 
siguiente igualdad:
cosx k k
3
2 1
2
2
3
1-
=
+
-
-
 a) [-14; 6] b) [-13; -5] c) [-12; 4]
 d) [4; 12] e) [5; 13]
22. Si: cosx = a
2
3 1- , calcular la suma de todos 
los valores enteros de a.
 a) -2 b) -1 c) 0
 d) 1 e) 2
23. Si: q !  IVC y senq = a
5
2- , cuántos valores 
enteros puede tomar a.
 a) 3 b) 4 c) 5 
d) 6 e) 7
24. Si: q ! IIC y cosq = k
5
3- , hallar el intervalo 
de k.
 a) [-2; 8] b) [-2; 3] c) G-2; -3H
 d) G-2; 8H e) [2; -3]
1. b 6. a 11. b 16. b 21. a
2. c 7. d 12. d 17. e 22. d
3. a 8. e 13. c 18. e 23. b
4. a 9. c 14. b 19. d 24. b
5. a 10. b 15. d 20. cC
l
a
v
e
s
 
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Identidades trigonométricas 
por cociente
• senxcscx = 1
• cosxsecx = 1
• tanxcotx = 1
• tanx = cosx
senx
• cotx = cossenx
x
Identidades trigonométricas 
recíprocas
• sen4x + cos4x = 1 - 2sen2xcos2x
• sen6x + cos6x = 1 - 3sen2xcos2x
• tanx + cotx = secx cscx
• sec2x + csc2x = sec2xcsc2x
• (1 ! senx ! cosx)2 = 2(1 ! senx)(1 ! cosx)
• sen2x + cos2x = 1
• 1 + tan2x = sec2x
• 1 + cot2x = csc2x
Identidades 
pitagóricas
Identidades trigonométricas 
auxiliares
Nota:
sen2q + cos2q = 1
Despejando:
sen2q = 1 - cos2θ & sen2q = (1 + cosq)(1 - cosq)
Asimismo:
cos2q = 1 - sen2q & cos2q = (1 + senq)(1 - senq)
Identidades auxiliares
• sen4q + cos4q = 1 - 2sen2qcos2q
• sen6q + cos6q = 1 - 3sen2qcos2q
• tanq + cotq = secqcscθ
• sec2q + csc2q = sec2qcsc2q
• (1 + senq + cosq) = 2(1 + senq)(1 + cosq)
Demostraciones
• sen2q + cos2q = 1
 Al cuadrado: (sen2q + cos2q)2 = 12
 sen4q + cos4q + 2sen2qcos2q = 1
 & sen4q + cos4q = 1 - 2sen2qcos2q
• sen2q + cos2q = 1
 Al cubo: (sen2q + cos2q)3 = 13
 sen6q + cos6q + 3(sen2qcos2q)(sen2q + cos2q) = 1
 1
 sen6q + cos6q + 3sen2qcos2q = 1
 & sen2q + cos2q = 1 - 3sen2qcos2q• tanq + cotq = 
cos
cossen
senq
q
q
q
+
 tanq + cotq = 
cos
cos
sen
sen2 2
q q
q q+
 tanq + cotq = 
cos sen
1
q q
 & tanq + cotq = secqcscq
• sec2q + csc2q = 
cos sen
1 1
2 2q q
+
 sec2q + csc2q = 
cos
cos
sen
sen
2 2
2 2
q q
q q+
 sec2q + csc2q = 
cos sen
1
2 2q q
 
 & sec2q + csc2q = sec2qcsc2q
• (1 + senq + cosq)2 
 = 12 + (senq)2+ (cosq)2+ 2senq + 2cosq + 2senqcosq
 = 1 + sen2q + cos2q + 2senq + 2cosq + 2senqcosq
 = 2 + 2senq + 2cosq + 2senqcosq
 = 2(1 + senq) + 2cosq(1 + senq)
 = (1 + senq)(2 + 2cosq)
 = 2(1 + senq)(1 + cosq)
 & (1 + senq + cosq)2 = 2(1 + senq)(1 + cosq)
PROBLEMAS PARA DEMOSTRAR
Demostrar una identidad consiste en que ambos 
miembros de la igualdad propuesta sean equiva-
lentes, para lograr dicho objetivo se siguen los si-
guientes pasos:
1. Se escoge el miembro más complicado.
2. Se lleva a senos y cosenos (por lo general).
3. Se utilizan las identidades fundamentales y 
las diferentes operaciones algebraicas.
