Clase N11

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SEMESTRE ACADÉMICO 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área de Ingeniería
EQUIPO DE LOS DOCENTES DE CÁLCULO I
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2020-1
1
UNIDAD III SEMANA 11 SESIÓN 1
TEMA: DERIVADA IMPLÍCITA Y DE ORDEN SUPERIOR
COMPETENCIA
Evalúa la derivada de una función, haciendo uso de estrategias, 
procedimientos y recursos para resolver situaciones problemáticas de 
contexto real, las sustenta con demostraciones o argumentos sólidos.
CRITERIO/CAPACIDAD
Al finalizar la sesión, el estudiante aplica la derivada para obtener la
ecuación de la recta tangente a una curva en un punto de la curva.
FUNCIONES EXPLÍCITAS E IMPLÍCITAS
Hasta este momento las ecuaciones en dos variables se expresaron generalmente en la forma explícita
como: y= f(x)
Una de las dos variables se ha dado explícitamente en términos de la otra, por ejemplo:
y= 3𝑥2 + 5𝑥 − 4 ; s= 2t +1
Sinembargo, muchas relaciones no están dadas explícitamente, estando determinadas por una expresión 
o ecuación como por ejemplo:
3𝑥2 − 𝑦 = 5 ; 𝑥𝑦 + 𝑥 = 8 ; 𝑥2 + 𝑦2 = 9 ; 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − 1 = 0
Decimos que tales ecuaciones están en forma implícita. De hecho, a veces se puede cambiarla forma
de una ecuación implícita a explícita. Por ejemplo, al despejar y en la ecuación 1 se obtiene 𝑦 = 3𝑥2 − 5
En la ecuación 2 tenemos 𝑦 =
8−𝑥
𝑥
, y a partir de la ecuación 3 podemos definir las funciones 𝑦 = + 9 − 𝑥
2 ,
𝑦 = − 9 − 𝑥2
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Sea una función y sea E (x, y) = 0 una ecuación.
1) Si se puede despejar de la ecuación E (x, y) = 0, entonces diremos que
es una función explicita.
2) Si no se puede despejar de la ecuación E (x, y) = 0, entonces diremos que
es una función implícita.
Para derivar una función implícita, usaremos la regla de la cadena
En efecto:
Es la formula para la derivación implícita.
   
 
 
, , 0
,
,
x
x
dy
E x y Ey x y
dx
E x ydy
dx Ey x y
 


( )y f x
( )y f x
( )y f x
( )y f x
𝑦 = 𝑓(𝑥)
EJEMPLO: 
x 2 +3xy + y3 – 5 = 0 → 2x + 3y + 3xyl + 3y2yl – 0 = 0 
 
 → yl ( 3x+ 3y2 ) = - ( 2x + 3y ) 
 
 De donde yl = 
2
 (2x+3y)
 3x+3y

 
11.2 DERIVADAS DE FUNCIONES DE TIPO 𝒚 = 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)
𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑒𝑔 𝑥 𝑙𝑛𝑓(𝑥) → 𝑦′ = 𝑒𝑔 𝑥 𝑙𝑛𝑓(𝑥) (𝑔 𝑥 𝑙𝑛𝑓(𝑥))′,
𝑦′ = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)(𝑔 𝑥 ′𝑙𝑛𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)
𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
)
Ejemplo: 𝑦 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥, hallar 𝑦′
Solucion:
𝑦′ = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥𝑙𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
1
𝑥
)
Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. 
Ecuación de la recta normal. 
 
 Como vimos en la interpretación geométrica de la derivada, ésta es 
la pendiente de la recta tangente a la función (realmente a la gráfica de la 
función) en el punto de coordenadas ))(,( afaP , por lo que la ecuación de 
la recta tangente será: 
)).((')( axafafy  
NOTA: Para calcular la ecuación de la recta tangente utilizamos la 
ecuación de la recta en la forma punto-pendiente: 
).( 11 xxmyy  
 
La normal a una curva en un punto ))(,( afaP es la perpendicular a la 
recta tangente en dicho punto. 
Si la pendiente de la tangente es ),(' afmt  la pendiente de la normal 
será 
)(' af
mN
1
 (ya que el producto de ambas debía ser -1) y la ecuación 
de la recta normal nos viene dada por: 
 )(
)('
)( ax
af
afy 
1
 
 
Si f ´(a) = 0, la recta tangente será horizontal y de ecuación y = f(a). 
En ese caso la recta normal es vertical y de ecuación x = a. 
 
