EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR

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EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR
En una excursión escolar a un museo van 20 alumnos de una clase y 30 de otra. Los profesores y profesoras quieren formar grupos con los alumnos de cada clase, todos con el mismo número de alumnos y el máximo posible de ellos en cada grupo. ¿Cuántos se podrán formar sin que sobre ninguno?
Con los 20 alumnos de la primera clase se pueden hacer: 
· de 1 alumno: 20 grupos; 
· de 2 alumnos: 10 grupos; 
· de 4 alumnos: 5 grupos; 
· de 5 alumnos: 4 grupos; 
· de 10 alumnos: 2 grupos; 
· de 20 alumnos: 1 grupo. 
Con los 30 alumnos de la segunda clase se pueden hacer: 
· de 1 alumno: 30 grupos; 
· de 2 alumnos: 15 grupos; 
· de 3 alumnos: 10 grupos; 
· de 5 alumnos: 6 grupos; 
· de 6 alumnos: 5 grupos; 
· de 10 alumnos: 3 grupos; 
· de 15 alumnos: 2 grupos; 
· de 30 alumnos: 1 grupo. 
Los divisores de 20 son: 1, 2, 4, 5, 10 y 20. 
Los divisores de 30 son: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.
20 y 30 tienen cuatro divisores comunes: 1, 2, 5 y 10. El mayor de ellos es 10.
Los grupos iguales de mayor número de alumnos que se pueden formar son de 10 alumnos: serían 2 grupos de la primera clase y 3 de la segunda. En este caso, 10 es el máximo común divisor de 20 y 30.
El máximo común divisor de dos o más números naturales es el mayor de sus divisores comunes. Se escribe abreviadamente: m.c.d., o también M.C.D.
CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS NÚMEROS
Para obtener el máximo común divisor de dos números naturales, por ejemplo de 12 y 8, seguimos los siguientes pasos:
1. Hallamos los divisores de uno de los números, por ejemplo del 12; para ello lo dividimos entre todos los números naturales comprendidos entre 1 y 12, ambos incluidos: 
	
Los divisores de 12 son aquellos que al dividir han dado resto cero, es decir: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
2. Hallamos los divisores del otro número, el 8, dividiéndolo entre todos los números naturales comprendidos entre 1 y 8, ambos incluidos: 
	
Los divisores de 8 son aquellos que al dividir han dado resto cero, es decir: 1, 2, 4 y 8.
3. Comparamos los divisores de ambos números, 12 y 8, y vemos los que tienen en común: 1, 2 y 4.
El mayor de ellos es 4. Por tanto: m.c.d. (12, 8) = 4
Si quieres, puedes seguir los mismos pasos y practicar hallando: a) m.c.d. (2, 5); b) m.c.d. (4, 6); c) m.c.d. (10, 15), y d) m.c.d. (9, 21), que aparecen en la tabla siguiente.
	Máximo común divisor
	
	
	
	
	a
	Divisores de 2 = 1 y 2
	Divisores de 5 = 1 y 5
	m.c.d. (2, 5) = 1
	b
	Divisores de 4 = 1, 2 y 4
	Divisores de 6 = 1, 2, 3 y 6
	m.c.d. (4, 6) = 2
	c
	Divisores de 10 = 1, 2, 5 y 10
	Divisores de 15 = 1, 3, 5 y 15
	m.c.d. (10, 15) = 5
	d
	Divisores de 9 = 1, 3 y 9
	Divisores de 21 = 1, 3, 7 y 21
	m.c.d. (9, 21) = 3
	
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON M.C.D.
Utilizamos el máximo común divisor en problemas en los que hay que repartir dos o más cantidades de objetos, personas…, en grupos del mayor tamaño posible sin que sobre ninguno. Veámoslo con dos ejemplos.
1. En mi colegio nos hemos apuntado para jugar a baloncesto 12 chicos y 18 chicas. ¿Cuántos equipos de chicos y cuántos de chicas del mismo número de jugadores y del mayor número posible de ellos podremos formar sin que sobre nadie?
Debemos calcular el máximo común divisor de 12 y 18. Para ello hallamos los divisores de los dos números: 
· divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6 y 12; 
· divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9 y 18. 
Por tanto: m.c.d. (12, 18) = 6
Hemos de formar equipos de 6 jugadores. Como somos 12 chicos y 18 chicas, se podrán formar: 12 : 6 = 2 equipos de chicos 18 : 6 = 3 equipos de chicas
2. Quiero repartir 20 lápices rojos y 30 azules en varios vasos, de manera que haya el mismo número de lápices, todos del mismo color, en cada vaso y no me sobre ninguno. ¿Cuántos puedo meter como máximo en cada vaso? ¿Cuántos vasos usaré?
Debemos calcular el máximo común divisor de 20 y 30. Hallamos sus divisores: 
· divisores de 20 = 1, 2, 4, 5, 10 y 20; 
· divisores de 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. 
Por tanto: m.c.d. (20, 30) = 10
Hemos de formar grupos de 10 lápices del mismo color. Como en total hay 20 + 30 = 50 lápices, podré formar 50 : 10 = 5 grupos, sin que sobre ningún lápiz. Usaré, por tanto, 5 vasos.