Ejemplos:
1. Demostrar: secx(1 - sen2x) - cscx = cotx
 Resolución:
 Se escoge al 1.er miembro: 
 secx(1 - sen2x)cscx 
 Se lleva a senos y cosenos:
 cosx
1 (cos2x) senx
1 
 Se efectúa: cosx senx
1 = cotx = cotx
2. Demostrar:
 [secx + tanx - 1][1 + secx - tanx] = 2tanx
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN MISMO ARCO
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39TRIGONOMETRÍA
 Resolución:
 Se escoge el 1.er miembro:
 [secx + tanx - 1][secx - tanx + 1] =
 [secx + (tanx - 1)][secx - (tanx - 1)]
 (secx)2 - (tanx - 1)2 =
 (1 + tan2x) - (tan2x - 2tanx - 1) =
 1 + tan2x - tan2x + 2tanx -1 = 
 2tanx = 2tanx
PROBLEMAS PARA SIMPLIFICAR Y REDUCIR
Ejemplos:
1. Reducir: K = sen4x - cos4x + 2cos2x
 Resolución:
 Por diferencia de cuadrados:
 K = (sen2x + cos2x)(sen2x - cos2x) + 2cos2x
 K = sen2x - cos2x + 2cos2x
 K = sen2x + cos2x & K = 1
2. Simplificar: E = cos
cossenx
x
x
senx1
1
+
-
-
 Resolución:
 
1 - cos2x
 E = 
cos
cos cos
senx x
x x senx senx
1
1 1
-
+ - -
^
^ ^ ^ ^
h
h h h h
 E = 
cossenx x
sen x sen x
1
2 2
-
-
^ h
 & E = 
cossenx x1
0
-^ h
 
  & E = 0
PROBLEMAS CONDICIONALES
Dada una o varias condiciones se pide hallar una 
relación en términos de dicha o dichas condiciones.
Ejemplo:
Si: senx + cosx = 
2
1 ; hallar: senxcosx
Resolución:
Del dato al cuadrado: (senx + cosx)2 = 
2
1 2c m
sen2x + cos2x + 2senxcosx = 
4
1
2senxcosx = 
4
3
- & senxcosx = 
8
3
-
PROBLEMAS PARA ELIMINAR ÁNGULOS
La idea central es eliminar todas las expresiones 
algebraicas y que al final quede relaciones inde-
pendientes de la variable.
Ejemplo:
Eliminar x, a partir de: senx = a / cosx = b
Resolución:
De senx = a & sen2x = a2
 cosx = b & cos2x = b2 
 Sumamos: sen2x + cos2x = a2 + b2
 1 = a2 + b2
EJERCICIOS RESUELTOSditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorialditorial
1. Si cosx + senxtanx = 1,2; ¿cuánto vale secx?
 Resolución:
 cosx + senx cosx
senxa k = 1,2
 cosx + cosx
sen x2 = 1,2 & cos
cos
x
x sen x2 2+ = 1,2
 cosx
1 = 1,2 & secx = 1,2
2. ¿Qué función trigonométrica deberá es-
cribirse en vez de M para que la ecuación 
tana + cota = Mseca se transforme en una 
identidad?