 
 
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
•La derivada es una función por tanto se podría obtener
también la derivada de esta función y así sucesivamente. Es
decir:
• La derivada de orden superior se conoce como la segunda, tercera,…, n-
ésima derivada de una función. Es decir, si f(x) es una función y existe su 
primera derivada f´(x). Se tienen que:
𝑓 𝑥 es la función → 𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
=
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
= 𝑦´
Es la derivada de la función.
𝑓´´ 𝑥 = (𝑓′ 𝑥 )′ = lim
ℎ→0
𝑓′ 𝑥+ℎ −𝑓′ 𝑥
ℎ
=
𝑑𝑓´(𝑥)
𝑑𝑥
= 𝑦´´
Es la segunda derivada de la derivada de la función f, si el limite existe.
NOTACIÓN DE LA DERIVADA DE SEGUNDO ORDEN
•Existen otras formas de expresar la derivada de segundo 
orden.
𝑑2
𝑑𝑥2
𝑓 𝑥 = 𝑦´´ = 𝑓 2 (𝑥)
NOTACIÓN DE LA DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR
𝑑2
𝑑𝑥2
𝑓 𝑥 Derivada de segundo orden
𝑑3
𝑑𝑥3
𝑓 𝑥 Derivada de tercer orden
𝑑5
𝑑𝑥5
𝑓 𝑥 Derivada de quinto orden
𝑑𝑛
𝑑𝑥𝑛
𝑓 𝑥 Derivada de 𝑛-ésimo orden
EJEMPLO
• Si 𝑓 𝑥 = 5𝑥4 + cos 2𝑥 − 𝑥3, hallar 𝑓(𝑛)(𝑥) con 𝑛 = 1; 2; 3; 4
Solución
• Con 𝑛 = 1
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 = 20𝑥3 − 2 sin 2𝑥 − 3𝑥2
• Con 𝑛 = 2
𝑑2
𝑑𝑥2
𝑓 𝑥 = 60𝑥2 − 4cos 2𝑥 − 6𝑥
• Con 𝑛 = 3
𝑑3
𝑑𝑥3
𝑓 𝑥 = 120𝑥 + 8 sin 2𝑥 − 6
• Con 𝑛 = 4
𝑑4
𝑑𝑥4
𝑓 𝑥 = 120 − 16 cos 2𝑥
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
Si x e y están expresadas como funciones x = f(t), y = g(t) en un intervalo I de valores t, 
entonces, el conjunto de puntos (x, y) = (f(t), g(t)) definido por estas ecuaciones es una 
curva paramétrica. Las ecuaciones son ecuaciones paramétricas de la curva. 
x = f(t), t en R
y = g(t), t en R
Ejemplo: La curva ∁∶x=t , y= 𝑡2 (parábola)
- t
. (f(t),g(t))
PRIMERA DERIVADA
• Sean 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡) las coordenadas de los puntos de una curva expresada como 
una función de variable 𝑡. La primera derivada de las ecuaciones paramétricas 
descritas por la curva C:ቊ
𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡)
, esta dada por:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑦´(𝑡)
𝑥´(𝑡)
• Donde la notación 𝑥´(𝑡) indica la derivada de 𝑥 con respecto de 𝑡. Para 
entender el por qué la derivada aparece de esta manera, recordaremos la 
regla de la cadena para derivadas:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
∙
𝑑𝑡
𝑑𝑥
• De la misma forma es decir:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
• Formalmente, mediante la regla de la cadena:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∙
𝑑𝑥
𝑑𝑡
• Y dividiendo ambos miembros por 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
obtenemos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
SEGUNDA DERIVADA
• La segunda derivada de una ecuación paramétrica viene dada por:
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑥
∙
𝑑𝑡
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑦´
𝑥´
∙
1
𝑥´
=
𝑥´𝑦´´ − 𝑦´𝑥´´
𝑥´´´
• Este resultado es muy útil en el cálculo de la curvatura.
EJEMPLO
• Si tenemos el conjunto de funciones donde:
𝑥 𝑡 = 4𝑡2
𝑦 𝑡 = 3𝑡
• Derivando ambas funciones con respecto a 𝑡 se obtiene que
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 8𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 3
• Sustituyendo estas en la fórmula para la derivada paramétrica, se obtiene 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦´
𝑥´
=
3
8𝑡
• Donde 𝑦´ y 𝑥´ se entienden como funciones de 𝑡.
Regla de L’Hôpital
• Sean f y g funciones derivables sobre el intervalo abierto (a,b), excepto 
posiblemente en un un punto x0 de este intervalo, con g’(x)≠0 para todo
x ∈(a,b) y x≠x0 tales que:
  0lim
0
 xfxx   0lim 0  xgxxy
si
 