 Resolución:
 tana + cota = Mseca
 cos
sen
sen
cos M cos
1
a
a
a
a
a+ = c m
 sen cos
sen cos
cos
M2 2
a a
a
a
+
=
 cos cossen
M1
a a a=
 & M = csca
3. Hallar las expresión equivalente de:
cscx senx
secx cosx
-
-
 Resolución:
 Sea: F = csc
sec cos
x senx
x x
-
-
 F = cos
cos cos
cos
senx senx
x x
senx
sen x
x
x
1
1
1
1
2
2
-
-
=
-
-
 F = 
cos
cos
cos
senx
x
x
sen x
x
sen x
2
2
3
3
= &  F = tan3x
37TRIGONOMETRÍA
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COLECCIÓN EL POSTULANTE40
4. Simplificar la expresión:
 E =(tanx + tany)(1 - cotxcoty) + 
 (cotx + coty)(1 - tanxtany)
 Resolución:
 E = (tanx + tany)(1 - cotxcoty) + (cotx + coty)(1 - tanxtany)
 
Z [ \] ] ] ] ] ] ] ] Z [ \] ] ] ] ] ] ] ]
A B
 Efectuamos la expresión A:
 A = tanx + tany - coty - cotx 
 Efectuamos la expresión B:
 B = cotx + coty - tany - tanx 
 Como: E = A + B & E = 0
5. Hallar el valor numérico de la siguiente expre-
sión:
sec cot
tan cot
x x
x x
22 2
3 3
+ -
+
 sabiendo que: 4tanx = 3
 Resolución:
 Dato: tanx = 3/4
 Como: sec2x = 1 + tan2x, entonces:
E = 
tan 1x cot x
tan x cot x
2 2
3 3
+ -
+
 E = 
tan x cot x 1
tanx cotx tan x tanxcotx cot x
2 2
2 2
+ -
+ - +
^
^ ^
h
h h
 E = tanx + cotx = 
3
4
4
3
12
25
+ =
6. Simplificar: cscx secx
cosxcotx senxtanx
-
-
 Resolución
 Sea: F = csc sec
cos cot tan
x x
x x senx x
-
-
 F = 
senx
1
cosx
1
cosx senx
cosx senx cosx
senx
-
-a ak k
 F = 
cos
cos
cos
cos
senx x
x senx
senx
x
x
sen x2 2
-
-
 & F = 
cos
cos
cos
cos
senx x
x senx
senx x
x sen x3 3
-
-
 F = cos
cos
x senx
x sen x3 3
-
-
 F = cos
cos cos cos
x senx
x senx x xsenx sen x2 2
-
- + +^ ^h h
 F = cos2x + senxcosx + sen2x
 ` F = 1 + senxcosx
EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. Simplificar:
 A = 16(sen6x + cos6x) - 24(sen4x + cos4x) + 
 10(sen2x + cos2x)
 a) 0 b) 1 c) -1 
d) -2 e) 2
2. Si: tanx + tan2x = 1, calcular: S = cotx - tanx
 a) 0 b) 1 c) 2 
d) 3 e) 4
3. Reducir:
 U = (1 + sen2x)2 + 2(1 + sen2x)(1 + cos2x) + 
 (1 + cos2x)2
 a) 0 b) 4 c) 3 
d) 9 e) 27
4. Simplificar: R = 
2csc cos cot
sec tansen
1
1 2
4 4 2
4 4 2
a a a
a a a
- -
- -
^
^
h
h
 a) 1 b) 2 c) 4 
d) 9/2 e) 5
5. Reducir: Y = cos cos sec
senx
x
senx
x x
1 1+
+
-
-
 a) senx b) cosx c) secx 
d) cscx e) tanx
6. Simplificar:
 J = 
tanx cotx 2
tan x cot x 2
tanx cotx 1
tan x cot x 12 2 2 2
+ -
+ -
-
+ +
+ +
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
7. Si: senx - cosx = 
5
5
 calcular: A = 5senxcosx - 1
 a) 0 b) 1 c) 3 
d) 5 e) 1/5
8. Calcular a + b, de: 
 
csc
tan
sen
a b
1
1
1
1 b
q q
q
+
+
-
= +
 a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5
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41TRIGONOMETRÍA
9. Calcular el valor de:
M = 
cos
cos
sen x x
sen x x
1
1
4 4
4 4
- +
- -> Htan2x
 a) -2 b) -1 c) 0 
d) 1 e) 2
10. Si: 
sec csc
cos
x x
sen x x 1
16
3
2 2
6 6
+
+ -
=-
 calcular: senxcosx
 a) !2 b) !1/2 c) !1/4 
d) !4 e) !1/8
11. Eliminar x, si: senx - sen3x = m
 cosx - cos3x = n
 a) m2 + n2 = mn3 b) m2 - n2 = mn3
 c) m2 + n2 = mn3 2 d) m2 + n2 = m2n2
 e) m2 - n2 = m2n2
12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda:
I. sen70° 2 sen170°
II. cos100° 2 cos200°
III. sen60° = cos300°
IV. sen250° 2 cos250°
 a) VVVF b) VFVF c) VVFF 
d) FVVF e) FVFV
13. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres-
ponda:
I. sen1 2 cos1
II. cos6 2 cos5
III. sen3 2 sen2
 a) VVV b) VFV c) VVF 
d) FVF e) FFV
14. Si: senx = 3m - 1, determine el intervalo de m.
 a) [-1; 1] b) [-2/3; 2/3] c) [0; 2/3] 
d) [-1; 2/3] e) [-1; 0]
15. Determine el intervalo de k, si: 2cosx = 5k + 1
 a) ;
5
1
5
1
-; E b) ;5
2
5
1
-; E c) ;3
1
5
3
-; E
 d) ;
5
3
5
1
-; E e) ;0 5
3; E
16. Del gráfico mostrado, calcular el área de la re-
gión sombreada:
 
A xA'
B'CT
θ
y
B
 a) (1/2)senq
 b) (1/4)senq
 c) (3/2)senq
 d) (3/4)senq
 e) (5/4)senq
17. Reducir:
 J = (1 - cos2x)(1 + cot2x) + 
 (1 - sen2x)(1 + tan2x)
 a) 0 b) -2 c) 2 
d) 1 e) -1
18. Hallar n, en: tan2q - sen2q = ntan2q
 a) 1 b) sen2q c) cos2q 
d) senq e) cosq
19. Del gráfico mostrado, calcular el mínimo valor 
de AC.
 a) a 
A C
B
a
α
 b) 2a 
 c) 3a 
 d) 4a 
 e) 5a
20. Eliminar q, si: senq + cosq = n
 sen3q + cos3q = m
 a) 3n = 2m + n3 b) 3m = 2n + m3 
c) m + n = mn d) n3 - 2m = 3mn 
e) 3mn = n2 + m2
1. e 5. c 9. b 13. c 17. c
2. b 6. c 10. b 14. b 18. b
3. d 7. b 11. c 15. d 19. c
4. a 8. c 12. c 16. d 20. aC
l
a
v
e
s
39TRIGONOMETRÍA
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PARA LA SUMA DE DOS ARCOS
• sen(a + b) = senacosb + cosasenb
• cos(a + b) = cosacosb - senasenb
• tan(a+ b) = 
1 tan tan
tan tan
α β
α β
-
+
• cot(a+ b) = 
cot cot 1
cot cotβ
α β
+a
-
Ejemplos:
1. Calcular: sen67°
 sen67° = sen(30° + 37°)
 = sen30°cos37° + cos30°sen 37°
 = 
2
1
5
4
2
3
5
3
# #+
 sen67° = 
10
4 3 3+
2. Calcular: cos75°
 cos75° = cos(30° + 45°)
 = cos30°cos45° - sen30°sen45°
 = 
2
3
2
2
2
1
2
2
# #-
 cos75° = 
4
6 2-
Nota:
15°
75°4
6 2-
6 2+
PARA LA DIFERENCIA DE ARCOS
• sen(a - b) = senacosb - cosasenb
• cos(a - b) = cosacosb + senasenb
• tan(a − b) = 
1 tan tan
tan tan
α β
α β
+
-
• cot(a − b) = 
cot cot 1
cot tanα β
α β
-
+
Ejemplos:
1. Calcule: cos7°
 cos7° = cos(60° - 53°)
 = cos60°cos53° + sen60°sen53°
 cos7° = 
2
1
5
3
2
3
5
4
# #+ = 
10
3 4 3+
2. Calcular: tan16°
 tan16° = tan(53° - 37°)
 tan16° = 
1 tan53 tan37
tan53 tan37
+
-
 tan16° = 
241
3
4
4
3
3
4
4
3
12
12
7
#+
-
= & tan16° = 
24
7
16°
74°
25
7
24
Nota:
IDENTIDADES ADICIONALES
• sen(a + b)sen(a - b) = sen2a -sen2b
• cos(a + b)cos(a - b) = cos2a - sen2b
• tana ! tanb = 
cos cos
sen !