 
L
xg
xf
xx 
'
'
lim
0 ⇒   
 
 
L
xg
xf
xg
xf
xxxx  
'
'
limlim
00
CONSIDERACIONES
1.En el caso que f ’ y g’ satisfagan las mismas 
condiciones que f y g, el proceso se puede 
reiterar.
2.El teorema puede generalizarse a los casos en 
que 𝑥 ⟶ +∞ o 𝑥 ⟶ −∞
3.En los casos en que x0 = a ó x0 = b cuando 
sólo hay límites unilaterales 𝑥 → 𝑎+ o 𝑥 → 𝑏−
CASO ESPECIAL
• Para el caso en que f (x0) = g (x0) = 0, f ’ y g ’ son continuas y g’ (x0)≠0 es 
fácil ver por qué la regla de L’Hopital es verdadera.
• Si se aplica la forma alterna de la definición de la derivada:
lim
𝑥→𝑥0
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
=
𝑓′(𝑥0)
𝑔′(𝑥0)
=
lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
lim
𝑥→𝑥0
𝑔 𝑥 − 𝑔(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
𝑔 𝑥 − 𝑔(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
= lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)
𝑔 𝑥 − 𝑔(𝑥0)
= lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
INTERPRETACIÓN GRÁFICA
• Esto sugiere que:
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑥0
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
Amplificando el punto (x0,0):
 Si f y g fueran en realidad lineales,su razón sería:
𝑚1 ∙ 𝑥 − 𝑥0
𝑚2 ∙ 𝑥 − 𝑥0
=
𝑚1
𝑚2
 Sean f y g dos funciones diferenciables con f (x0) = g (x0) = 0
EJEMPLO
•Mientras la función sea 𝑛 veces continua y derivable, la regla puede 
aplicarse 𝑛 veces:
• lim
𝑥→0
𝑒𝑥−𝑒−𝑥−2𝑥
𝑥−sin 𝑥
•
𝐿´𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim
𝑥→0
𝑒𝑥− −𝑒−𝑥 −2
1−cos 𝑥
•
𝐿´𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim
𝑥→0
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
sin 𝑥
•
𝐿´𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim
𝑥→0
𝑒𝑥− −𝑒−𝑥
cos 𝑥
=
𝑒0+𝑒−0
cos 0
=
1+1
1
= 2
INDETERMINACIONES NO COCIENTES
•A veces algunos límites indeterminados que no se presentan como cocientes, 
pueden ser resueltos con esta regla, recurriendo a transformaciones previas 
que lleven a un cociente del tipo 
0
0
o 
∞
∞
.
•Tipo 0 ∙ ∞
se trata de hacer una transformación como:
0 ∙ ∞ =
0
1
∞
=
0
0
∨ 0 ∙ ∞ =
∞
1
0
=
∞
∞
El más clásico:
lim
𝑥→0
𝑥 ln 𝑥 = lim
𝑥→0
l𝑛 𝑥
1
𝑥
𝐿´𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim
𝑥→0
1
𝑥
−1
𝑥2
= lim
𝑥→0
−𝑥 = 0
• Tipo +∞−∞
lim
𝑥→+∞
𝑥 − 𝑥2 − 𝑥 = lim
𝑥→+∞
𝑥 − 𝑥2 − 𝑥 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥
𝑥 + 𝑥2 − 𝑥
lim
𝑥→+∞
𝑥2 − 𝑥2 − 𝑥
𝑥 + 𝑥2 − 𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑥 + 𝑥2 − 𝑥
lim
𝑥→+∞
ฎ𝑥
∞
𝑥 + 𝑥2 − 𝑥
∞
=
+∞
+∞
lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑥 + 𝑥2 − 𝑥
𝐿´𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
lim
𝑥→+∞
𝑥 ′
𝑥 + 𝑥2 − 𝑥 ′
lim
𝑥→+∞
𝑥 ′
𝑥 + 𝑥2 − 𝑥 ′
= lim
𝑥→+∞
1
1 +
2𝑥 − 1
2 𝑥2 − 𝑥
=
1
1 + 1
=
1
2
INDETERMINACIONES NO COCIENTES