α β
α β^ h
• tana + tanb + tan(a+ b)tanatanb = tan(a+b)
Nota:
Siendo a y b números reales, x variable real, 
se cumple:
 asenx + bcosx = a b2 2+ sen(x + q)
 Donde: senq = 
a b
b
2 2
+
 cosq = 
a b
a
2 2
+
ARCOS COMPUESTOS
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43TRIGONOMETRÍA
Ejemplos:
* senx + 3 cosx = 2sen(x + 60°)
* senx - cosx = 2 sen(x - 45°)
Siendo f(x) = asenx + bcosx; x ! R se cumple:
a b f x a b2 2 2 2# #- + +^ h
Ejemplos:
• -2 #  3 senx + cosx # 2
• - 5 # 2senx - cosx # 5 
• - 13 # 3senx + 2cosx # 13
• Si A + B + C = p, se cumple:
tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC
cotAcotB + cotAcotC + cotBcotC = 1
• Si A + B + C = p/2, se cumple:
cotA + cotB + cotC = cotAcotBcotC
tanAtanB + tanBtanC + tanAtanC = 1
En forma general, si A + B + C = kp (k ! Z) o
A + B + C = (2k + 1)
2
p (k ! Z) las relaciones del
teorema anterior siguen siendo válidas.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Si: a - b = p/3; calcular:
P = (cosa + cosb)2 + (sena + senb)2
Resolución:
P = (cosa + cosb)2 + (sena + senb)2
P = cos2a + 2cosacosb + cos2b + sen2a +
2senasenb + sen2b
P = 2 + 2(cosacosb + senasenb)
P = 2 + 2cos(a - b)
Dato: a - b = p/3
P = 2 + 2cos
3
pa k = 2 + 2 2
1c m = 3
2. si: a + b + c = p/2, hallar el valor de:
tanatanb + tanatanc + tanbtanc
Resolución:
Si: a + b + c = p/2
a + b = 
2
p - c & tan(a + b) = tan(
2
p - c)
1 tanatanb
tana tanb
-
+ = cotc = 
tanc
1
(tana + tanb)tanc = 1 - tanatanb
tanatanc + tanbtanc + tanatanb = 1
3. Simplificar:
E = cos(180° - x) sen(90° + y) +
sen(180°- x) cos(90° + y)
 Resolución:
 cos(180° - x) = -cosx; sen(180° - x) = senx
 sen(90° + y) = cosy; cos(90° + y) = -seny
 Reemplazando:
 E = -cosxcosy + senx(-seny)
 E = -(cosxcoy + senxseny)
E = -cos(x - y)
4. Si a + b = 45° y a - b = 60°, hallar el valor
numérico de: sen2a - sen2b
Resolución:
Dato: a + b = 45° y a - b = 60°
sen2a - sen2b = sen(a + b)sen(a - b)
= sen45°sen60° = 
2
2
2
3
4
6
# =
5. Calcular el valor natural muy aproximado del
sen23°.
Resolución:
sen23° = sen(60° - 37°)
sen23° = sen60°cos37° - cos60°sen37°
sen23° = 
2
3
5
4
2
1
5
3
-c c c cm m m m
 ̀  sen23° = 
10
4 3 3-
6. Si: tan(x + y) = 33 / tany = 3
encontrar el valor de tanx.
Resolución:
tan(x + y) = 33
1 tanxtany
tanx tany
-
+ = 33, dato: tany = 3
&
1 3tanx
tanx 3
-
+ = 33
& tanx + 3 = 33 - 99tanx
& tanx + 99 tanx = 33 - 3
& 100tanx = 30 & tanx = 0,3
7. Si: a + b = 225°, calcular el valor de:
R = 
cot cot
cot cot
a b
a b
1 1+ +^ ^h h
jhsf
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COLECCIÓN EL POSTULANTE44
 Resolución:
 cot(a + b) = cot225° & 
cota cotb
cotacotb 1
+
- = 1
 cotacotb-1 = cota + cotb ...(1)
 R = 
1 cota cotb cotacotb
cotacotb
+ + +
 De (1): R = 
1 cotacotb 1 cotacotb
cotacotb
+ - +
 R = 
2
1
2cotacotb
cotacotb
=
8. Simplificar: P = 
1
cot
tan
tan
cot
1
φ θ
θ
θ
φ θ
-
-
+
-
^
^
h
h
 Resolución:
 La expresión P es equivalente a la siguiente:
P = 
1 tan tan
tan tan
θ φ θ
θ φ θ
- -
+ -
^
^
h
h
 Esta expresión es el desarrollo de la tangente 
de una suma de dos ángulos, es decir:
P = tan[q + (φ − q)] = tanφ
EJERCICIOS PROPUESTOS 
1. Del gráfico, calcule tanq.
 
θ
23
3
 a) 9/19
 b) 1/10
  c) 21
 d) 1/21
 e) 9/10
2. Si: ABDE es un cuadrado, además: BC = 3; 
CD = 2; AF = 1, calcule: tanq
 a) -3/7 
A EF
B C D
θ
A
 b) -7/3
  c) 3/7
 d) 7/3
 e) -1/10
3. Calcular el valor de: N = sen10° + tan40°cos10°
 a) sen20° b) 2sen20°  c) 1
 d) tan10° e) 2
4. Calcular: tanx, si:
 sen4xcos5x + cosx = sen5xcos4x
 a) -1 b) 1  c) -2
 d) 2 e) 3
5. Si se cumple: 2sen(x + y) = 3sen(x - y)
 calcular: tanxcoty
 a) 1/5 b) 5  c) -5
 d) -1/5 e) 1
6. Si: tan(2a - b) = 3 / tan(2b - a) = -2
 calcular: tan(a + b)
 a) 1 b) -1  c) 1/7
 d) -1/7 e) -7
7. Calcule: 
 R = tan36° + tan24° + 3 tan36°tan24°
 a) 1 b) 3   c) 3 /2
 d) tan12° e) 2 3
8. Calcular: S = (1 + tan35°)(1 + tan10°)
 a) 1 b) 2  c) -1
 d) -2 e) 3
9. Calcule el máximo valor de:
E = 3 + 2senx + 5 cosx
 a) 0 b) 3  c) 5
 d) 6 e) 12
10. Reducir: A = 
cos cosx y x y
sen x y sen x y
- - +
+ + -
^ ^
^ ^
h h
h h
 
 a) tanx b) coty  c) tany
 d) cotx e) 1
11. Simplificar: A = 
60cos
cos
senx x
sen x x
3 2
2 45
+ +
+ -
^
^
h
h
 a) senx b) cosx c) tanx
 d) 6 senx e) 6 cosx
12. Reducir: E = 
° ° ° °
° ° ° °
cos cos
cos cos
sen sen
sen sen
33 3 3 33
48 12 12 48
-
+
 a) 1/2 b) 1 c) 3 /2
 d) 2 e) 3
13. Calcular el valor de: S
1 tan32 tan13
tan32 tan13
=
-
+
 a) 0,5 b) 1 c) 1,5 
d) 2 e) 2,5
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45TRIGONOMETRÍA
14. Reducir: 
 R = cos(21° + x)cos(16° - x) -
 sen(21° + x)sen(16° - x)
 a) 0 b) 4/5 c) 3/5 
d) senx e) sen(37° + x)
15. Reducir: P = tana - 
cos cos
sen
α β
α β-^ h
 a) tana b) tanb c) sena 
d) senb e) senasenb
16. Si cotq = 1/4, calcule: tan(45° + q)
 a) −1 b) -3 c) −5/3 
d) 3 e) −4/3
17. Del gráfico, calcule: tanq
 a) 1 
1
1
32
θθ
 b) 13/15
 c) 7/17
 d) 17/7
 e) -1
18. Reducir: M = 3 cos20° + sen20°
 a) sen80° b) cos80° c) 2sen80°
 d) 2cos80° e) 2sen40°
19. Calcule el menor valor de x (agudo) en:
 
2
5
2
3
2
3
2
5cos cossen x x sen x x- =c c c cm m m m
 cos35 cos15 sen35 sen15-
 a) 20° b) 30° c) 40° 
d) 25° e) 70°
20. Calcular el valor de m, si:
 mtan50° = tan70° - tan20°
 a) 1/2 b) 1 c) 3/2
 d) 2 e) -1
1. a 5. b 9. d 13. b 17. c
2. b 6. c 10. b 14. b 18. c
3. e 7. b 11. c 15. b 19. c
4. b 8. b 12. e 16. c 20. dC
l
a
v
e
s
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Una función trigonométrica de un número real cual-
quiera puede expresarse como función de un nú-
mero real del primer cuadrante. Esto puede mos-
trarse a partir de ciertas fórmulas de reducción que 
se deducen a partir de las identidades de arcos 
compuestos dando valores particulares.
Recordemos que:
 cos(a + b) = cosacosb - senasenb
Si sustituimos a por p/2 obtenemos:
 cos
2
π β+a k = cos 2
pa kcosb - sen 2
pa ksenb
y como: cos
2
pa k = 0 y sen 2
pa k = 1
 cos
2
π β+a k = -senb
Ahora si en dicha relación reemplazamos b por 
2
p - q, tenemos:
 cos sen
2 2 2
π π θ π θ+ - =- -a ak k 
 cos(p − q) = -cosq
REGLAS PRÁCTICAS DE REDUCCIÓN AL PRIMER 
CUADRANTE
Para razones trigonométricas cuyos ángulos sean 
de la forma: 90° ! a, 270° ! a, 180° ! a, 360° ! a
RT 90
270
!
!
a
a
c m = !CORT(a)
RT °
°